2.2  ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

● Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι :

— H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x₀ ϵ A.

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x₀ ϵ (α, β).

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον ισχύει

● Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού  Α  και  Α₁  τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x ϵ Α₁ στο f ʹ(x), ορίζουμε τη συνάρτηση

η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f.
H πρώτη παράγωγος της f συμβολίζεται και με που διαβάζεται "ντε εφ προς ντε χι". Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y = f ʹ(x) θα τη συμβολίζουμε και με y = (f(x))ʹ.

● ΄Εστω η συνάρτηση  f(x) = x ^ν ,  ν ϵ N-{0, 1} . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει
f ʹ(x) = νx ^ν−1, δηλαδή

Πράγματι, αν x₀ είναι ένα σημείο του R, τότε για x ≠ x₀ ισχύει :

οπότε

δηλαδή ( x^ν ) ʹ = νx ^ν−1. ■

● ΄Εστω η συνάρτηση   . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, +∞) και ισχύει , δηλαδή

Πράγματι, αν x₀ είναι ένα σημείο του (0, +∞) , τότε για x ≠ x₀ ισχύει :

οπότε

δηλαδή .

Όπως είδαμε στην παράγραφο 3.1 η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. ■

● ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = ημx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ʹ(x) = συνx , δηλαδή

Πράγματι, για κάθε  x ϵ R  και  h ≠ 0  ισχύει

Επειδή

έχουμε

δηλαδή  (ημx) ʹ = συνx. ■

● ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = συνx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ʹ(x) = − ημx , δηλαδή

Πράγματι, για κάθε  x ϵ R  και  h ≠ 0  ισχύει

οπότε

δηλαδή  (συνx) ʹ = − ημx. ■

ΣΧΟΛΙΟ

Τα όρια

τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την παράγωγο των συναρτήσεων f(x) = ημx,  g(x) = συνx, είναι η παράγωγος στο  x₀ = 0  των συναρτήσεων  f, g  αντιστοίχως, αφού

● ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = e ^x. Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ʹ(x) = e ^x, δηλαδή

● ΄Εστω η συνάρτηση f(x) = lnx. Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, +∞) και ισχύει , δηλαδή

( lnx) ʹ =

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = lnx, στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ΛΥΣΗ

Επειδή , η εξίσωση της εφαπτομένης  ε της Cf σε ένα σημείο  Α(x0, f(x0)) είναι
Η ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) , αν και μόνο αν
Άρα, το ζητούμενο σημείο είναι το Μ(e, 1).

2. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = ημx στα σημεία Ο(0,0) και Α(π,0) αντιστοίχως. Να βρεθούν: i) Οι εξισώσεις των ε1 και ε2 ii) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ε1 , ε2 και ο άξονας των x.

ΛΥΣΗ

i) Επειδή f ʹ(x) = (ημx) ʹ = συνx, είναι  f ʹ(0) = 1  και  f ʹ(π) = −1  οπότε οι ε₁ , ε₂ , έχουν εξισώσεις

αντιστοίχως.

ii) Αν λύσουμε το σύστημα των παραπάνω δύο εξισώσεων βρίσκουμε ότι οι ευθείες ε₁ , ε₂, τέμνονται στο σημείο .
Άρα, το τρίγωνο ΟΑΒ έχει εμβαδόν .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x₀ όταν :

2. Nα βρείτε, όπου ορίζεται, την παράγωγο των συναρτήσεων :

3. Nα αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της παραβολής  y = x² στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης να είναι μεταξύ τους παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x³ ;

4. Να παραστήσετε γραφικά την παράγωγο της συνάρτησης f του διπλανού σχήματος.

5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f : [0, 8] → R, η οποία είναι συνεχής, με f(0) = 0, και της οποίας η παράγωγος παριστάνεται γραφικά στο διπλανό σχήμα.

1. Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση , είναι παραγωγίσιμη στο x₀ = π.

2. Έστω η συνάρτηση και το σημείο Α(ξ, f(ξ)),  ξ ≠ 0  της γραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία  Α(ξ, f(ξ))  και  Β(−ξ,0) εφάπτεται της C_f  στο Α.

3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f(x) = x³ σε οποιοδήποτε σημείο της Μ(α, α³), α ≠ 0 έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ. Στο σημείο Ν η κλίση της  C_f  είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ.

4. Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = σε ένα σημείο Μ (ξ, 1/ξ) της M. Αν A,B είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες xʹx και yʹy αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι

i) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ.

ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ ϵ R^*.