Μαθηματικά (Γ Λυκείου Θετικών Σπουδών / Οικονομίας & Πληροφορικής)- Βιβλίο Μαθητή
|
2.5 TO ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Στην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε ένα από τα πλέον βασικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού που είναι γνωστό ως Θεώρημα Μέσης Τιμής. Αρχικά διατυπώνουμε το Θεώρημα του Rolle, το οποίο είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής και στη συνέχεια διατυπώνουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής, το οποίο αποδεικνύεται με τη βοήθεια του Θεωρήματος του Rolle. |
|
ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle)
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.)
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Nα αποδειχτεί ότι: i) Η συνάρτηση f(x) = λx3 + x2 − (λ+1)x, λ ϵ R*, ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [0,1]. ii) Η εξίσωση f(x) = 3λx2 + 2x − (λ+1) = 0, λ ϵ R* έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (0,1).
i) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0,1] αφού ● είναι συνεχής στο [0,1] ως πολυωνυμική ● είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) με f ʹ(x) = 3λx2 + 2x − (λ+1) και ● ισχύει f(0) = f(1) = 0. |
||||||||||||||
|
ii) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση f(x) = λx3 + x2 − (λ+1)x, λ ϵ R*, ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ξ ϵ (0,1) τέτοιο, ώστε f ʹ(ξ) = 0 ή, ισοδύναμα, 3λξ2 + 2ξ − (λ+1) = 0. Επομένως, το ξ ϵ (0,1) θα είναι ρίζα της εξίσωσης 3λx2 + 2x − (λ+1) = 0. 2. Να αποδειχτεί ότι για τη συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + γ, α ≠ 0 και για οποιοδήποτε διάστημα [x1,x2], ο αριθμός x0 ϵ (x1, x2), που ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, είναι το κέντρο του διαστήματος [x1, x2], δηλαδή είναι ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + γ είναι συνεχής στο [x1,x2] ως πολυωνυμική και παραγωγίσιμη στο (x1,x2), με f ʹ(x) = 2αx +β. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει x0 ϵ (x1, x2), τέτοιο, ώστε
Είναι όμως :
Επομένως, η σχέση (1) γράφεται :
3. Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μία διαδρομή 200 χιλιομέτρων σε 2,5 ώρες. Να αποδειχθεί ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 80 χιλιόμετρα την ώρα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω x = S(t), t ϵ [0, 2,5] η συνάρτηση θέσης του κινητού. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει t0 ϵ [0, 2,5] , τέτοια ώστε υ( t0) = Sʹ(t0) = 80.
|
|
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Nα εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα που αναφέρεται, και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα ξ ϵ (α, β) για τα οποία ισχύει f ʹ(ξ) . 2. Να εξετάσετε, ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα που αναφέρεται και στη συνέχεια, για εκείνες που ισχύει το θεώρημα, να βρείτε όλα ξ ϵ (α, β) τα για τα οποία ισχύει
3. Αν α < β, να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f(x) = ex και g(x) = lnx ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [α,β] και στη συνέχεια ότι :
Για τη συνάρτηση g(x) = lnx υποθέτουμε επιπλέον ότι 0 < α < β.
1. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x4 − 20x3 − 25x2 − x +1 |
|
2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x − 1)ημx. Να αποδείξετε ότι : 3. i) Δίνεται μια συνάρτηση f με f ʹ(x) ≠ 1 για κάθε x ϵ R. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4. i) Να αποδείξετε ότι
5. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [0,4] και ισχύει 2 ≤ f ʹ(x) ≤ 5 για κάθε x ϵ (0,4). Αν f(0) = 1, να αποδείξετε ότι 9 ≤ f(4) ≤ 21. 6. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [−1,1] και ισχύει f ʹ(x) ≤ 1 για κάθε x ϵ (−1,1). Αν f(−1) = −1 και f(1) = 1, να αποδείξετε ότι f(0) = 0, εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [−1,0] και [0,1]. 7. Να αποδείξετε με το θεώρημα του Rolle ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία τα A(0,1) , B(1,2). |
, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει ένας αριθμός ξ ϵ (0,4) τέτοιος, ώστε 
.
αληθεύει μόνο για x = 0. 
, για κάθε 
, να αποδείξετε ότι για όλα τα α, β 