Φυσική (Γ Λυκείου Θετικών Σπουδών) - Βιβλίο Μαθητή
1-3 ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 1-5 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

Eικ. 1.3 Στη φωτογραφία φαίνονται παιδιά να κάνουν κούνια. Όταν η απομάκρυνση είναι μέγιστη, η ταχύτητα είναι μηδενική.

Eικ. 1.3 Στη φωτογραφία φαίνονται παιδιά να κάνουν κούνια. Όταν η απομάκρυνση είναι μέγιστη, η ταχύτητα είναι μηδενική.
1-4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Στους οπλισμούς πυκνωτή χωρητικότητας C (σχ. 1.12) συνδέουμε πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L. Το πηνίο και .οι αγωγοί δεν έχουν αντίσταση.

Φορτίζουμε τον πυκνωτή (π.χ. φέρνοντας σε επαφή τους οπλισμούς του με τους πόλους πηγής συνεχούς τάσης) με φορτίο Q και κλείνουμε το διακόπτη Δ (σχ. 1.13α). Αρχίζει τότε η εκφόρτιση του πυκνωτή και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα. Η ένταση του ρεύματος, λόγω της αυτεπαγωγής του πηνίου, αυξάνεται σταδιακά και γίνεται μέγιστη (I) τη στιγμή της πλήρους εκφόρτισης του πυκνωτή (σχ. 1.13β).

Το ρεύμα, εξαιτίας του φαινομένου της αυτεπαγωγής στο πηνίο, δε μηδενίζεται αμέσως μετά την εκφόρτιση του πυκνωτή. Το κύκλωμα συνεχίζει για λίγο χρόνο να διαρρέεται από ρεύμα που συνεχώς ελαττώνεται. Η κίνηση αυτή των φορτίων έχει ως αποτέλεσμα ο πυκνωτής να φορτιστεί πάλι, τώρα όμως με αντίθετη πολικότητα. Όταν το ρεύμα μηδενιστεί ο πυκνωτής θα έχει αποκτήσει πάλι φορτίο Q (σχ. 1.13γ).

Σχ. 1.13 Τη στιγμή μηδέν, που ο πυκνωτής έχει φορτίο Q, κλείνουμε το διακόπτη. Στο σχήμα φαίνονται διάφορες φάσεις της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος κατά τη διάρκεια μιας περιόδου.

Σχ. 1.13 Τη στιγμή μηδέν, που ο πυκνωτής έχει φορτίο Q, κλείνουμε το διακόπτη. Στο σχήμα φαίνονται διάφορες φάσεις της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος κατά τη διάρκεια μιας περιόδου.

 

Στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαμβάνεται αντίστροφα. 0 πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται, το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα και το κύκλωμα επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση (σχ. 1.13δ-ε). Στην ιδανική περίπτωση που δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνέχεια. Το φαινόμενο ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση.

Αποδεικνύεται ότι το φορτίο του πυκνωτή μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση


q=Qσυνωt       (1.15)

 

 και η ένταση του ρεύματος στο πηνίο, σύμφωνα us τη σχέση

 

i=-Iημωt       (1.16)

 

όπου                         I=Qω

 

Στις σχέσεις αυτές, χρονική στιγμή μηδέν θεωρείται η στιγμή που κλείνουμε το διακόπτη. Θετική θεωρείται η φορά του ρεύματος όταν αυτό κατευθύνεται προς τον οπλισμό του πυκνωτή που για t = 0 ήταν θετικά φορτισμένος.
Από ενεργειακή άποψη, η αρχική ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή UE= ΕικόναΕικόνα με την εκφόρτισή του ελαττώνεται και μετατρέπεται σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο UB = ΕικόναLi2. Όταν ο πυκνωτής εκφορτιστεί εντελώς η ενέργεια του είναι μηδενική και όλη η ενέργειά του έχει μετατραπεί σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο, η οποία τώρα έχει αποκτήσει τη μέγιστη τιμή της UE = ΕικόναLI2. Στη συνέχεια αυτή η διαδικασία γίνεται αντίστροφα, μειώνεται η ενέργεια στο πηνίο και αυξάνεται στον πυκνωτή, μέχρι την πλήρη φόρτισή του οπότε το κύκλωμα επανέρχεται ενεργειακά στην αρχική του κατάσταση. Η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται.

Οι ενέργειες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου κάποια στιγμή είναι, αντίστοιχα

UE = ΕικόναΕικόνα                                              (1.17)

και                      UB = ΕικόναLi2                                              (1.18)

Η ολική ενέργεια του κυκλώματος στην ιδανική περίπτωση όπου δεν υπάρχουν απώλειες, θεωρείται σταθερή και είναι

Εικόνα

Η σχέση (1.17) γίνεται από την (1.15)

UE= ΕικόναΕικόνασυν2ωt = Eσυν2ωt                                          (1.19)

και η (1.18) από τη (1.16)

UB = ΕικόναLI2ημ2ωt = Eημ2ωt                                              (1.20)

Από τις σχέσεις (1.19) και (1.20) φαίνεται αυτό που προηγουμένως περιγράψαμε ποιοτικά, ότι δηλαδή η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο και αντίστροφα. Στο σχήμα 1.15 βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις των  UE  και  UB  σε συνάρτηση με το χρόνο. Να σημειωθεί ότι το άθροισμα UE και UB διατηρείται σταθερό.


Σχ. 1.14 Οι γραφικές παραστάσεις του φορτίου στον πυκνωτή και του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο, σε κύκλωμα LC

Σχ. 1.14 Οι γραφικές παραστάσεις του φορτίου στον πυκνωτή και του ρεύματος σε συνάρτηση με το χρόνο, σε κύκλωμα LC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Σχ. 1.15 Η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή, μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο.

Σχ. 1.15 Η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή, μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο.

 


Σχ. 1.16 Η ηλεκτρική ταλάντωση παρουσιάζει αναλογίες με την ταλάντωση που εκτελεί το σώμα του σχήματος.

Σχ. 1.16 Η ηλεκτρική ταλάντωση παρουσιάζει αναλογίες με την ταλάντωση που εκτελεί το σώμα του σχήματος.

Περιγράψαμε την ηλεκτρική ταλάντωση με την προϋπόθεση ότι η ενέργεια του συστήματος διατηρείται. Η κατάσταση αυτή, όμως, είναι ιδανική. Στην πραγματικότητα υπάρχουν δυο λόγοι για τους οποίους η ενέργεια του συστήματος μειώνεται. Πρώτον, οι αγωγοί του συστήματος έχουν αντίσταση κι επομένως ένα μέρος της ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα. Δεύτερον, τα κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, δηλαδή χάνουν ενέργεια.

Η περίοδος Τ ενός τέτοιου ιδανικού κυκλώματος είναι

Εικόνα

Αξιοσημείωτο είναι ότι η περίοδος εξαρτάται μόνο από τη χωρητικότητα και την αυτεπαγωγή του κυκλώματος.

Παρατήρηση                                                                    

Η ηλεκτρική ταλάντωση ενός τέτοιου κυκλώματος, παρουσιάζει αναλογίες με την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί σώμα μάζας m προσδεμένο σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ. Αν το σώμα στο σχήμα 1.16 απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο να κινηθεί, χωρίς τριβές, θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Αν ως χρονική στιγμή μηδέν θεωρηθεί η στιγμή κατά την οποία αφέθηκε ελεύθερο, η ταλάντωση θα έχει αρχική φάση π/2.

Οι σχέσεις που περιγράφουν την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σώματος κάθε στιγμή είναι

x = Aημ (ωt +π/2) = Ασυνωt

υ = υmax συν (ωt +π/2) = -υmaxημωt

Στην ηλεκτρική ταλάντωση το φορτίο στον πυκνωτή και το ρεύμα στο κύκλωμα μεταβάλλονται όπως η απομάκρυνση και η ταχύτητα στη μηχανική ταλάντωση που περιγράψαμε.

Στο μηχανικό σύστημα, η αρχική δυναμική ενέργεια ΕικόναKA2 μετατρέπεται περιοδικά σε κινητική, ενώ η συνολική ενέργεια - μηχανική ενέργεια - διατηρείται. Αντίστοιχα στο κύκλωμα LC, η αρχική ενέργεια Εικόνα -ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου - μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου, ενώ η συνολική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1-2

Κύκλωμα LC αποτελείται από πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=2 mH, και πυκνωτή χωρητικότητας C=5μF. Φέρουμε στιγμιαία τους οπλισμούς του πυκνωτή σε επαφή με πηγή τάσης V=20V.
α) Να υπολογιστεί η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα.
β) Να γραφούν οι σχέσεις που δίνουν το φορτίο στον πυκνωτή και το ρεύμα στο κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση :

α) Η περίοδος των ηλεκτρικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα είναι

T = 2πΕικόνα

Επομένως η συχνότητα f=1/T είναι

f = Εικόνα = 16 x 102 Hz

β) Αν στιγμή μηδέν θεωρηθεί η στιγμή κατά την οποία φορτίστηκε ο πυκνωτής από την πηγή, το φορτίο που απέκτησε ο πυκνωτής εκείνη τη στιγμή είναι

Q = CV = (5 x 10-6F) (20V) = 10-4C

Η γωνιακή συχνότητα είναι

ω=2πf=104 rad/s

Επομένως η σχέση που δίνει το φορτίο στον πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο είναι

q=Qσυνωt=10-4συν104t                                    (S.I)

Αν θεωρήσουμε ότι η ενέργεια στο κύκλωμα διατηρείται, η μέγιστη ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι ίση με τη μέγιστη ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή, επομένως

ΕικόναΕικόνα = ΕικόναLI2 άρα Ι = Εικόνα = 1Α

Η σχέση που δίνει το ρεύμα στο κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο είναι

i=-Iημωt=-ημ104t                                    (S.I)