Μαθηματικά (Γ Λυκείου Θετικών Σπουδών / Οικονομίας & Πληροφορικής)- Βιβλίο Μαθητή
B2.7: TOΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ B2.9: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

2.8 KΥΡΤΟΤΗΤΑ – ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Κοίλα - κυρτά συνάρτησης

● Έστω οι συναρτήσεις f(x) = x2  και  f(x) = √|x|   (Σχ. 38).

Εικόνα

Οι πληροφορίες τις οποίες μας δίνει η πρώτη παράγωγος για τη συμπεριφορά κάθε μιας από τις δύο συναρτήσεις, όπως φαίνεται και στο σχήμα 38 είναι ίδιες. Δηλαδή οι συναρτήσεις,

— είναι γνησίως φθίνουσες στο  (−∞,0]

— είναι γνησίως αύξουσες στο   [0,+∞)

— παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο για x = 0, το οποίο είναι ίσο με 0.

Όμως, οι συναρτήσεις αυτές έχουν διαφορετικές γραφικές παραστάσεις. Δηλαδή, "ανέρχονται" και "κατέρχονται" με διαφορετικό τρόπο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (−∞,0]  και  [0,+∞). Επομένως, οι πληροφορίες που μας δίνει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου δεν είναι ικανές για τη χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.

Ας θεωρήσουμε τώρα τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο διάστημα  [0,+∞).

Εικόνα

Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται:

— η κλίση  f ʹ(x)  της  Cf  αυξάνεται, δηλαδή η f ʹ είναι γνησίως αύξουσα στο  [0,+∞), ενώ

— η κλίση  της  gʹ(x)  της  Cg  ελαττώνεται, δηλαδή η gʹ είναι γνησίως φθίνουσα στο  [0,+∞).

Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο  [0,+∞), ενώ στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι η g στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο  [0,+∞). Γενικά δίνουμε τον παρακάτω ορισμό :

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και  παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι :
● Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f ʹ είναι γνησίως αύξουσα στο  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  του Δ.
● Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f ʹ είναι γνησίως φθίνουσα στο  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  του Δ.

Εποπτικά, μία συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, όταν ένα κινητό, που κινείται πάνω στη Cf , για να διαγράψει το τόξο που αντιστοιχεί στο διάστημα Δ πρέπει να στραφεί κατά τη θετική (αντιστοίχως αρνητική) φορά.  (Σχ. 40)

Εικόνα

Για να δηλώσουμε στον πίνακα μεταβολών ότι μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό Εικόνα (αντιστοίχως Εικόνα).

ΣΧΟΛΙΟ

Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ' ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται "κάτω" (αντιστοίχως "πάνω") από τη γραφική της παράσταση (Σχ. 39), με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

● Η μελέτη μιας συνάρτησης ως προς τα κοίλα και κυρτά διευκολύνεται με τη βοήθεια του επόμενου θεωρήματος, που είναι άμεση συνέπεια του προηγούμενου ορισμού και του θεωρήματος μονοτονίας.

ΘΕΩΡΗΜΑ

΄Εστω μια συνάρτηση f συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.
● Αν f ʹʹ(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.
● Αν f ʹʹ(x) < 0 για κάθε εσωτερικό  σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ.

 

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x3   (Σχ. 41),   Εικόνα
— είναι κοίλη στο  (−∞,0] , αφού  f ʹʹ = 6x < 0, για x ϵ (−∞,0) και η f είναι συνεχής στο  (−∞,0] ενώ,
— είναι κυρτή στο [0,+∞) , αφού  f ʹʹ = 6x > 0, για x ϵ (0,+∞) και η f είναι συνεχής στο [0,+∞).

 

ΣΧΟΛΙΟ

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση  f(x) = x4  (Σχ. 42). Επειδή η f ʹ(x) = 4x3 είναι γνησίως αύξουσα στο R, η f(x) = x4 είναι κυρτή στο R. Εντούτοις, η f ʹʹ(x) δεν είναι θετική στο R, αφού f ʹʹ(0) = 0.

  Εικόνα
 

Σημεία καμπής

Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3  (Σχ. 41) παρατηρούμε ότι,

(α) στο σημείο O(0,0) η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη και

(β) εκατέρωθεν του x0 = 0, η κυρτότητα της καμπύλης αλλάζει.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η γραφική παράσταση της f "κάμπτεται" στο σημείο O(0,0). Το σημείο Ο λέγεται σημείο καμπής της Cf. Γενικά δίνουμε τον παρακάτω ορισμό.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α,β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 . Αν
● η f είναι κυρτή στο  (α,x0)  και κοίλη στο  (x0,β) , ή αντιστρόφως, και
● η Cf έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(x0, f(x0)),
τότε το σημείο  Α(x0, f(x0))  ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

Όταν το Α(x0, f(x0)) είναι σημείο καμπής της  Cf , τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x0 καμπή και το x0 λέγεται θέση σημείου καμπής. Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της  Cf  "διαπερνά" την καμπύλη. Αποδεικνύεται, επιπλέον, ότι:

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν το Α(x0, f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ʹʹ(x0) = 0.

Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ στα οποία η f ʹʹ είναι διαφορετική από το μηδέν δεν είναι θέσεις σημείων καμπής. Επομένως, ο ι   π ι θ α ν έ ς   θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν   κ α μ π ή ς   μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ είναι:

i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f ʹʹ μηδενίζεται, και

ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f ʹʹ (Σχ. 43).

  Εικόνα
 

 

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση   Εικόνα
Εικόνα
Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R−{1} με
Εικόνα

Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα:

Εικόνα

Επειδή η f ʹʹ μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, οι πιθανές θέσεις των σημείων καμπής είναι τα σημεία 0, 1 και 2. Όμως, όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και στο σχήμα, τα σημεία 1 και 2 δεν είναι θέσεις σημείων καμπής, αφού σ' αυτά η f δεν αλλάζει κυρτότητα, ενώ το σημείο 0 είναι θέση σημείου καμπής, αφού στο Ο(0,0) υπάρχει εφαπτομένη της Cf και η f στο 0 αλλάζει κυρτότητα. Παρατηρούμε λοιπόν ότι από τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής, θέση σημείου καμπής είναι μόνο το 0, εκατέρωθεν του οποίου η f ʹʹ αλλάζει πρόσημο. Γενικά:

Έστω μια συνάρτηση f oρισμένη σ' ένα διάστημα (α,β) και x0 ϵ (α,β) . Αν
● η f ʹʹ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 και

● ορίζεται εφαπτομένη της  Cf  στο Α(x0, f(x0)),
τότε το Α(x0, f(x0)) είναι σημείο καμπής.

 

ΕΦΑΡΜΟΓH

Nα προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση

f(x) = x4 − 6x2 + 5 ,

είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

ΛΥΣΗ

i) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με f ʹʹ(x) = 12(x−1)(x + 1). Το πρόσημο της f ʹʹ φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα:

Εικόνα

Επομένως, η f είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα  (−∞,−1]  και  [1, +∞)  και κοίλη στο διάστημα [−1,1].

Επειδή f ʹʹ η μηδενίζεται στα σημεία −1, 1 και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο, τα σημεία Α(−1,0) και Β(1,0) είναι σημεία καμπής της Cf. Τα συμπεράσματα αυτά καταχωρούνται στην τελευταία γραμμή του παραπάνω πίνακα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων

Εικόνα

2. Ομοίως για τις συναρτήσεις :

Εικόνα

3. Oμοίως για τις συναρτήσεις :

Εικόνα

4. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης f στο διάστημα [−1,10].

Εικόνα

Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής.
5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C της συνάρτησης θέσεως x = S(t) ενός κινητού που κινείται πάνω σε έναν άξονα. Αν η C παρουσιάζει καμπή τις χρονικές στιγμές t1 και  t3, να βρείτε:   Εικόνα

i) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά.

ii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη.


Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Εικόνα

και να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο.

2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης :

f(x) = 2e x−α − x 2

έχει για κάθε τιμή του α ϵ R, ακριβώς ένα σημείο καμπής που βρίσκεται στην παραβολή y = − x 2 + 2.

3. Να αποδείξετε ότι για κάθε α ϵ (−2,2) η συνάρτηση  f(x) = x 4 − 2αx3 + 6x 2 + 2x + 1 είναι κυρτή σε όλο το R.


4. Δίνεται η συνάρτηση (x) = x3 − 3x2 + 2.

i) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής.

ii) Aν x1 , x2 είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και x3 η θέση του σημείου καμπής, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(x1, f(x1)),  B(x2 , f(x2))  και  Γ(x3, f(x3))  είναι συνευθειακά.

5. Έστω f μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο [−2,2], για την οποία ισχύει

f  2(x) − 2f(x) + x 2 − 3 = 0

Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.