Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Α1. Φυσικοί Αριθμοί Α1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 1ο - Οι φυσικοί αριθμοί
 
Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση

Από το Δημοτικό σχολείο μάθαμε την έννοια τον φυσικού αριθμού. Στην παράγραφο αυτή γίνεται επανάληψη της έννοιας, της διάταξης και της στρογγυλοποίησης των φυσικών αριθμών. Μέσα από τις δραστηριότητες, που ακολουθούν, θα προσπαθήσουμε να ξαναθυμηθούμε αυτά που έχουμε μάθει και να τα διατυπώσουμε με πιο οργανωμένη σκέψη.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Διάλεξε ένα τριψήφιο αριθμό. Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που προκύπτουν όταν εναλλάξεις τα ψηφία του αριθμού που διάλεξες και γράψε αυτούς με όλους τους δυνατούς τρόπους.

  • Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος;
  • Γράψε όλους τους αριθμούς που βρήκες με σειρά αύξουσα, δηλαδή από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο.
  • Στη συνέχεια, γράψε τους ίδιους αριθμούς με φθίνουσα σειρά.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

Για να βαθμολογήσουμε ένα θερμόμετρο ακολουθούμε μια συγκεκριμένη μέθοδο: Το αφήνουμε στον πάγο αρκετή ώρα και στο σημείο που θα σταθεί ο υδράργυρος σημειώνουμε το μηδέν (0°). Στη συνέχεια το αφήνουμε μέσα σε νερό που βράζει και στο σημείο που θα σταθεί ο υδράργυρος σημειώνουμε το εκατό (100°).

  • Σκέψου και διατύπωσε έναν τρόπο με τον οποίο θα μπορούσες να σημειώσεις και όλες τις ενδιάμεσες ενδείξεις.
 Εικόνα
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
  • Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6......... 98, 99, 100........ 1999, 2000, 2001, ... ονομάζονται φυσικοί αριθμοί.
    • Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο και ένα προηγούμενο φυσικό αριθμό, εκτός από το 0 που έχει μόνο επόμενο, το 1.
  • Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τους άρτιους ή ζυγούς και τους περιττούς ή μονούς.
  • Άρτιοι λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται με το 2.
  • Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης δίνει τη δυνατότητα να σχηματίζουμε το απεριόριστο πλήθος των φυσικών αριθμών χρησιμοποιώντας μόνο τα δέκα γνωστά ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
    • H δυνατότητα αυτή υπάρχει γιατί η αξία ενός ψηφίου καθορίζεται μόνο από τη θέση που κατέχει, δηλαδή τη δεκαδική τάξη του (μονάδες, δεκάδες, εκατοντά­δες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, ...).
  • Στο εξής θα χρησιμοποιούμετα παρακάτω σύμβολα:
    το = που σημαίνει "ίσος με",
    το < που σημαίνει "μικρότερος από" και
    το > που σημαίνει "μεγαλύτερος από".
    • Μπορούμε πάντα να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς μεταξύ τους.
      Επομένως έχουμε τη δυνατότητα να διατάξουμε τους φυσικούς αριθμούς από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, δηλαδή με αύξουσα σειρά μεγέθους. Για παράδειγμα: 0<1<2<3< .... <10<11<12< ... <297< ... <1000< ...
  • Η δυνατότητα αυτή, της διάταξης των φυσικών αριθμών, επιτρέπει να τους τοποθετήσουμε πάνω σε μια ευθεία γραμμή με τον παρακάτω τρόπο:
 
Διαλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο Ο της ευθείας, που το λέμε αρχή, για να παραστήσουμε τον αριθμό 0. Μετά δεξιά από το σημείο Ο διαλέγουμε ένα άλλο σημείο Α, που παριστάνει τον αριθμό 1. Τότε, με μονάδα μέτρησης το ΟΑ, βρίσκουμε τα σημεία που παριστάνουν τους αριθμούς: 2, 3, 4, 5, ... Εικόνα

Μικροπείραμα μικροπείραμα
 
Στρογγυλοποίηση
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η
Εικόνα

Στις 13 Ιουνίου 2004, ακούστηκε στις ειδήσεις ότι από τα 450 εκατομμύρια πολιτών της Ευρωπαϊκής Ένωσης, ψηφίζουν τα 338 εκατομμύρια για να εκλέξουν 732 βουλευτές του Ευρωκοινοβουλίου.

  • Γατί δεν αναφέρθηκε το ακριβές πλήθος των 454.018.512 πολιτών της Ε.Ε., καθώς και ο ακριβής αριθμός των 337.922.145 που είχαν δικαίωμα ψήφου;
  • Γατί, αντίθετα, στην περίπτωση των 732 ευρωβουλευτών, αναφέρθηκε ο ακριβής αριθμός;
  • Πότε επιτρέπεται να χρησιμοποιούμε αυτή τη διαδικασία προσέγγισης ενός φυσικού αριθμού;
Σκεφτόμαστε

Η δραστηριότητα αυτή μας οδηγεί να προβληματιστούμε γιατί σε αριθμούς, όπως το ακριβές πλήθος των πολιτών της Ε.Ε., δε χρειάζεται να αναφερθούμε με ακρίβεια, ενώ σε άλλους, όπως ο αριθμός των ευρωβουλευτών, απαιτείται ακρίβεια. Πότε, γενικότερα, η ακριβής διατύπωση ενός αριθμού είναι αναγκαία;

Στην περίπτωση του πλήθους των πολιτών ή των ψηφοφόρων της Ε.Ε., αυτό που κυρίως ενδιαφέρει είναι η "τάξη μεγέθους", π.χ. τα εκατομμύρια. Ενώ για τους ευρωβουλευτές ο ακριβής αριθμός είναι απαραίτητος, π.χ. στις ψηφοφορίες.

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι χρειάζεται μια διαδικασία που μας βοηθάει να εκφράσουμε, με τρόπο κοινά αποδεκτό, ένα φυσικό αριθμό για τον οποίο δεν απαιτείται ακρίβεια. Για παράδειγμα το ύψος ενός βουνού που είναι 1987 m., λέμε, συνήθως, 2000 m. Ενώ ο αριθμός ενός τηλεφώνου, το ΑΦΜ ή ο ταχυδρομικός κωδικός αναφέρονται πάντα με ακρίβεια.
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
  • Πολλές φορές αντικαθιστούμε ένα φυσικό αριθμό με μια προσέγγισή του, δηλαδή κάποιο άλλο λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερο του. Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμε στρογγυλοποίηση.
  • Για να στρογγυλοποιήσουμε ένα φυσικό αριθμό:
    - Προσδιορίζουμε τη τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση.
    - Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης.
    - Αν αυτό είναι μικρότερο του 5 (δηλαδή 0, 1, 2, 3 ή 4), το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται.
    - Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8 ή 9), το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυ­λοποίησης αυξάνεται κατά 1.
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Εικόνα  

Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 9.573.842 στις (α) εκατοντάδες, (β) χιλιάδες (γ) εκατομμύρια.
Εικόνα

 
(α)

Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατοντάδες.

Προηγούμενη τάξη: 4 < 5. Το 4 και όλα τα προς
τα δεξιά ψηφία αντικαθίστανται από το μηδέν.

9.573.842 -> 9.573.800
(β)

Τάξη στρογγυλοποίησης: χιλιάδες

Προηγούμενη τάξη: 8 > 5.

Όλα τα προς τα δεξιά ψηφία αντικαθίστανται
από το μηδέν και το 3 γίνεται 4.

 9.573.842 -> 9.574.000
(γ)

Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατομμύρια

Προηγούμενη τάξη: 5 = 5.

Όλα τα προς τα δεξιά ψηφία αντικαθίστανται
από το μηδέν και το 9 γίνεται 10.

 9.573.842 -> 10.000.000

Μικροπείραμα μικροπείραμα    Μικροπείραμα μικροπείραμα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

 Γράψε με ψηφία τους αριθμούς που δίνονται παρακάτω σε φυσική γλώσσα: (α) διακόσια πέντε, (β) επτακόσια τριάντα δύο (γ) είκοσι χιλιάδες οκτακόσια δέκα τρία. Εικόνα
Εικόνα Γράψε σε φυσική γλώσσα τους αριθμούς: (α) 38.951, (β) 5.000.812, (γ) 120.003.
Εικόνα Ποιοι είναι οι τρεις προηγούμενοι αριθμοί του 289 και ποιοι οι δύο επόμενοι;
Εικόνα Τοποθέτησε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: 3.515, 4.800, 3.620, 3.508, 4.801.
Εικόνα Τοποθέτησε το κατάλληλο σύμβολο: <, =, >, στο κενό μεταξύ των ακόλουθων αριθμών: (α) 45...45 (β) 38...36, (γ) 456...465, (δ) 8.765...8.970, (ε) 90.876...86.945, (στ) 345...5.690
Εικόνα Κατασκεύασε έναν άξονα με αρχή το σημείο Ο και μονάδα OA ίσο με 2 cm. Τοποθέτησε τα σημεία Β, Γ, Δ, Ε σε αποστάσεις 6 cm, 10 cm, 12 cm και 14 cm αντίστοιχα. Ποιοι αριθμοί αντιστοιχούν στα σημεία αυτά;
Εικόνα
Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
(α) Στον αριθμό 5780901 το μηδέν δηλώνει απουσία δεκάδων και χιλιάδων    
(β)  Δέκα χιλιάδες είναι μία δεκάδα χιλιάδα    
(γ)  Σε μια πενταήμερη εκδρομή θα γίνουν πέντε διανυχτερεύσεις    
(δ) Από τον αριθμό 32 ως τον αριθμό 122 υπάρχουν 91 αριθμοί    
(ε) Σε οκτώ ημέρες από σήμερα, που είναι Πέμπτη,θα είναι Παρασκευή    
(στ) Από την 12η σελίδα του βιβλίου μέχρι και την 35η είναι 24 σελίδες    
(ζ) Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός μεταξύ των αριθμών 2 και 3    

Οι επόμενες τέσσερις ερωτήσεις αναφέρονται στο σχήμα
Εικόνα
(η)  Στο σημείο Κ αντιστοιχεί ο αριθμός 370    
(θ) Στο σημείο Λ αντιστοιχεί ο αριθμός 1050    
(ι)  Στο σημείο Μ αντιστοιχεί ο αριθμός 1200    
(ια)  Στο σημείο Ν αντιστοιχεί ο αριθμός 1875    
Εικόνα Στρογγυλοποίησε στην πλησιέστερη εκατοντάδα τους αριθμούς: 345, 761, 659, 2.567, 9.532, 123.564, 34.564, 31.549 και 8.765.
Εικόνα Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 7.568.349 στις πλησιέστερες: (α) δεκάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες, (δ) δεκάδες χιλιάδες, (ε) εκατοντάδες χιλιάδες.