Μαθηματικά (B Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

2.1.	Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

Εικόνα

Η Πηνελόπη έγινε αρχιτέκτων! Πήρε επιτέλους το δίπλωμά της και γεμάτη όρεξη ρίχνεται στην πρώτη της δουλειά! Πρέπει να χτίσει ένα σπίτι με τετραγωνική βάση σε ένα γωνιακό οικόπεδο. Αφού ρώτησε την Πολεοδομία, πληροφορήθηκε ότι στο συγκεκριμένο οικόπεδο μπορεί κανείς να χτίσει σπίτι εμβαδού 289 m². Ποιο θα πρέπει να είναι το μήκος x κάθε πλευράς της τετραγωνικής βάσης του σπιτιού;

Λύση

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου είναι: Ε = x². Άρα πρέπει x² = 289

Δηλαδή, πρέπει να βρούμε έναν αριθμό x, του οποίου το τετράγωνο να είναι 289.

	Μήπως είναι x = 10;
	Τότε όμως x² = 10² = 100 (θέλει πιο πολύ).
	Μήπως είναι x = 20;
	Τότε όμως x² = 20² = 400 (θέλει πιο λίγο).
	Μήπως είναι x = 15;
	Τότε όμως x² = 15² = 225 (θέλει λίγο πιο πολύ).
	Μήπως είναι x = 17;
	Τότε x² = 17² = 289 (αυτό είναι!).

Το σπίτι θα έχει τετραγωνική βάση, πλευράς 17 (m).

Ο θετικός αριθμός 17, του οποίου το τετράγωνο ισούται με 289, ονομάζεται τετραγωνική ρίζα του 289 και

συμβολίζεται με . Δηλαδή

Γενικά:

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με

Επειδή, 0² = 0, ορίζουμε ως

Εικόνα

Σχόλια:

Δεν ορίζουμε ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνό του να είναι αρνητικός. Για παράδειγμα η δεν έχει νόημα, γιατί κανένας αριθμός, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δε δίνει αποτέλεσμα -25.
Από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας, προκύπτει ότι:
Σύμφωνα με τα παραπάνω:

Να βρείτε τους αριθμούς:

Λύση:

Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες:

Λύση:

Εικόνα

Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου του διπλανού σχήματος.

Εικόνα

Λύση:

Εικόνα

Πόσο απέχει η πόλη Α από την πόλη Β;

Εικόνα

Λύση:

Εικόνα

Για τους x, y ισχύει:

Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

		Α	Β	Γ
α)	Ο x είναι:	θετικός ή μηδέν	αρνητικός ή μηδέν	oποιοσδήποτε αριθμός
β)	Ο y είναι:	θετικός ή μηδέν	αρνητικός ή μηδέν	oποιοσδήποτε αριθμός
γ)	Ισχύει η σχέση:	x² = y	y² = x	x² = y²

2.	Η εξίσωση x² = 16 έχει λύσεις: Α: μόνο το 4 B: μόνο το –4 Γ: το 4 και το –4
3.	Στον διπλανό πίνακα να αντιστοιχίσετε σε κάθε αριθμό της στήλης Α την τετραγωνική του ρίζα που βρίσκεται στη στήλη Β.
4.	Να εξετάσετε αν ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις:
5.	Αν x είναι ένας θετικός αριθμός, στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

	Α	Β	Γ	Δ	E
1.	x = 10	x = 25	x = –25	x = 2,5	η σχέση αυτή είναι αδύνατη
2.	x = 3	x = 81	x = 4,5	x = ±81	η σχέση αυτή είναι αδύνατη
3.	x = 4	x = –4	x = 256	x = –8	η σχέση αυτή είναι αδύνατη
4.	x = 10	x = 50	x = 100	x = ±10	η σχέση αυτή είναι αδύνατη

1.	Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες.
2.	Να υπολογίσετε τους αριθμούς:
3.	Να τοποθετήσετε σε κάθε τετράγωνο έναν κατάλληλο αριθμό, ώστε να ισχύει η αντίστοιχη ισότητα.
4.	Να αποδείξετε ότι :
5.	Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά των παρακάτω ορθογωνίων τριγώνων.
6.	Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς x που ικανοποιούν τις εξισώσεις:
7.	Να υπολογίσετε το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος.

8.	Nα υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου γηπέδου που έχει διαστάσεις 65 m και 72 m.
9.	To τετράγωνο ενός θετικού αριθμού, αν αυξηθεί κατά 8, γίνεται ίσο με το τριπλάσιο του τετραγώνου του αριθμού αυτού. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;
10.	Στο διπλανό σχήμα να βρείτε το μήκος χ.
11.
12.	Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
13.	Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
14.	Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: