Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 1ο - Οι φυσικοί αριθμοί

Α.1.3. Δυνάμεις φυσικών αριθμών

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η

Από πόσα τετράγωνα Εικόνα αποτελούνται τα τέσσερα πρώτα σχήματα και από πόσους κύβους τα επόμενα τρία;

Εικόνα

Σκεφτόμαστε

Παρατηρούμε ότι έχουμε:	(1) 4=2·2=2², (2) 9=3·3=3², (3) 16=4·4=4², (4) 25=5·5=5²
Και αντίστοιχα:	(5) 8=2·2·2=2³, (6) 27=3·3·3=3³, (7) 64=4·4·4=4³
Οι περιπτώσεις (1) έως και (4) αφορούν τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών 2, 3, 4 και 5. Οι περιπτώσεις (5) έως και (7) αφορούν τους κύβους των φυσικών αριθμών 2, 3 και 4.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα των οποίων όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι. Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιούμε ονομασίες και συμβολικές εκφράσεις όπως φαίνεται παρακάτω.

Το γινόμενο α·α·α· ... · α, που έχει ν παράγοντες ίσους με το α, λέγεται δύναμη του α στη ν ή νιοστή δύναμη του α και συμβολίζεται με α^ν. Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης και ο ν λέγεται εκθέτης.
Η δύναμη του αριθμού στη δευτέρα, δηλαδή το α², λέγεται και τετράγωνο του α.
Η δύναμη του αριθμού στην τρίτη, δηλαδή το α³, λέγεται και κύβος του α.
Το α¹, δηλαδή η πρώτη δύναμη ενός αριθμού α είναι ο ίδιος ο αριθμός α.
Οι δυνάμεις του 1, δηλαδή το 1^ν, είναι όλες ίσες με 1.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

O Kωστάκης, η Ρένα και ο Δημήτρης έκαναν τις πράξεις στην αριθμητική παράσταση: 4 $\cdot$ (7 + 7 $\cdot$ 9) + 20 και βρήκαν ο καθένας διαφορετικό αποτέλεσμα. Ο Κωστάκης βρήκε 335, η Ρένα 300 και ο Δημήτρης 524.

Ποιός νομίζεις ότι έχει δίκιο; Δικαιολόγησε την απάντησή σου.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων.
Σε μία αριθμητική παράσταση συμφωνούμε η προτεραιότητα των πράξεων να είναι η ακόλουθη:

Υπολογισμός δυνάμεων.
Εκτέλεση πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων
Εκτέλεση προσθέσεων και αφαιρέσεων.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την παραπάνω σειρά. Το τελικό αποτέλεσμα που βρίσκουμε μετά την εκτέλεση όλων των πράξεων σε μία αριθμητική παράσταση το λέμε τιμή της.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να υπολογιστούν το τετράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 10. Τι παρατηρείτε;

Εικόνα

10² = 10 · 10			=	100
10³ = 10 · 10 · 10	=	100 · 10	=	1.000
10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10	=	1.000 · 10	=	10.000
10⁵ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10	=	10.000 · 10	=	100.000
10⁶ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10	=	100.000 · 10	=	1.000.000

Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις δυνάμεις του 10, που υπολογίστηκαν, έχει τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Για παράδειγμα: 10⁶ = 1.000.000 (έξι μηδενικά).

Να εκτελεστούν οι πράξεις: (α) (2 · 5)⁴ + 4 · (3 + 2)² (β) (2 + 3)³ - 8 · 3²

(α) (2·5)⁴ + 4· (3+2)² = 10⁴ + 4·5² = 10.000 + 4·25 = 10.000 + 100 = 10.100

(β) (2+3)³ - 8·3² = 5³ - 8·9 = 125 - 72 = 53

Μικροπείραμα

Να γραφεί το ανάπτυγμα του αριθμού 7.604 με χρήση των δυνάμεων του 10.

Είναι: 7.604	=	7 χιλιάδες	+	6 εκατοντάδες	+	0 δεκάδες	+	4 μονάδες
	=	7·1000	+	6·100	+	0·10	+	4·1
	=	7·10³	+	6·10²	+	0·10¹	+	4
H μορφή αυτή 7·10³ + 6·10² + 0·10¹ + 4 του αριθμού 7.604 είναι το ανάπτυγμα του αριθμού σε δυνάμεις του 10.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών:

Εικόνα

Γράψε με τη μορφή των δυνάμεων τα γινόμενα: (α) 5·5·5·5·5·5 (β) 8·8·8·8·8·8·6·6·6 (γ) 1·1·1·1·1·1 (δ) α·α·α·α (ε) x·x·x (στ) 2·2·2·2·α·α·α

Υπολόγισε τις δυνάμεις: 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸, 2⁹, 2¹⁰

Βρες τα τετράγωνα των αριθμών: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 και 90.

Βρες τους κύβους των αριθμών: 10, 20, 30, 40, 50.

Κάνε τις πράξεις: (α) 3·5², (β) 3·5² + 2, (γ) 3·5² + 2², (δ) 3·5 +2², (ε) 3·(5 + 2)².

Κάνε τις πράξεις: (α) 3² +3³ +2³ +2⁴, (β) (13-2)⁴ + 5·3²

Βρες τις τιμές των παραστάσεων: (α) (6+5)² και 6²+5², (β) (3+6)² και 3²+6². Τι παρατηρείς;

Γράψε πιο σύντομα τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα: (α) α+α+α, (β) α·α·α, (γ) x+x+x+x (δ) x·x·x·x

Γράψε τους αριθμούς: (α) 34.720, (β) 123.654, (γ) 890.650 σε αναπτυγμένη μορφή με χρήση των δυνάμεων του 10.

Αντιστοίχισε τα αποτελέσματα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα με το εξαγόμενο
των πράξεων κάθε γραμμής του πρώτου πίνακα.

(1+2) $\cdot$ (3+4)

1 $\cdot$ (2+3 $\cdot$ 4)

(1 $\cdot$ 2+3) $\cdot$ 4

1 + (2+3) $\cdot$ 4

Αντιστοίχισε τα αποτελέσματα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα με την αριθμητική
παράσταση κάθε γραμμής του πρώτου πίνακα.

2 + 2 $\cdot$ 2

3 + 3 $\cdot$ 3

4 + 4 $\cdot$ 4 $\cdot$ 4

5+5 $\cdot$ 5+5 $\cdot$ 5

5 $\cdot$ 5+5 $\cdot$ 5 $\cdot$ 5

4 + 4 $\cdot$ 4 – 4

150

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

	Χρησιμοποίησε μόνο τα σύμβολα των πράξεων: + και · και τις παρενθέσεις "(" και ")" για να συμπληρώσεις τις γραμμές ώστε να προκύψουν σωστές ισότητες. Μικροπείραμα		1 2 3 4 = 13 1 2 3 4 = 14 1 2 3 4 = 15 1 2 3 4 = 36

	Συμπλήρωσε τα μαγικά τετράγωνα.
	Μικροπείραμα Μικροπείραμα

ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

Οι πιο παλιοί αριθμοί γράφτηκαν από τους Σουμέριους σε πήλινα πινακίδια της 3ης - 2ης χιλιετηρίδας π.Χ. Οι αριθμοί γράφονταν από τα δεξιά προς τα αριστερά. Πρώτα οι μονάδες, μετά οι δεκάδες κ.λπ. Το 1854 ανακαλύφθηκαν κοντά στις όχθες του Ευφράτη, πήλινα πινακίδια γραμμένα στην περίοδο 2300 - 1600 π.Χ. από τους Βαβυλώνιους που χρησιμοποιούσαν και το δεκαδικό σύστημα.

Οι Αιγύπτιοι από το 3000 - 2500 π.Χ. είχαν ειδικά ιερογλυφικά για την παράσταση των αριθμών. Τα ειδικά σύμβολα που είχαν για να παριστάνουν τις μονάδες κάθε δεκαδικής τάξης φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα:

Εικόνα

Τον 5ο αιώνα π.Χ. στην Ιωνία δημιουργήθηκε το αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης, που ήταν το τελειότερο σύστημα αρίθμησης μετά το αραβικό και έμεινε σε χρήση μέχρι και την Αναγέννηση, παράλληλα με το ρωμαϊκό. Σ αυτό κάθε αριθμός από το 1 ως το 9, κάθε δεκάδα 10, 20, 30,..., 90, κάθε εκατοντάδα 100, 200, ..., 900, συμβολίζονταν από ένα γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου με μια οξεία πάνω αριστερά για να τα ξεχωρίζουν από τα γράμματα των λέξεων. Επειδή χρειάζονταν 27 γράμματα για το συμβολισμό όλων αυτών των αριθμών και το αλφάβητο έχει μόνο 24, χρησιμοποίησαν ακόμη τρία σύμβολα το στίγμα Εικόνα που παρίστανε τον αριθμό 6, το κόππα που παρίστανε τον αριθμό 90 και το σαμπί που παρίστανε τον αριθμό 900. Έτσι είχαν:

Για μεγαλύτερους αριθμούς είχαν μια μικρή γραμμή κάτω αριστερά, που δήλωνε ότι η αξία του γράμματος πολλαπλασιαζόταν επί 1.000. Δηλαδή: ,δ=4x1.000=4.000 και ,η=8 x 1.000 = 8.000. Με το αλφαβητικό αριθμητικό σύστημα γράφουμε: ,βδ' για τον αριθμό 2004 και ω'λ'α' για τον 831. Οι Ρωμαίοι εισήγαγαν ένα δεκαδικό αριθμητικό σύστημα με ξεχωριστά σύμβολα για τους αριθμούς 1, 5, 10, 50, 100, 500 και 1000. Πιο συγκεκριμένα χρησιμοποιούσαν τα σύμβολα:

Εικόνα

Στη γραφή των αριθμών τους χρησιμοποιούσαν την προσθετική αρχή από τα αριστερά προς τα δεξιά αλλά και την αφαιρετική αρχή. Το 2 γράφεται ΙΙ, το 3 γράφεται ΙΙΙ, κ.λπ. Το 4 γράφεται IV (5-1), το 9 γράφεται IX (10-1), το 40 γράφεται XL (50-10), το 900 γράφεται CM (1.000-100), κ.λπ.

Γα πολλούς αιώνες κυριάρχησε το ελληνικό και το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης. Το 1299 οι Κανονισμοί της "Τέχνης της Συναλλαγής" (Arte del Cambio) απαγόρευαν στους τραπεζίτες της Φλωρεντίας να χρησιμοποιούν τα Ινδοαραβικά αριθμητικά ψηφία και επέβαλαν τα ρωμαϊκά.

Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε σήμερα του δεκαδικού συστήματος έφτασαν και διαδόθηκαν στην Ευρώπη μέσω των Αράβων, για το λόγο αυτό ονομάστηκαν Αραβικά, αλλά είναι Ινδοαραβικά, διότι από τα συστήματα αρίθμησης που υπήρχαν στους Άραβες, το δεκαδικό σύστημα ήρθε απ' τους Ινδούς. Αυτό εμφανίζεται για πρώτη φορά στο έργο του Αλ-Χουαρίζμι (787 - 850 μ.Χ.) "Αλγόριθμοι των Ινδικών αριθμών". Ήρθε στη Μέση Ανατολή με τα καραβάνια από την Περσία και την Αίγυπτο την περίοδο 224 - 641 μ.Χ. Οι τύποι Ινδικών συμβόλων είναι τα λεγόμενα "γκομπάρ" που χρησιμοποιούσαν οι Άραβες στην Ισπανία που την είχαν καταλάβει από το 711 μ.Χ.

Ελληνικό σύστημα αρίθμησης

Μικροπείραμα Μικροπείραμα Πυθαγόρας

Είδαμε ότι υπάρχουν αριθμητικά συστήματα που χρησιμοποιούν διαφορετικό αριθμό ψηφίων, όπως π.χ. είναι το δυαδικό αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιεί μόνο τα ψηφία 0 και 1. Στο δυαδικό σύστημα αντί για μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες κ.λπ. έχουμε: μονάδες, δυάδες, τετράδες, οκτάδες, δεκαεξάδες κ.λπ. Έτσι στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης αντίστοιχα θα χρησιμοποιούμε μόνο τρία ψηφία: 0, 1, 2, θα έχουμε μονάδες, τριάδες, εννιάδες κ.λπ.

Δεκαδικό	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
Δυαδικό	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	...
Τριαδικό	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	110	111	112	120	121	...

ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Με βάση την παραπάνω ιστορική αναδρομή κάνε ένα νοερό ταξίδι στο χρόνο προς το παρελθόν και φαντάσου ότι ζεις στη χώρα των Σουμερίων το 3000 π.Χ., των Αιγυπτίων από το 2500 π.Χ., των Ιώνων το 500 π.Χ., των Ρωμαίων το 1200 μ.Χ., των Ισπανών το 1300 μ.Χ., μέχρι την εποχή μας του 21ου αιώνα και γράψε δύο αριθμούς δικής σου επιλογής, όπως τους έγραφαν εκείνοι τότε.