1.1.	Η έννοια της μεταβλητής - Aλγεβρικές παραστάσεις

Εικόνα

Μεταβλητή

1
Η ομιλία σε κινητό τηλέφωνο κοστίζει 0,005 € το δευτερόλεπτο. Πόσο κοστίζει ένα τηλεφώνημα διάρκειας 10 δευτερολέπτων, ένα άλλο διάρκειας 15 δευτερολέπτων και ένα άλλο διάρκειας 27 δευτερολέπτων;

Λύση

Εύκολα βέβαια βρίσκουμε ότι:

Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 10 δευτερολέπτων κοστίζει 10 · 0,005 = 0,05 €
Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 15 δευτερολέπτων κοστίζει 15 · 0,005 = 0,075 €.
Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 27 δευτερολέπτων κοστίζει 27 · 0,005 = 0,135 €.

Μπορούμε λοιπόν να σκεφτούμε ότι το κόστος ενός τηλεφωνήματος θα είναι: (διάρκεια τηλεφωνήματος) · 0,005 €. Για ευκολία, συμβολίζουμε με το γράμμα x τη διάρκεια του τηλεφωνήματος (σε δευτερόλεπτα), οπότε καταλήγουμε ότι το κόστος για κάθε τηλεφώνημα διάρκειας x δευτερολέπτων είναι: x · 0,005 €.

To γράμμα x που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό, λέγεται μεταβλητή.

Φυσικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα (ελληνικά ή λατινικά) για να παραστήσουμε μεταβλητές: y, z, t, α, β, γ, ...

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή ομοίων όρων

Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, λέγεται, όπως γνωρίζουμε, αριθμητική παράσταση.
Για παράδειγμα, η παράσταση είναι μια αριθμητική παράσταση. Ομοίως, η παράσταση είναι μία αριθμητική παράσταση.
Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση.
Για παράδειγμα, η παράσταση είναι μια αλγεβρική παράσταση. Oι προσθετέοι λέγονται όροι αυτής. Ομοίως, η παράσταση είναι μία αλγεβρική παράσταση. Πώς κάνουμε όμως τις πράξεις σε μια αλγεβρική παράσταση; Στο σημείο αυτό μπορεί να μας βοηθήσει λίγο η Γεωμετρία! Ας θυμηθούμε, λοιπόν, τα εμβαδά των ορθογωνίων:

2
Στο διπλανό σχήμα δύο ορθογώνια (1) και (2) είναι «τοποθετημένα» έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα μεγάλο ορθογώνιο. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου.

Λύση

Για να βρούμε το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου, υπάρχουν δύο τρόποι:

1ος Τρόπος:
Το μεγάλο ορθογώνιο έχει βάση α + β και ύψος γ, άρα το εμβαδόν του είναι:

2ος Τρόπος:
Το εμβαδόν του (1) είναι: α · γ.
Το εμβαδόν του (2) είναι: β · γ.
άρα το εμβαδόν του είναι: Άρα το εμβαδόν του μεγάλου oρθογωνίου είναι:

Φυσικά, και οι δύο τρόποι θα πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή: (α + β) · γ = α · γ + β · γ, που είναι η γνωστή επιμεριστική ιδιότητα, η οποία μπορεί να γραφεί και στη μορφή:

Στη μορφή αυτή, η επιμεριστική ιδιότητα μπορεί να μας βοηθήσει να κάνουμε εύκολα πράξεις στις αλγεβρικές παραστάσεις:

Παράδειγμα:

7 · α + 8 · α = (7 + 8) · α = 15 · α
x + 4 · x – 2 · x = (1 + 4 – 2) · x = 3 · x
5 · t – 6 · t – 8 · t = (5 – 6 – 8) · t = –9 · t

Η διαδικασία αυτή με την οποία γράψαμε σε απλούστερη μορφή τις παραπάνω αλγεβρικές παραστάσεις, ονομάζεται «αναγωγή ομοίων όρων».

Παρατήρηση:

Όταν γράφουμε αλγεβρικές παραστάσεις, συνήθως δε βάζουμε το σύμβολο (·) του πολλαπλασιασμού μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών ή μεταξύ των μεταβλητών. Γράφουμε δηλαδή 3xy αντί για 3·x·y. Eπίσης, γράφουμε 2(4xy – 1) + 3(2 – 5x) αντί για 2 ·( 4· x· y – 1) + 3 ·( 2 – 5 · x ).

To σύμβολο του πολλαπλασιασμού θα χρησιμοποιείται βέβαια, για τον πολλαπλασιασμό αριθμών: 3 · 5 ή 3·(–5).

1
Να γράψετε με απλούστερο τρόπο τις παραστάσεις: (α) 2x + 5x, (β) 3α + 4α – 12α, (γ) ω + 3ω + 5ω + 7ω.

Λύση:

Έχουμε ότι:

(α) 2x + 5x = (2 + 5)x = 7x

(β) 3α + 4α – 12α = (3 + 4 – 12)α = –5α

(γ) ω + 3ω + 5ω + 7ω = (1 + 3 + 5 + 7)ω = 16ω.

2
Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) 4y + 3x – 2y + x, (β) y + 2ω – 3y + 2 + ω + 5.

Λύση:

Έχουμε ότι:

(α) 4y + 3x – 2y + x = 4y – 2y + 3x + x = (4 – 2)y + (3 + 1)x = 2y + 4x

(β) y + 2ω – 3y + 2 + ω + 5 = y – 3y + 2ω + ω + 2 + 5 = (1 – 3)y + (2 + 1)ω + (2 + 5) = –2y + 3ω + 7.

3
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = 2(x + 3) – 4(x – 1) – 8, όταν x = –0,45.

Λύση:

Aπλοποιούμε πρώτα την παράσταση Α:

A= 2(x + 3) – 4(x – 1) – 8 =
= 2x + 6 – 4x + 4 – 8 = 2x – 4x + 6 + 4 – 8 = –2x + 2

Eπομένως, όταν x = –0,45, είναι: Α = –2·(–0,45) + 2 = 0,9 + 2 = 2,9.

4
Να υπολογίσετε την περίμετρο του παρακάτω τετραπλεύρου, όταν x + y = 10.

Λύση:

H περίμετρος του τετραπλεύρου είναι ίση με:

Π= x + (y + 3) + (x + 2) + (y – 2) =

= x + y + 3 + x + 2 + y – 2 =

= x + x + y + y + 3 + 2 – 2 = 2x + 2y + 3 =

= 2(x + y) + 3

Eπειδή x + y = 10, είναι Π = 2·10 + 3 = 20 + 3 = 23.

Nα αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α του διπλανού πίνακα με ένα στοιχείο της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α	ΣΤΗΛΗ B
α) 2x+5x–3x	i) –4x
β) x–3x+4x	ii) –5x
γ) –x+3x–6x	iii) 4x
δ) –2x+4x–7x	iv) 2x

Για κάθε αλγεβρική παράσταση της 1ης στήλης του διπλανού πίνακα, δίνονται τρεις απαντήσεις Α, Β και Γ, από τις οποίες μία μόνο είναι σωστή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

	Α	Β	Γ
α) 2x–4x+6x=	12x	–2x	4x
β) 3y–3y+4y=	4y	10y	–5y
γ) –5α+3α–α=	3α	–3α	9α
δ) 3α–4β+4β–5α=	8α+8β	2α	–2α

Να αντιστοιχίσετε κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α	ΣΤΗΛΗ B
α) (3x + 5) + (x – 6)	i) –4x + 11
β) (–3x + 5) – (x –6)	ii) –4x + 1
γ) (–3x + 5) – (x + 6)	iii) –4x – 1
δ) –(3x + 5) – (x – 6)	iv) 4x – 1

1.	Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: α) Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 12. β) Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλασιασμένο επί 9. γ) Την περίμετρο ενός ορθογωνίου, που το μήκος του είναι 2 m μεγαλύτερο από το πλάτος του.
2.	Να χρησιμοποιήσετε μια μεταβλητή για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: α) Το συνολικό ποσό που θα πληρώσουμε για να αγοράσουμε 5 κιλά πατάτες, αν γνωρίζουμε την τιμή του ενός κιλού. β) Την τελική τιμή ενός προϊόντος, αν γνωρίζουμε ότι αυτή είναι η αναγραφόμενη τιμή συν 19% ΦΠΑ.
3.	Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 20x – 4x + x β) –7α – 8α – α γ) 14y + 12y + y δ) 14ω – 12ω – ω + 3ω ε) –6x + 3 + 4x – 2 στ) β – 2β + 3β – 4β
4.	Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 2x – 4y + 3x + 3y β) 6ω – 2ω + 4α + 3ω + α γ) x + 2y – 3x – 4y δ) –8x + ω + 3ω + 2x – x
5.	Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις A, B και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή τους: α) Α = 3(x + 2y) – 2(2x + y), όταν x = 1, y = –2. β) Β = 5(2α – 3β) + 3(4β – α), όταν α = –3, β = 5.

Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:

α) Α = 2(α–3β) + 3(α + 2β), όταν α = 0,02 και β = 2005.

β) Β = 3(x + 2y) + 2(3x + y) + y, όταν x + y = 1/9.

Oι διαιτολόγοι, για να εξετάσουν αν ένα άτομο είναι αδύνατο ή παχύ, χρησιμοποιούν τον αριθμό B/U² (δείκτης σωματικού βάρους ή body mass index, δηλαδή ΒΜΙ), όπου Β το βάρος του ατόμου και υ το ύψος του σε μέτρα. Ανάλογα με το αποτέλεσμα αυτό, το άτομο κατατάσσεται σε κατηγορία σύμφω να με τον παρακάτω πίνακα:

Εικόνα

	ΓΥΝΑΙΚΕΣ	ΑΝΔΡΕΣ
Κανονικό βάρος	18,5 - 23,5	19,5 - 24,9
1ος βαθμός παχυσαρκίας	23,6 - 28,6	25 - 29,9
2ος βαθμός παχυσαρκίας	28,7 - 40	30 - 40
3ος βαθμός παχυσαρκίας	πάνω από 40	πάνω από 40

Nα χαρακτηρίσετε:

α) Το Γιώργο, με βάρος 87 κιλά και ύψος 1,75 μέτρα.

β) Την Αλέκα, με βάρος 64 κιλά και ύψος 1,42 μέτρα.

γ) Τον εαυτό σας.