Μαθηματικά (Γ Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Λύνω εξισώσεις δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων.
Βρίσκω το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού και υπολογίζω τις λύσεις της με τη βοήθεια τύπου.
Μετατρέπω ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Ένας μηχανικός σχεδίασε μια οικοδομή και στην πρόσοψή της προέβλεψε την κατασκευή μιας τετραγωνικής βεράντας και ενός ορθογωνίου μπαλκονιού με διαστάσεις 9 m και 1 m. Στο σχέδιο που παρουσίασε στον ιδιοκτήτη της οικοδομής η βεράντα και το μπαλκόνι είχαν το ίδιο εμβαδόν.

α) Να υπολογίσετε πόσα μέτρα ήταν η πλευρά της βεράντας.

εικόνα

Ο ιδιοκτήτης όμως, θεώρησε στενό το μπαλκόνι και ζήτησε από το μηχανικό να αυξήσει το πλάτος του μπαλκονιού και κάθε πλευρά της βεράντας κατά τα ίδια μέτρα, ώστε να έχουν και πάλι το ίδιο εμβαδόν.

β)Να υπολογίσετε πόσα μέτρα έπρεπε να αυξηθεί το πλάτος του μπαλκονιού και κάθε πλευρά της βεράντας. Με το αίτημα όμως του ιδιοκτήτη, το συνολικό εμβαδόν της βεράντας και του μπαλκονιού ξεπερνούσε το όριο που καθορίζεται από τον πολεοδομικό κανονισμό. Τελικά, αποφασίστηκε να μεγαλώσει η βεράντα και το μπαλκόνι, όπως το ζήτησε ο ιδιοκτήτης, με την προϋπόθεση όμως να μην έχουν πια το ίδιο εμβαδόν, αλλά να καλύπτουν συνολικά 34 m².

γ) Να υπολογίσετε πόσα μέτρα αυξήθηκε τελικά το πλάτος του μπαλκονιού και κάθε πλευρά της βεράντας.

εικόνα Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυσή τους οδηγεί σε εξίσωση μ´ έναν άγνωστο και στην οποία ο μεγαλύτερος εκθέτης του αγνώστου είναι ο αριθμός 2.

Σε καθεμία από τις προηγούμενες περιπτώσεις λέμε ότι έχουμε

εξίσωση 2ου βαθμού με έναν άγνωστο (δευτεροβάθμια εξίσωση).

Από τα προηγούμενα παραδείγματα προκύπτει ότι η γενική μορφή μιας εξίσωσης 2ου βαθμού με άγνωστο x είναι

αx² + βx + γ = 0 με α ≠ 0

Οι αριθμοί α, β, γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης. Ο συντελεστής γ λέγεται και σταθερός όρος. Οι συντελεστές σε καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις είναι:

x² - 9 = 0 :	α = 1	β = 0	γ = -9
x² - 3x = 0 :	α = 1	β = -3	γ = 0
x² + 15x - 16 = 0 :	α = 1	β = 15	γ = -16

Κάθε αριθμός που επαληθεύει μια εξίσωση δευτέρου βαθμού λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης.

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Θυμόμαστε ότι:

Αν α·β = 0 τότε α = 0 ή β = 0

Επίλυση εξίσωσης της μορφής αx² + βx = 0 με α ≠ 0

Για να λύσουμε την εξίσωση x² = 3x εργαζόμαστε ως εξής:

H προτεραιότητα των πράξεων

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α΄ μέλος.
Αναλύουμε το α΄ μέλος σε γινόμενο παραγόντων.
Για να είναι το γινόμενο x(x - 3) ίσο με το μηδέν πρέπει x = 0 ή x - 3 = 0.

x² = 3x
x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x = 0 ή x - 3 = 0
x = 0 ή x = 3
Άρα η εξίσωση έχει δύο
λύσεις, τις x = 0 και x = 3

Μικροπείραμα

Επίλυση εξίσωσης της μορφής αx² + γ = 0 με α ≠ 0

Για να λύσουμε την εξίσωση x² - 9 = 0, εργαζόμαστε ως εξής:

1ος τρόπος:

Το α΄ μέλος της εξίσωσης είναι διαφορά τετραγώνων και το β΄ μέλος είναι μηδέν.
Αναλύουμε το α΄ μέλος σε γινόμενο παραγόντων.
Για να είναι το γινόμενο (x - 3)(x + 3) ίσο με το μηδέν πρέπει x - 3 = 0 ή x + 3 = 0

x² - 9 = 0
x² - 3² = 0
(x - 3) (x + 3) = 0
x - 3 = 0 ή x + 3 = 0
x = 3 ή x = -3
Άρα η εξίσωση έχει δύο
λύσεις, τις x = 3 και x = -3

2ος τρόπος:

Όταν α είναι θετικός, η εξίσωση x² = α έχει δύο λύσεις, x = √α και x=-√α

x² - 9 = 0
x² - 3² = 0
(x - 3) (x + 3) = 0
x - 3 = 0 ή x + 3 = 0
x = 3 ή x = -3
Άρα η εξίσωση έχει δύο
λύσεις, τις x = 3 και x = -3

Για να λύσουμε την εξίσωση x² + 16 = 0, αν εργαστούμε όπως προηγουμένως, παρατηρούμε ότι αυτή γράφεται x² = -16. Η εξίσωση αυτή δεν έχει λύση (αδύνατη), γιατί το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός ή μηδέν και δεν είναι δυνατόν να είναι ίσο με -16.

Αν α είναι αρνητικός αριθμός, τότε η εξίσωση x² = α δεν έχει λύση (αδύνατη)

Η εξίσωση x² = 0 έχει λύση την x = 0. H λύση αυτή λέγεται διπλή, γιατί η εξίσωση x² = 0 γράφεται x·x = 0, οπότε x = 0 ή x = 0 (δηλαδή έχει δύο φορές την ίδια λύση).

Μικροπείραμα

Επίλυση εξίσωσης της μορφής αx² + βx + γ = 0 με α ≠ 0

Για να λύσουμε την εξίσωση 9x² - 6x + 1 = 0 εργαζόμαστε ως εξής:

Το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι ανάπτυγμα τετραγώνου σύμφωνα με την ταυτότητα α² - 2αβ + β² = (α - β)²
Για να είναι (3x - 1)² είναι ίσο με το μηδέν, μόνο όταν 3x – 1 = 0

9x² - 6x + 1 = 0
(3x)² - 2·3x·1 + 1² = 0
(3x - 1)² = 0
3x - 1 = 0 ή x =
Άρα η εξίσωση έχει μια διπλή λύση, την

Μικροπείραμα

Για να λύσουμε την εξίσωση x² + 15x - 16 = 0 σχηματίζουμε στο α΄ μέλος ανάπτυγμα τετραγώνου εργαζόμενοι ως εξής:

Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 4α, όπου α ο συντελεστής του x².
Μεταφέρουμε στο β΄ μέλος το σταθερό όρο και στο α΄ μέλος δημιουργούμε παράσταση της μορφής α² + 2αβ ή α² - 2αβ.
Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα τετραγώνου προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β².
Χρησιμοποιούμε μία από τις ταυτότητες
α² + 2αβ + β² = (α + β)²
α² - 2αβ + β² = (α - β)²

x² + 15x - 16 = 0
4x² + 60x -64 = 0
(2x)² + 2·2x·15 = 64
(2x)² + 2·2x·15 + 15² = 64 + 15²
(2x + 15)² = 289
2x + 15 =√289 ή 2x + 15 =√289
2x + 15 = 17 ή 2x + 15 = -17
2x = 2 ή 2x = -32
x = 1 ή x = -16

Άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις x = 1 και x = -16

Η μέθοδος με την οποία λύσαμε την εξίσωση x² + 15x - 16 = 0 είναι γνωστή ως μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου.

Μικροπείραμα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2x² = 7x β) 3x² - 75 = 0 γ) 2x² + 8 = 0

Λύση

α)

2x² = 7x
2x² - 7x = 0
x(2x - 7) = 0
x = 0 ή 2x - 7 = 0
x = 0 ή

β)

3x² - 75 = 0
3x² = 75
x² = 25
x =√25 ή x =-√25
x = 5 ή x = -5

γ)

2x² + 8 = 0
2x² = -8
x² = -4
Δεν έχει λύση (αδύνατη εξίσωση)

Μικροπείραμα

Να λυθεί η εξίσωση x²(2x - 1) - 6x(2x - 1) + 9(2x - 1) = 0

Λύση

Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 2x - 1.
O δεύτερος παράγοντας του γινομένου είναι ανάπτυγμα τετραγώνου.

x²(2x - 1) - 6x(2x - 1) + 9(2x - 1) = 0
(2x - 1)(x² - 6x + 9) = 0
(2x - 1)(x - 3)² = 0
2x - 1 = 0 ή x - 3 = 0
ή x = 3 (διπλή λύση)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Ο αριθμός 0 είναι λύση της εξίσωσης x² - 4x + 3 = 0.
β) O αριθμός 3 είναι λύση της εξίσωσης x² - 4x + 3 = 0
γ) Οι λύσεις της εξίσωσης (x - 2)(x + 1) = 0 είναι x = 2 και x = -1.
δ) Η εξίσωση x² = 16 έχει μοναδική λύση τον αριθμό x = 4.
ε) H εξίσωση x² = -9 δεν έχει λύση.
στ) Η εξίσωση (x - 2)² = 0 έχει διπλή λύση τον αριθμό x = 2.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

α) H εξίσωση 5x - 6 = x² είναι 2ου βαθμού.
β) Η εξίσωση x² + 3x + 8 = x(x + 2) είναι 2ου βαθμού.
γ) Η εξίσωση (λ - 2)x² + 5x + 3 = 0 είναι 1ου βαθμού, όταν λ = 2 2ου βαθμού, όταν λ ≠ 2.

Ένας μαθητής λύνοντας την εξίσωση x² = 6x απλοποίησε με το x και βρήκε ότι έχει μοναδική λύση τη x = 6. Παρατηρώντας όμως την εξίσωση διαπίστωσε ότι επαληθεύεται και για x = 0. Πού έγινε το λάθος και χάθηκε η λύση x = 0;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να λύσετε τις εξισώσεις:

εικόνα

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) (3x + 1)² = 5(3x + 1)

β) 0,5(1 - y)² = 18

γ) (2ω² + 1)(ω² - 16) = 0

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x(x - 4) = -4

β) y² + y - 12 = 0

γ) ω² - 2ω - 15 = 0

δ) 2t² - 7t + 6 = 0

ε) 3φ² + 1 = 4φ

στ) 5z² - 3z - 8 = 0

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) 25x² + 10x + 1 = 0

β) y²(y - 2) + 4y(y - 2) + 4y - 8 = 0

γ) ω² + 2006ω - 2007 = 0

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x² - (α + β)x + αβ = 0

β) x² - ( √3 - 1)x - √3 = 0

εικόνα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου

Στην προηγούμενη ενότητα εφαρμόσαμε τη μέθοδο «συμπλήρωσης τετραγώνου» για να λύσουμε την εξίσωση x² + 15x- 16 = 0. Τη μέθοδο αυτή μπορούμε να την εφαρμόσουμε και για να λύσουμε την εξίσωση δευτέρου βαθμού στη γενική της μορφή, αx² + βx + γ = 0 με α ≠ 0. Έχουμε διαδοχικά:

Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με 4α.
Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο β΄ μέλος.
Στο α΄ μέλος έχουμε δύο όρους του αναπτύγματος (2αx + β)². Για να συμπληρώσουμε το τετράγωνο του 2αx + β προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β².

αx² + βx + γ = 0
4α·αx² + 4α·βx + 4α·γ = 0
4α²x² + 4αβx = -4αγ
(2αx)² + 2·2αx·β = -4αγ
(2αx)² + 2·2αx·β + β² = β²- 4αγ
(2αx + β)² = β²- 4αγ

Αν συμβολίσουμε την παράσταση β² - 4αγ με το γράμμα Δ, τότε η εξίσωση γράφεται (2αx + β)² = Δ και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Αν Δ < 0, τότε η εξίσωση δεν έχει λύση (αδύνατη). Η παράσταση β² - 4αγ, όπως είδαμε, παίζει σημαντικό ρόλο στην επίλυση της εξίσωσης αx² + βχ + γ = 0 με α ≠ 0, γιατί μας επιτρέπει να διακρίνουμε το πλήθος των λύσεών της. Γι´ αυτό λέγεται διακρίνουσα και συμβολίζεται με το γράμμα Δ, δηλαδή

Δ = β² - 4αγ

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0 με α ≠ 0.

Αν Δ > 0, έχει δύο άνισες λύσεις τις
Αν Δ = 0, έχει μία διπλή λύση την
Αν Δ < 0, δεν έχει λύση (αδύνατη).

Μικροπείραμα Μικροπείραμα Μικροπείραμα Μικροπείραμα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2x² + 5x + 3 = 0

β) 6x² - 5x + 2 = 0

γ) -16x² + 8x - 1 = 0

Λύση

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 9x² - (5x - 1)² = 2x

Λύση

εικόνα

α) Να λυθεί η εξίσωση 2x² - 8x + 6 = 0.

β) Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο 2x² - 8x + 6.

Λύση

εικόνα

Μικροπείραμα

Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Στο προηγούμενο παράδειγμα διαπιστώσαμε ότι:

Οι λύσεις της εξίσωσης 2x² - 8x + 6 = 0 είναι οι αριθμοί 3 και 1.
Το τριώνυμο 2x² - 8x + 6 αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων ως εξής: 2x² - 8x + 6 = 2(x - 3)(x - 1)

Γενικά

Αν ρ₁, ρ₂ είναι οι λύσεις της εξίσωσης αx² + ,x + γ = 0 με α ≠ 0, τότε το τριώνυμο αx² + βx + γ παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο

αx² + βx + γ = α(x - ρ1)(x - ρ2)

εικόνα

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης αx² + βx + γ = 0 με α ≠ 0, τότε να αντιστοιχίσετε σε κάθε περίπτωση της στήλης (Α) το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη (Β).

Στήλη Α		Στήλη Β
α.	Δ > 0	1.	Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση.
β.	Δ = 0	2.	Η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις.
γ.	Δ ≥ 0	3.	Η εξίσωση έχει μία διπλή λύση.
δ.	Δ< 0	4.	Η εξίσωση δεν έχει λύση.

α	β	γ	δ

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Αν μία εξίσωση 2ου βαθμού έχει διακρίνουσα θετική, τότε δεν έχει λύση.
β)Αν μία εξίσωση 2ου βαθμού έχει διακρίνουσα θετική ή μηδέν, τότε έχει μία τουλάχιστον λύση.
γ) Η εξίσωση 2x² + 4x - 6 = 0 έχει ως λύσεις τους αριθμούς 1 και -3, οπότε το τριώνυμο 2x² + 4x - 6 γράφεται 2x² + 4x - 6 = (x - 1)(x + 3).

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι προτιμότερο να λυθούν με τη βοήθεια του τύπου

α) 2x² = 7x

β) 3x² - 2x + 8 = 0

γ) -2x² + 50 = 0

δ) 5x² + x - 4 = 0

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να φέρετε τις εξισώσεις της πρώτης στήλης στη μορφή αx² + βx + γ = 0 και να συμπληρώσετε τις υπόλοιπες στήλες του πίνακα.

εικόνα

Μικροπείραμα

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x² - x - 2 = 0

β) 4y² + 3y - 1 = 0

γ) -2ω² + ω + 6 = 0

δ) 2z² - 3z + 1 = 0

ε) -25t² + 10t - 1 = 0

στ) 4x² - 12x + 9 = 0

ζ) 3x² + 18x + 27 = 0

η) x² - 4x = 5

θ) x²- 3x + 7 = 0

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x² - 7x = 0

β) x² - 16 = 0

i) με τη βοήθεια του τύπου
ii) με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) 3x² - 2(x - 1) = 2x + 1

β) (y + 2)² + (y - 1)² = 5(2y + 3)

γ) (2ω - 3)² - (ω - 2)² = 2ω² - 11

δ) φ(8 - φ) - (3φ + 1)(φ + 2) = 1

Να λύσετε τις εξισώσεις:

εικόνα

Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα:

α) x² + 4x - 12

β) 3y² - 8y + 5

γ) -2ω² + 5ω - 3

δ) x² - 16x + 64

ε) 9y² + 12y + 4

στ) -ω² + 10ω - 25

Μικροπείραμα

Αν α, β πραγματικοί αριθμοί με α ≠ 0, να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση

α) αx² - x + 1 - α = 0 β) αx² + (α + β)x + β = 0

Δίνεται η εξίσωση (α + y)x² - 2βx + (α - γ) = 0, όπου α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ. Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

εικόνα

Σε μια βαβυλωνική πλάκα (περίπου 1650 π.Χ.) βρίσκουμε χαραγμένο και λυμένο το παρακάτω πρόβλημα(*):

«Αν από την επιφάνεια ενός τετραγώνου αφαιρέσω την πλευρά του, θα βρω 870. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου».

Τον γραφέα της πλάκας δεν τον απασχολούσε η γεωμετρική έννοια της ποσότητας, αλλά η ίδια ποσότητα, όπως αυτή εκφράζεται με τους συγκεκριμένους αριθμούς (Γι´ αυτό πρόσθεταν μήκος με επιφάνεια).

Αν χρησιμοποιήσουμε σημερινό συμβολισμό και υποθέσουμε ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι χ, τότε η λύση του προβλήματος οδηγεί στη λύση της εξίσωσης x² - x = 870. O Βαβυλώνιος γραφέας της πλάκας μας προτείνει να Λύσουμε το πρόβλημα αυτό ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα:

εικόνα

Να λύσετε την εξίσωση με τη μέθοδο που μάθατε στην ενότητα αυτή και να τη συγκρίνετε με την πρακτική μέθοδο με την οποία έλυναν οι Βαβυλώνιοι τις εξισώσεις 2ου βαθμού. Τι παρατηρείτε;
Ακολουθώντας τα βήματα των Βαβυλωνίων να λύσετε και το παρακάτω πρόβλημα που είναι χαραγμένο στην ίδια πλάκα. «Αν στην επιφάνεια ενός τετραγώνου προσθέσω την πλευρά του, θα βρω . Ποια είναι η πλευρά του τετραγώνου;»

(*)(Από το βιβλίο του Θ. Εξαρχάκου: Ιστορία των Μαθηματικών, Τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων και των Αρχαίων Αιγυπτίων, τόμος Α΄, Αθήνα 1997.