1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x₀ ϵ R

— Στο σχήμα 54 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο x0. Παρατηρούμε ότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα xʹx πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x0, οι τιμές f(x) αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο +∞ και γράφουμε
.

— Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά στο x0. Παρατηρούμε ότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα xʹx πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό x0, οι τιμές f(x) ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό −M (M >0). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο x0 όριο −∞ και γράφουμε
.

ΟΡΙΣΜΟΣ _^*

Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0)∪(x0, β). Ορίζουμε

● , όταν για κάθε M >0 υπάρχει δ >0 τέτοιο, ώστε για κάθε x ϵ (α, x0)∪(x0, β),   με 0 < |x − x0| < δ , να ισχύει :

f(x) > M

● , όταν για κάθε M >0 υπάρχει δ >0 τέτοιο, ώστε για κάθε x ϵ (α, x0)∪(x0, β),   με 0 < |x − x0| < δ , να ισχύει :

f(x) < −M

Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν  και  .

Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής  (α, x₀)∪(x₀, β),  ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες:

Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες :

Σύμφωνα με τις ιδιότητες αυτές έχουμε:

και γενικά ,     ν ϵ N^*    (Σχ. 57α)

      ν ϵ N

ενώ

       ν ϵ N      (Σχ. 57β).

Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της ,   ν ϵ N

Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (όριο αθροίσματος)

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (όριο γινομένου)

Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο (αν υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε. Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι:

Επειδή και , απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι:

Για παράδειγμα:

— αν πάρουμε τις συναρτήσεις  και  , τότε έχουμε:

και

ενώ,

— αν πάρουμε τις συναρτήσεις  και  , τότε έχουμε :

και

Ανάλογα παραδείγματα μπορούμε να δώσουμε και για τις άλλες μορφές.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα βρεθούν τα όρια :

ΛΥΣΗ

1. Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) το

2. Να αποδείξετε ότι:

i) Η συνάρτηση f(x) = εφx δεν έχει όριο στο π/2.

ii) Η συνάρτηση f(x) = σφx δεν έχει όριο στο 0.

3. Δίνονται οι συναρτήσεις

Nα βρείτε τις τιμές των λ, μ ϵ R για τις οποίες υπάρχουν στο R τα όρια

4.Να βρείτε το , όταν :