2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ⁽¹⁾

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Εισαγωγή

Η δημιουργία των μιγαδικών αριθμών οφείλεται στην προσπάθεια επίλυσης των εξισώσεων 3ου βαθμού. Αν στην αx³ + βx² + γx + δ = 0 θέσουμε και εκτελέσουμε τις πράξεις, τότε προκύπτει μια εξίσωση της μορφής x³ = px + q.

Στις αρχές του 16ου αιώνα οι Ιταλοί αλγεβριστές S. del Ferro και N. Tartaglia ανακάλυψαν μια μέθοδο επίλυσης τέτοιων εξισώσεων, που με σημερινό συμβολισμό ισοδυναμεί με τον τύπο

Στην περίπτωση που η “διακρίνουσα” D είναι θετική, ο τύπος αυτός δίνει αμέσως μια ρίζα της εξίσωσης. Για παράδειγμα, στην x³ = 9x + 28 είναι D = 169 και ο τύπος δίνει x = 4 , που είναι η μοναδική πραγματική ρίζα. Διαπιστώθηκε, όμως, τότε ένα φαινόμενο τελείως διαφορετικό από την περίπτωση των εξισώσεων 2ου βαθμού: Υπάρχουν εξισώσεις με πραγματικές ρίζες, όπως, για παράδειγμα, η x³ = 15x + 4 , που έχει μια προφανή ρίζα το 4 (οι άλλες δύο είναι οι   – 2 + √3 , – 2 – √3), αλλά η διακρίνουσα D είναι αρνητική! Ο τύπος στη συγκεκριμένη περίπτωση δίνει

Όπως είναι φανερό, οι μαθηματικοί βρέθηκαν, εδώ, μπροστά σε ένα δίλημμα: ή θα έπρεπε να εγκαταλείψουν τη μέθοδο των Ferro-Tartaglia ως γενική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 3ου βαθμού ή να δεχτούν ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός, όπως το 4, μπορεί να εκφραστεί με παραστάσεις που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών.

⁽¹⁾To κεφάλαιο αυτό έχει ληφθεί από το βιβλίο: «Μαθηματικά Β΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» των: Αδαμόπουλου Λ., Βισκαδουράκη Β., Γαβαλά Δ., Πολύζου Γ. και Σβέρκου Α.

Η δεύτερη άποψη φαινόταν αδιανόητη αλλά αυτό δεν εμπόδισε την εφαρμογή των αλγεβρικών πράξεων σε τέτοιες παραστάσεις. Στα μέσα του 16ου αιώνα ο R. Bombelli, κάνοντας τολμηρές υποθέσεις, βρήκε ότι ισχύει ( 2 + √– 1)³ = 2 + √– 121  και  (2 – √– 1)³ = 2 – √– 121 . Αντικαθιστώντας αυτές τις ισότητες στην (1) προκύπτει αμέσως ότι x = 4 , δηλαδή το αδιανόητο γίνεται πραγματικότητα!

Οι αριθμοί της μορφής α + βi με i =√– 1, που ονομάστηκαν αρχικά φανταστικοί και αργότερα μιγαδικοί, έγιναν από τότε αναπόσπαστο εργαλείο των Μαθηματικών και των εφαρμογών τους στις άλλες επιστήμες. Ο J. Hadamard, ο οποίος το 1896 απέδειξε με χρήση της μιγαδικής ανάλυσης το “θεώρημα των πρώτων αριθμών”, έγραψε ότι:

Το Σύνολο ₵ των Μιγαδικών Αριθμών

Γνωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητική διακρίνουσα δεν έχει λύση στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Ειδικότερα η εξίσωση x² = –1 δεν έχει λύση στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. Για να ξεπεράσουμε την “αδυναμία” αυτή, διευρύνουμε το σύνολο R σε ένα σύνολο ₵, το οποίο να έχει τις ίδιες πράξεις με το R, τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίο να υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x² = –1, δηλαδή ένα στοιχείο i , τέτοιο, ώστε i² = –1. Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο ₵ θα έχει ως στοιχεία:

• Όλους τους πραγματικούς αριθμούς
• Όλα τα στοιχεία της μορφής βi , που είναι γινόμενα των στοιχείων του R με
  το i και
• Όλα τα αθροίσματα της μορφής α + βi , με α και β πραγματικούς αριθμούς.
  

Τα στοιχεία του ₵ λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το ₵ σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως :

Η έκφραση α + βi, α,β ϵ R είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι η σύνθεση δύο αριθμών, του πραγματικού α και του βi , τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό.

Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Re(z), ενώ ο β λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Im(z). Επιπλέον, στο ₵ κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α + 0i , ενώ κάθε φανταστικός αριθμός βi εκφράζεται ως 0 + βi .

Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός z = α + βi , εννοούμε ότι οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα.

Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών

Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή α + βi , δύο μιγαδικοί αριθμοί α + βi και γ + δi είναι ίσοι, αν και μόνο αν α = γ και β = δ . Δηλαδή ισχύει :

Επομένως, επειδή 0 = 0 + 0i , έχουμε

Μετά τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών αριθμών δημιουργείται το ερώτημα αν διατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι, κατά την επέκταση από το N στο Z, οι πράξεις, η διάταξη και οι ιδιότητες αυτών οι οποίες ισχύουν στο N, μεταφέρονται και στο Z. Τα ίδια συμβαίνουν και για τις επεκτάσεις από το Z στο Q και από το Q στο R. Στην επέκταση, όμως, από το R στο ₵, ενώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο R εξακολουθούν να ισχύουν και στο ₵, εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δε μεταφέρονται.

Γεωμετρική Παράσταση Μιγαδικών

Kάθε μιγαδικό αριθμό α + βi μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M(α, β) ενός καρτεσιανού επιπέδου. Αλλά και αντιστρόφως, κάθε σημείο M(α, β) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α + βi . Το σημείο M λέγεται εικόνα του μιγαδικού α + βi . Aν θέσουμε z = α + βi , τότε το σημείο M(α, β) μπορούμε να το συμβολίζουμε και με M(z) . Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο.

Ο άξονας x'x λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M(α,0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α = α + 0i , ενώ ο άξονας y'y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M(0, β) που είναι εικόνες των φανταστικών βi = 0 + βi Ένας μιγαδικός z = α + βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα , του σημείου M(α, β).