Εισαγωγή

Αρχικά εξηγείται ο όρος αλγόριθμος και παραθε'τονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληροί κάθε αλγόριθμος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθμων συνδυάζεται με την εξέλιξη της επιστήμης της Πληροφορικής. Η περιγραφή και αναπαράσταση των αλγορίθμων δίνεται αναλυτικά με χρήση των μεθόδων αναπαράστασης ελεύθερου κειμένου, διαγραμμάτων ροής, φυσικής γλώσσας και κωδικοποίησης με πρόγραμμα. Τα προγράμματα παρουσιάζονται με τη μορφή ψευδογλώσσας, που ορίζεται και τυποποιείται σε ένα σύνολο εντολών και προγραμματιστικών ακολουθιακών ενοτήτων. Στη συνέχεια, δίνονται παραδείγματα όπου εξετάζονται οι διάφορες συνιστώσες ενός αλγόριθμου, δηλαδή οι απαραίτητες εντολές που στηρίζουν το 'κτίσιμο' ενός αλγόριθμου. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται η δομή ακολουθίας, η δομή της επιλογής, οι επαναληπτικές διαδικασίες, οι διαδικασίες πολλαπλών επιλογών και οι εμφωλιασμένες διαδικασίες. Για κάθε τύπο συνιστώσας δίνονται αναλυτικά παραδείγματα σε φυσική γλώσσα, σε ακολουθία διαδοχικών βημάτων και σε μορφή διαγραμμάτων ροής. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζεται η ανάπτυξη και η αλγοριθμική προσέγγιση για την επίλυση ενός συνθετότερου προβλήματος, του προβλήματος του 'πολλαπλασιασμού αλά ρωσικά', όπου γίνεται χρήση και συνδυασμός αλγοριθμικών συνιστωσών.

Διδακτικοί στόχοι

Στόχοι του κεφαλαίου αυτού είναι οι μαθητές:

• να διατυπώνουν την έννοια του αλγορίθμου,
• να αιτιολογούν τη σπουδαιότητα των αλγορίθμων,
• να τεκμηριώνουν την αναγκαιότητα της αλγοριθμικής προσέγγισης κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων,
• να εφαρμόζουν τυποποιημένη επίλυση με αλγοριθμικές διαδικασίες,
• να μπορούν να σχεδιάζουν αλγόριθμους με χρήση συγκεκριμένων τεχνικών.

Προερωτήσεις

• Γνωρίζεις τι είναι αλγοριθμική προσέγγιση;
• Ξέρεις ότι ήδη έχεις χρησιμοποιήσει πολλούς αλγορίθμους;
• Γνωρίζεις, αν ο πολλαπλασιασμός δύο αριθμών μπορεί να γίνει με άλλο τρόπο;
• Τι θα κάνεις για να βρεις το άθροισμα 3+6+9+...+ 999;

Η θεωρία των αλγορίθμων έχει μεγάλη παράδοση και η ηλικία μερικών αλγορίθμων αριθμεί χιλιάδες χρόνια, όπως για παράδειγμα ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών ή το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη για την εύρεση των πρώτων αριθμών από 1 ως n. Σήμερα το πεδίο της Θεωρίας Αλγορίθμων είναι ένα ιδιαίτερα ευρύ και πλούσιο πεδίο. Πληθώρα συγγραμμάτων έχει εμφανισθεί στη βιβλιογραφία, ενώ συνεχίζεται η περαιτέρω εμβάθυνση σε νέα σύγχρονα προβλήματα. Οι περισσότεροι από τους αλγορίθμους που συνήθως εξετάζονται στα σχετικά βιβλία έχουν προταθεί τα τελευταία 25 χρόνια, όση περίπου είναι και η ηλικία της Πληροφορικής ως μίας νέας αυθύπαρκτης επιστήμης.

Ο όρος αλγόριθμος, λοιπόν, χρησιμοποιείται για να δηλώσει μεθόδους που εφαρμόζονται για την επίλυση προβλημάτων. Ωστόσο, ένας πιο αυστηρός ορισμός της έννοιας αυτής είναι ο εξής.

Κάθε αλγόριθμος απαραίτητα ικανοποιεί τα επόμενα κριτήρια.

• Είσοδος (input). Καμία, μία ή περισσότερες τιμές δεδομένων πρέπει να δίνονται ως είσοδοι στον αλγόριθμο. Η περίπτωση που δεν δίνονται τιμές δεδομένων εμφανίζεται, όταν ο αλγόριθμος δημιουργεί και επεξεργάζεται κάποιες πρωτογενείς τιμές με τη βοήθεια συναρτήσεων παραγωγής τυχαίων αριθμών ή με τη βοήθεια άλλων απλών εντολών.

• Έξοδος (output). Ο αλγόριθμος πρέπει να δημιουργεί τουλάχιστον μία τιμή δεδομένων ως αποτέλεσμα προς το χρήστη ή προς έναν αλλο αλγόριθμο.
• Καθοριστικότητα (definiteness). Κάθε εντολή πρέπει να καθορίζεται χωρίς καμία αμφιβολία για τον τρόπο εκτέλεσής της. Λόγου χάριν, μία εντολή διαίρεσης πρέπει να θεωρεί και την περίπτωση, όπου ο διαιρέ- της λαμβάνει μηδενική τιμή.
• Περατότητα (finiteness). Ο αλγόριθμος να τελειώνει μετά από πεπερασμένα βήματα εκτέλεσης των εντολών του. Μία διαδικασία που δεν τελειώνει μετά από ένα συγκεκριμένο αριθμό βημάτων δεν αποτελεί αλγόριθμο, αλλά λέγεται απλά υπολογιστική διαδικασία (computational procedure).
• Αποτελεσματικότητα (effectiveness). Κάθε μεμονωμένη εντολή του αλγορίθμου να είναι απλή. Αυτό σημαίνει ότι μία εντολή δεν αρκεί να έχει ορισθεί, αλλά πρέπει να είναι και εκτελέσιμη.

Η έννοια του αλγόριθμου δεν συνδέεται αποκλειστικά και μόνο με προβλήματα της Πληροφορικής. Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να γευματίσουμε και επομένως πρέπει να εκτελέσουμε τις επόμενες ενέργειες:

• να συγκεντρώσουμε τα υλικά,
• να προετοιμάσουμε τα σκεύη μαγειρικής,
• να παρασκευάσουμε το φαγητό,
• να ετοιμάσουμε τη σαλάτα,
• να στρώσουμε το τραπέζι,
• να γευματίσουμε,
• να καθαρίσουμε το τραπέζι, και
• να πλύνουμε τα πιάτα και τα κουζινικά.

Είναι ευνόητο ότι η προηγούμενη αλληλουχία των ενεργειών οδηγεί στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Βέβαια, αυτή η αλληλουχία δεν είναι η μοναδική για την επίτευξη του σκοπού, αφού, για παράδειγμα, μπορούμε πρώτα να ετοιμάσουμε τη σαλάτα και μετά να παρασκευάσουμε το φαγητό, ενώ ακόμη μπορούμε πρώτα να πλύνουμε τα πιάτα και μετά να καθαρίσουμε το τραπέζι. Ωστόσο, το παράδειγμα θέλει να δείξει, ότι η θεώρηση μίας σύνθε-

της εργασίας με διακριτά βήματα που εκτελούνται διαδοχικά, είναι ένας πολύ χρήσιμος και πρακτικός τρόπος σκέψης για την επίλυση πολλών (αν όχι όλων) προβλημάτων.

Η έννοια του αλγόριθμου είναι θεμελιώδης για την επιστήμη της Πληροφορικής. Η μελέτη των αλγορίθμων είναι πολύ ενδιαφέρουσα, γιατί είναι η πρώτη ύλη για τη μελέτη και εμβάθυνση, αν όχι σε όλες, τουλάχιστον σε πάρα πολλές γνωστικές περιοχές της επιστήμης αυτής.

Η Πληροφορική, λοιπόν, μπορεί να ορισθεί ως η επιστήμη που μελετά τους αλγορίθμους από τις ακόλουθες σκοπιές:

• Υλικού (hardware). Η ταχύτητα εκτέλεσης ενός αλγορίθμου επηρεάζεται από τις διάφορες τεχνολογίες υλικού, δηλαδή από τον τρόπο που είναι δομημένα σε μία ενιαία αρχιτεκτονική τα διάφορα συστατικά του υπολογιστή (δηλαδή ανάλογα με το αν ο υπολογιστής έχει κρυφή μνήμη και πόση, ανάλογα με την ταχύτητα της κύριας και δευτερεύουσας μνήμης κοκ.).
• Γλωσσών Προγραμματισμού (programming languages). Το είδος της γλώσσας προγραμματισμού που χρησιμοποιείται (δηλαδή, χαμηλότερου ή υψηλότερου επιπέδου) αλλάζει τη δομή και τον αριθμό των εντολών ενός αλγορίθμου. Γενικά μία γλώσσα που είναι χαμηλοτέρου επιπέδου (όπως η assembly ή η γλώσσα C) είναι ταχύτερη από μία άλλη γλώσσα που είναι υψηλοτέρου επιπέδου (όπως η Basic ή Pascal). Ακόμη, σημειώνεται ότι διαφορές συναντώνται μεταξύ των γλωσσών σε σχέση με το πότε εμφανίσθηκαν. Για παράδειγμα, παλαιότερα μερικές γλώσσες προγραμματισμού δεν υποστήριζαν την αναδρομή (έννοια που θα εξετάσουμε σε βάθος αργότερα).
• Θεωρητική (theoretical). Το ερώτημα που συχνά τίθεται είναι, αν πράγματι υπάρχει ή όχι κάποιος αποδοτικός αλγόριθμος για την επίλυση ενός προβλήματος. Η εξέταση αυτού του ερωτήματος είναι δύσκολο να σχολιασθείστα πλαίσια του βιβλίου αυτού, επειδή απαιτεί μεγάλη θεωρητική κατάρτιση. Ωστόσο η προσέγγιση αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική, γιατί προσδιορίζει τα όρια της λύσης που θα βρεθεί σε σχέση με ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.
• Αναλυτική (analytical). Μελετώνται οι υπολογιστικοί πόροι (computer resources) που απαιτούνται από έναν αλγόριθμο, όπως για παράδειγ-

μα το μέγεθος της κύριας και της δευτερεύουσας μνήμης, ο χρόνος για λειτουργίες CPU και για λειτουργίες εισόδου/εξόδου κ.λπ. Το αντικείμε- νο αυτό θα εξηγηθεί πληρέστερα στο Κεφάλαιο 5.

Στη βιβλιογραφία συναντώνται διάφοροι τρόποι αναπαράστασης ενός αλγορίθμου:

• με ελεύθερο κείμενο (free text), που αποτελεί τον πιο ανεπεξέργαστο και αδόμητο τρόπο παρουσίασης αλγορίθμου. Έτσι εγκυμονεί τον κίνδυνο ότι μπορεί εύκολα να οδηγήσει σε μη εκτελέσιμη παρουσίαση παραβιάζοντας το τελευταίο χαρακτηριστικό των αλγορίθμων, δηλαδή την αποτελεσματικότητα.
• με διαγραμματικές τεχνικές, (diagramming techniques), που συνιστούν ένα γραφικό τρόπο παρουσίασης του αλγορίθμου. Από τις διάφορες διαγραμματικές τεχνικές που έχουν επινοηθεί, η πιο παλιά και η πιο γνωστή ίσως, είναι το διάγραμμα ροής (flow chart). Ωστόσο η χρήση διαγραμμάτων ροής για την παρουσίαση αλγορίθμων δεν αποτελεί την καλύτερη λύση, γι'αυτό και εμφανίζονται όλο και σπανιότερα στη βιβλιογραφία και στην πράξη.
• με φυσική γλώσσα (natural language) κατά βήματα. Στην περίπτωση αυτή χρειάζεται προσοχή, γιατί μπορεί να παραβιασθεί το τρίτο βασικό χαρακτηριστικό ενός αλγορίθμου, όπως προσδιορίσθηκε προηγουμένως, δηλαδή το κριτήριο του καθορισμού.
• με κωδικοποίηση (coding), δηλαδή με ένα πρόγραμμα γραμμένο είτε σε μία ψευδογλώσσα είτε σε κάποια γλώσσα προγραμματισμού που όταν εκτελεσθεί θα δώσει τα ίδια αποτελέσματα με τον αλγόριθμο.

Όλοι οι αλγόριθμοι του βιβλίου αυτού είναι κωδικοποιημένοι σε μία υποθετική δομημένη ψευδογλώσσα, ωστόσο οι περισσότεροι από αυτούς μπορούν εύκολα σχετικά να προγραμματισθούν σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραμματισμού.

Στη συνέχεια δίνονται παραδείγματα αλγορίθμων όπου εξετάζονται οι

διάφορες συνιστώσες ενός αλγορίθμου, δηλαδή οι απαραίτητες εντολές ξεκινώντας από τις απλούστερες και προχωρώντας προς τις συνθετότερες. Πιο συγκεκριμένα θα εξετασθούν περιπτώσεις σειριακών εντολών, αναθέσεων τιμών, επιλογής με βάση κριτήρια, διαδικασιών επανάληψης, ενεργειών πολλαπλών επιλογών καθώς και συνδυασμό εμφωλευμένων περιπτώσεων. Για κάθε περίπτωση παρουσιάζονται σχετικά παραδείγματα με την εκφώνηση (σε φυσική γλώσσα), την παρουσίαση των βημάτων που πρέπει να ακολουθηθούν καθώς και το αντίστοιχο διάγραμμα ροής.

2. 4 .1 Δομή ακολουθίας

Η ακολουθιακή δομή εντολών (σειριακών βημάτων) χρησιμοποιείται πρακτικά για την αντιμετώπιση απλών προβλημάτων, όπου είναι δεδομέ- νη η σειρά εκτέλεσης ενός συνόλου ενεργειών. Ένα απλό παράδειγμα από την καθημερινή ζωή είναι η ακολουθία οδηγιών μίας συνταγής μαγειρικής με στόχο την κατασκευή ενός φαγητού. Τα βήματα και οι ποσότητες που πρέ- πει να ακολουθηθούν είναι συγκεκριμένα και οι οδηγίες απόλυτα καθορι- σμένες και σαφείς. Το παράδειγμα που ακολουθεί παρουσιάζει ένα απλό πρόβλημα που επιλύεται με σειριακή εκτέλεση εντολών.

Παράδειγμα 1. Ανάγνωση και εκτύπωση αριθμών

Από την εκφώνηση προκύπτει αμέσως ο επόμενος αλγόριθμος

Παράδειγμα 2

Ένας αλγόριθμος διατυπωμένος σε ψευδογλώσσα αρχίζει πάντα με τη λέξη Αλγόριθμος συνοδευόμενη με το όνομα του αλγορίθμου και τελειώνει με τη λέξη Τέλος συνοδευόμενη επίσης με το όνομα του αλγορίθμου. Η πρώτη ενέργεια που γίνεται, είναι η εισαγωγή των δεδομένων. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση του ρήματος Διαβάζω σε προστακτική. Η λέξη Διάβασε συνοδεύεται με το όνομα μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών, όπως η a και εννοείται ότι μετά την ολοκλήρωση της ενέργειας αυτή, η μεταβλητή a θα έχει λάβει κάποια αριθμητική τιμή ως περιεχόμενο. Κάθε μία λέξη της

χρησιμοποιούμενης ψευδογλώσσας, που προσδιορίζει μια σαφή ενέργεια, θα αποκαλείται στο εξής εντολή. Όλες οι εντολές σε έναν αλγόριθμο αποτυπώνονται με διαφορετικό χρώμα από το όνομα του αλγορίθμου και τις διάφορες σταθερές και μεταβλητές.

Μετά την ανάγνωση των τιμών των μεταβλητών a και b γίνεται ο υπολογισμός του αθροίσματος με την εντολή: c ← a + b. Η εντολή αυτή αποκαλείται εντολή εκχώρησης τιμής. Η γενική μορφή της είναι:

Μεταβλητή ← Έκφραση

και η λειτουργία της είναι "γίνονται οι πράξεις στην έκφραση και το αποτέλεσμα αποδίδεται, μεταβιβάζεται, εκχωρείται στη μεταβλητή". Στην εντολή αυτή χρησιμοποιείται το αριστερό βέλος, προκειμένου να δείχνει τη φορά της εκχώρησης. Ας σημειωθεί ότι δεν πρόκειται για εξίσωση, παρόλο που σε άλλα βιβλία μπορεί να χρησιμοποιείται το σύμβολο ίσον "=" για τον

ίδιο σκοπό. Ας σημειωθεί επίσης ότι οι διάφορες γλώσσες προγραμματισμού χρησιμοποιούν διάφορα σύμβολα για το σκοπό αυτό.

Τέλος ο αλγόριθμος ολοκληρώνεται με την εντολή Εκτύπωσε, που αποτυπώνει το τελικό αποτέλεσμα στον εκτυπωτή. Η σύνταξη της εντολής αυτής είναι ανάλογη με αυτή της Διάβασε. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η εντολή Εμφάνισε, που αποτυπώνει ένα αποτέλεσμα στην οθόνη.

Στον προηγούμενο αλγόριθμο οι μεταβλητές a και b είναι τα δεδομένα που αποτελούν την είσοδο, ενώ η μεταβλητή c αντιπροσωπεύει το αποτέλεσμα, δηλαδή την έξοδο του αλγορίθμου. Επιπλέον, ο αλγόριθμος έχει απολύτως καθορισμένη την κάθε εντολή (καθοριστικότητα), τελειώνει μετά από συγκεκριμένο αριθμό βημάτων (περατότητα), ενώ κάθε εντολή του είναι ιδιαίτερα σαφής και απλή (αποτελεσματικότητα). Επομένως ο αλγόριθμος αυτός πληροί τα κριτήρια που χαρακτηρίζουν τον ορισμό της έννοιας του αλγορίθμου, όπως αυτά περιγράφηκαν στην παράγραφο 2.1.

2.4.2 Δομή Επιλογής

Στην πραγματικότητα πολύ λίγα προβλήματα μπορούν να επιλυθούν με τον προηγούμενο τρόπο της σειριακής/ακολουθιακής δομής ενεργειών. Συνήθως τα προβλήματα έχουν κάποιες ιδιαιτερότητες και δεν ισχύουν τα ίδια βήματα για κάθε περίπτωση. Η πλέον συνηθισμένη περίπτωση είναι να λαμβάνονται κάποιες αποφάσεις με βάση κάποια δεδομένα κριτήρια, που μπορεί να είναι διαφορετικά για κάθε διαφορετικό στιγμιότυπο ενός προβλήματος. Οι καθημερινές απλές μας ενέργειες περιέχουν αυτή τη διαδικασία επιλογής με βάση κάποια κατάσταση. Για παράδειγμα, το πρόβλημα της προετοιμασίας μας για έξοδο σχετίζεται με τις καιρικές συνθήκες. Έτσι λέμε ότι, "αν βρέχει, θα πάρω ομπρέλα, αλλιώς θα πάρω καπέλο". Η συνθήκη εδώ είναι το "αν βρέχει", ενώ η απόφαση είναι είτε να πάρω την "ομπρέλα" είτε το "καπέλο" με βάση την "τιμή" της συνθήκης.

Γενικά η διαδικασία της επιλογής περιλαμβάνει τον έλεγχο κάποιας συνθήκης που μπορεί να έχει δύο τιμές (Αληθής ή Ψευδής) και ακολουθεί η απόφαση εκτέλεσης κάποιας ενέργειας με βάση την τιμή της λογικής αυτής συνθήκης. Στη συνέχεια δίνονται δύο παραδείγματα ενεργειών με βάση κάποια συνθήκης επιλογής. Το πρώτο παράδειγμα αφορά στην εκτέλεση κάποιας ενέργειας όταν η συνθήκη είναι Αληθής, ενώ το δεύτερο παράδειγμα αφορά στην εκτέλεση μίας ενέργειας όταν η συνθήκη είναι Αληθής και κάποιας άλλης ενέργειας όταν η συνθήκη είναι Ψευδής.

Παράδειγμα 2. Σύγκριση αριθμών με απλή επιλογή

Όπως είναι γνωστό, η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός, αν αυτός είναι θετικός ή μηδέν και ο αντίθετος του, αν είναι αρνητικός. Έτσι προκειμένου να βρεθεί η απόλυτη τιμή, αρκεί να ελεγχθεί, αν τυχόν ο δεδομένος αριθμός είναι αρνητικός, οπότε στην περίπτωση αυτή πρέπει να βρεθεί ο αντίθετος του. Ο συλλογισμός αυτός οδηγεί στον επόμενο αλγόριθμο.

Στην παράσταση αλγορίθμων με ψευδογλώσσα η επιλογή υλοποιείται με την εντολή Αν...τότε. Η σύνταξη της εντολής είναι:

Αν συνθήκη τότε εντολή

και η λειτουργία της είναι: Αν ισχύει η συνθήκη (δηλαδή αν είναι αληθής), τότε μόνο εκτελείται η εντολή. Σε κάθε περίπτωση εκτελείται στη συνέχεια η εντολή, που ακολουθεί.

Στην εντολή Αν...τότε είναι πιθανό, όταν ισχύει η συνθήκη, να απαιτείται η εκτέλεση περισσότερων από μία εντολές. Στην περίπτωση αυτή οι διαδοχικές εντολές γράφονται από κάτω και σε εσοχή, ενώ το σχήμα επιλογής κλείνει με τη λέξη Τέλος αν. Π.χ

Όπως και στον αλγόριθμο του προηγούμενου παραδείγματος, εύκολα προκύπτει ότι η τιμή a είναι και είσοδος αλλά και έξοδος του αλγορίθμου. Επιπλέον, ο αλγόριθμος έχει καθορισμένη κάθε του εντολή (καθοριστικότατα), τελειώνει μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων (περατότητα), ενώ κάθε εντολή του είναι ιδιαίτερα απλή κατά την εκτέλεσή της (αποτελεσματικότητα). Έτσι προκύπτει ότι ο αλγόριθμος αυτός πράγματι πληροί τα κριτήρια που περιγράφηκαν στην παράγραφο 2.1.

Σχ. 2.2. Ο αλγόριθμος του παραδείγματος 2 με διάγραμμα ροής

Παράδειγμα 3 Σύγκριση αριθμών με σύνθετη επιλογή

Στο παράδειγμα αυτό χρησιμοποιείται η γενική μορφή της εντολής επιλογής, που είναι:

Σχ. 2.3. Ο αλγόριθμος του παραδείγματος 3 με διάγραμμα ροής

2.4.3 Διαδικασίες πολλαπλών επιλογών

Οι διαδικασίες των πολλαπλών επιλογών εφαρμόζονται στα προβλήματα όπου μπορεί να ληφθούν διαφορετικές αποφάσεις ανάλογα με την τιμή που παίρνει μία έκφραση. Για παράδειγμα, κάθε γράμμα της αλφαβήτου μπορεί να αντιστοιχηθεί σε κάποιον ακέραιο αριθμό από το 1 μέχρι και 24, για τις ανάγκες κάποιας κωδικοποίησης. Στο παράδειγμα που ακολουθεί παρουσιάζεται μία περίπτωση πολλαπλών επιλογών με διαφορετική ακολουθία εντολών σε κάθε περίπτωση.

Παράδειγμα 4 Ανάθεση γραμμάτων σε αριθμούς

Σχ. 2.4. Ο αλγόριθμος του παραδείγματος 4 με διάγραμμα ροής

Αν οι διαφορετικές επιλογές είναι πολλές, τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί το σχήμα πολλαπλής επιλογής Επίλεξε...Τέλος επιλογών (select case), όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί.

Παράδειγμα 5 Επιλογή ορίων

2.4 4 Εμφωλευμένες Διαδικασίες

Πολλαπλές επιλογές μπορούν να γίνουν και με μία εμφωλευμένη δομή. Το επόμενο παράδειγμα περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μία εντολή Αν...τότε είναι η εντολή που εκτελείται, όταν ισχύει (ή δεν ισχύει) η συνθήκη μίας άλλης εντολής Αν...τότε. Βέβαια η λογική αυτή μπορεί να επεκταθεί, δηλαδή να έχουμε νέα εμφωλευμένη δομή μέσα σε μία εμφωλευμένη δομή κοκ.

Παράδειγμα 6 Χαρακτηρισμός ατόμων

Σχ. 2.5. Ο αλγόριθμος του παραδείγματος 6 με διάγραμμα ροής

Σε πολλές περιπτώσεις η συνθήκη είναι αρκετά πιο "δύσκολη", δηλαδή

εμπεριέχει αποφάσεις που πιθανόν να βασίζονται σε περισσότερα από ένα κριτήρια. Ο συνδυασμός των κριτηρίων αυτών καθορίζει και τις "λογικές" πράξεις που μπορούν να γίνουν μεταξύ διαφορετικών συνθηκών. Πολύ συχνά στην καθημερινή ζωή κάποιες αποφάσεις βασίζονται σε συνδυασμούς κριτηρίων και λογικών πράξεων. Για παράδειγμα, το πρόβλημα της προετοιμασίας μας για έξοδο μπορεί να επεκταθεί ως εξής "αν βρέχει ή αν χιονίζει θα πάρω ομπρέλα", είτε στην πρόταση "αν έχει ήλιο και αν έχει ζέστη θα πάρω καπέλο", είτε στην πρόταση "αν δεν έχει ήλιο θα πάρω ομπρέλα". Οι τρεις αυτές προτάσεις περιγράφουν και τις τρεις λογικές πράξεις που μπορεί να ισχύουν μεταξύ διαφορετικών συνθηκών. Η λογική πράξη ή είναι αληθής όταν οποιαδήποτε από τις δύο προτάσεις είναι αληθής. Η λογική πράξη και είναι αληθής όταν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς ενώ η λογική πράξη όχι (η λέξη "δεν" στο παράδειγμά μας) είναι αληθής όταν η πρόταση που την ακολουθεί είναι ψευδής. Ο επόμενος πίνακας δίνει τις τιμές των τριών αυτών λογικών πράξεων για όλους τους συνδυασμούς τιμών.

2.4.5 Δομή Επανάληψης

Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερα συχνή, αφού πλήθος προβλημάτων μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλες επαναληπτικές διαδικασίες. Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρμόζεται στις περιπτώσεις, όπου μία ακολουθία εντολών πρέπει να εφαρμοσθεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι κοινό. Για παράδειγμα, όλες οι τράπεζες κάθε εξάμηνο αποδίδουν τόκους των καταθέσεων ταμιευτηρίου. Ο υπολογισμός των τόκων πρέπει να γίνει για όλους τους λογαριασμούς της τράπεζας, άρα η πράξη

τόκος = ποσό * επιτόκιο

πρέπει να εκτελεσθεί για όλους τους τραπεζικούς λογαριασμούς. Οι επαναληπτικές διαδικασίες μπορεί να έχουν διάφορες μορφές και συνήθως εμπεριέχουν και συνθήκες επιλογών (όπως αυτές περιγράφηκαν στην προηγούμενη υποπαράγραφο). Στη συνέχεια δίνεται ένα σύνολο παραδειγμάτων

που εντάσσονται στις πλέον γνωστές κατηγορίες επαναληπτικών διαδικασιών.

Παράδειγμα 7 Εκτύπωση διαδοχικών αριθμών με επαναληπτική εντολή: όσο...επανάλαβε

Στον αλγόριθμο αυτό επιζητείται η παρουσίαση μίας σειράς αριθμών. Αν οι αριθμοί αυτοί ήσαν λίγοι, τότε αυτό θα μπορούσε να γίνει με την παράθεση αντίστοιχων εντολών εμφάνισης. Το ίδιο θα συμβεί και στην περίπτωση που οι αριθμοί είναι περισσότεροι, αλλά δεν έχουν καμία σχέση μεταξύ τους π.χ. 5, 207, -32 κοκ. Όμως στο ζητούμενο αλγόριθμο παρατηρούμε ότι κάθε αριθμός παράγεται από τον προηγούμενο του με απλό τρόπο δηλαδή προσθέτοντας κάθε φορά το 1. Μπορεί λοιπόν να χρησιμοποιηθεί μια μεταβλητή, έστω i, η οποία αρχίζει από το 1 και καταλήγει στο 100 αυξανόμενη κατά 1. Η εκάστοτε αύξηση της μεταβλητής αυτής μπορεί να γίνει με τη χρήση της εντολής εκχώρησης

Η αρχική τιμή της μεταβλητής i ορίζεται εύκολα με την εντολή i ←1. Το ζητούμενο είναι να εκτελεστεί 100 φορές η εντολή i ← i + 1. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση της εντολής Όσο ...επανάλαβε. Η σύνταξη της εντολής αυτής είναι:

Η λειτουργία της εντολής είναι η εξής: Επαναλαμβάνεται η εκτέλεση των εντολών, όσο η συνθήκη είναι αληθής. Όταν η συνθήκη γίνει ψευδής, τότε ο αλγόριθμος συνεχίζεται με την εντολή που ακολουθεί το 'Τέλος_επανάληψης'. Με την εισαγωγή της εντολής αυτής η σχεδίαση του ζητούμενου αλγορίθμου είναι:

Το πρόβλημα αυτό παρουσιάζει την εξής ιδιομορφία: ενώ φαίνεται ότι θα χρησιμοποιηθεί για τη λύση του κάποια επαναληπτική διαδικασία, δεν προσδιορίζεται ο τρόπος τερματισμού της. Καταρχήν, λοιπόν, ας εξετάσουμε τον αλγόριθμο που εκτελεί ένας άνθρωπος, όταν αντιγράφει κάποιους αριθμούς, όπως για παράδειγμα όταν συγκεντρώνονται τα έξοδα από διάφορους λογαριασμούς. Ο αλγόριθμος αυτός είναι:

Βήμα 1. Διάβασε έναν αριθμό

Βήμα 2. Γράψε τον αριθμό

Βήμα 3. Επανάλαβε τη διαδικασία από το βήμα 1.

Ο αλγόριθμος αυτός έχει μια ατέλεια, δεν διαθέτει τρόπο τερματισμού (ατέρμων βρόχος). Η έλλειψη αυτή είναι φυσική, εφόσον ο αλγόριθμος εκτελείται από έναν άνθρωπο. Αυτός θα σταματήσει να γράφει, όταν δεν υπάρχουν πλέον άλλοι αριθμοί. Ωστόσο είναι δυνατόν να διορθωθεί αυτή η ατέλεια, αν το βήμα 3 λάβει την εξής μορφή:

Βήμα 3. Αν υπάρχουν άλλοι αριθμοί, επανάλαβε τη διαδικασία από το βήμα 1, αλλιώς σταμάτησε.

Ο αλγόριθμος τώρα είναι σωστός και μπορεί να εκτελεστεί και από μία μηχανή. Όμως έχει ένα άλλο μειονέκτημα: ο τερματισμός γίνεται μέσα από την εντολή Αν ... τότε ... αλλιώς ..., πράγμα που δεν συνιστάται και πρέπει να αποφεύγεται, γιατί εύκολα μπορεί να χάσει ο προγραμματιστής τον έλεγχο της ροής του προγράμματος και να οδηγηθεί σε λάθος. Για την άρση του μειονεκτήματος αυτού πρέπει να χρησιμοποιηθεί μία εντολή επαναληπτικής διαδικασίας, όπως η εντολή Όσο...επανάλαβε. Ο τελικός αλγόριθμος είναι ο εξής:

Στον προηγούμενο αλγόριθμο η επαναληπτική διαδικασία τερματίζεται, όταν διαβασθεί ένας αρνητικός ή μηδενικός αριθμός. Δηλαδή, θεωρείται ότι

οι εισαγόμενοι αριθμοί πρέπει να είναι θετικοί. Αν αυτό δεν συμβαίνει, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως συνθήκη τερματισμού οποιαδήποτε συγκεκριμένη τιμή έχει συμφωνηθεί, ότι θα χρησιμοποιείται για το σκοπό αυτό, π.χ. η 999999. Προφανώς αυτή η τιμή δεν μπορεί να ανήκει στις εισαγόμενες τιμές. Στην περίπτωση αυτή η εντολή Όσο...επανάλαβε θα γραφεί ως εξής:

Όσο x ≠ 999999 επανάλαβε

Παράδειγμα 9 Εκτύπωση Θετικών αριθμών με εντολή: αρχή_επανάληψη, μέχρις_ότου

Ας σημειωθεί ότι, στο παράδειγμα αυτό ο βρόχος επανάληψης θα εκτελεσθεί οπωσδήποτε τουλάχιστον μία φορά ακόμα και αν η αρχική τιμή της μεταβλητής χ είναι αρνητική. Η βασική διαφοροποίηση αυτής της μορφής επαναληπτικής διαδικασίας σε σχέση με την επαναληπτική διαδικασία που παρουσιάσθηκε στο προηγούμενο παράδειγμα, οφείλεται στη θέση της λογικής συνθήκης στη ροή εκτέλεσης των εντολών.

Παράδειγμα 10 Υπολογισμός αθροίσματος αριθμών με επαναληπτική εντολή: για...από...μέχρι

Όταν ο αριθμός των φορών που θα εκτελεστεί μια επαναληπτική διαδικασία είναι γνωστός εκ των προτέρων, τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται η εντολή Για...από...μέχρι. Έτσι ο ζητούμενος αλγόριθμος είναι.

Όπως γίνεται φανερό, η εντολή Για...από...μέχρι περιλαμβάνει όλα τα απαιτούμενα στοιχεία για την επανάληψη, δηλαδή αρχική τιμή της μεταβλητής i (=1) και τελική τιμή (=100). Το βήμα μεταβολής της μεταβλητής i είναι 1, το οποίο υπονοείται και δεν σημειώνεται, όταν είναι 1. Η μεταβλητή Sum που υποδέχεται το άθροισμα των διαδοχικών αριθμών, πρέπει να εκκινήσει με τιμή 0, ενώ το εκάστοτε μερικό άθροισμα υπολογίζεται με την εντολή εκχώρησης εντός του βρόχου. Στο τέλος η μεταβλητή Sum θα περιέχει το τελικό άθροισμα.

Σχ. 2.6. Ο αλγόριθμος του παραδείγματος 10 με διάγραμμα ροής

Παράδειγμα 11 Υπολογισμός αθροίσματος με επαναληπτική εντολή: για...από...μέχρι...με _βήμα

Η λύση αυτού του προβλήματος είναι παρόμοια με αυτή του προηγούμενου. Η μόνη αλλαγή είναι στην εντολή επανάληψης όπου προσδιορίζεται η ποσότητα βήμα, η οποία κάθε φορά προστίθεται στην τιμή της μεταβλητής ί. Έτσι έχουμε

Από τα προηγούμενα δύο παραδείγματα γίνεται φανερός ο τρόπος χρήσης της εντολής Για...από...μέχρι. Ας σημειωθεί ωστόσο, ότι υπάρχουν κάποιες δεσμεύσεις μεταξύ των τιμών από, μέχρι και βήμα. Έτσι το βήμα δεν μπορεί να είναι μηδέν, γιατί τότε ο βρόχος εκτελείται επ' άπειρον. Είναι δυνατόν όμως το βήμα να έχει αρνητική τιμή, αρκεί η τιμή από να είναι μεγαλύτερη από την τιμή μέχρι, όπως για παράδειγμα στην επόμενη εντολή:

Για k από 100 μέχρι 0 με_βήμα -1

Επίσης οι τιμές από, μέχρι και βήμα δεν είναι απαραίτητο να είναι ακέραιες. Μπορούν λάβουν οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Για παράδειγμα, όταν ζητείται να βρεθούν διαδοχικές τιμές μιας συνάρτησης f(x) για χ από 0 έως 1, τότε μπορεί να γραφεί η επόμενη εντολή

Για χ από 0 μέχρι 1 με_βήμα 0,01

Παράδειγμα 12. Πολλαπλασιασμός αλά ρωσικά

Στη συνέχεια προχωρούμε στην ανάπτυξη ενός συνθετότερου προβλήματος, όπου για την αλγοριθμική του επίλυση γίνεται χρήση αρκετών από τις προηγούμενες δομές. Ας θεωρήσουμε την πράξη του πολλαπλασιασμού δύο ακεραίων αριθμών και ας θυμηθούμε πως αυτή υλοποιείται χειρωνακτικά. Τοποθετούμε, λοιπόν, τους δύο αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο και πολλαπλασιάζουμε κάθε ψηφίο του κάτω αριθμού με όλα ψηφία του επάνω αριθμού. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε ψηφίο του κάτω αριθμού παράγεται ένα μερικό γινόμενο, ενώ τα μερικά γινόμενα τοποθετούνται το

ένα κάτω από το άλλο με μία μετατόπιση από τα δεξιά προς τα αριστερά καθώς θεωρούμε διαδοχικά τα ψηφία των μονάδων, των δεκάδων, των εκατοντάδων κ.λπ. Στη συνέχεια γίνεται η πρόσθεση των επιμέρους γινομένων, αφού τα τοποθετήσουμε στην κατάλληλη διάταξη όπως φαίνεται στο σχήμα 2.7.

Ωστόσο, η πράξη του πολλαπλασιασμού δεν εκτελείται από τον υπολογιστή με τον τρόπο αυτό. Πιο συγκεκριμένα, ο χρησιμοποιούμενος τρόπος είναι ο λεγόμενος πολλαπλασιασμός αλά ρωσικά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι οι ακέραιοι είναι θετικοί (μεγαλύτεροι του μηδενός), αλλά η μέθοδος μπορεί εύκολα να μετατραπεί, ώστε να περιγράψει και την περίπτωση των αρνητικών ακεραίων. Πώς ακριβώς λειτουργεί η μέθοδος, θα φανεί με το επόμενο παράδειγμα, όπου περιγράφεται ο αλγόριθμος με ελεύθερο κείμενο.

Έστω, λοιπόν, ότι δίνονται δύο θετικοί ακέραιοι αριθμοί, οι αριθμοί 45 και 19. Οι αριθμοί γράφονται δίπλα-δίπλα και ο πρώτος διπλασιάζεται, ενώ ο δεύτερος υποδιπλασιάζεται αγνοώντας το δεκαδικό μέρος. Στο σχήμα 2.8 παρουσιάζεται η επαναλαμβανόμενη διαδικασία, που συνεχίζεται μέχρις ότου στη δεύτερη στήλη να προκύψει μονάδα. Τελικώς, το γινόμενο ισούται με το άθροισμα των στοιχείων της πρώτης στήλης, όπου αντίστοιχα στη δεύτερη στήλη υπάρχει περιττός αριθμός. Για το παράδειγμά μας, τα στοιχεία αυτά παρουσιάζονται στην τρίτη στήλη.

Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται πρακτικά στους υπολογιστές, γιατί υλοποιείται πολύ πιο απλά απ' άτι ο γνωστός μας χειρωνακτικός τρόπος πολλαπλασιασμού. Πιο συγκεκριμένα, απαιτεί πολλαπλασιασμό επί δύο, διαίρεση διά δύο και πρόσθεση. Σε αντίθεση η γνωστή μας διαδικασία πολλαπλασιασμού απαιτεί πολλαπλασιασμό με οποιοδήποτε ακέραιο και πρόσθεση. Σε επίπεδο, λοιπόν, κυκλωμάτων υπολογιστή ο πολλαπλασιασμός επί δύο και η διαίρεση διά δύο μπορούν να υλοποιηθούν ταχύτατα με μία απλή εντολή ολίσθησης (shift), σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό με οποιοδήποτε ακέραιο που θεωρείται πιο χρονοβόρα διαδικασία. Το τελευταίο γεγονός είναι ο λόγος που ο πολλαπλασιασμός αλά ρωσικά είναι προτιμότερος απ' ότι ο χειρωνακτικός τρόπος πολλαπλασιασμού δύο ακεραίων.

Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθμος πολλαπλασιασμού ακεραίων αλά ρωσικά με φυσική γλώσσα κατά βήματα.

Ακολουθεί ο αλγόριθμος σε ψευδοκώδικα για το ίδιο πρόβλημα του πολλαπλασιασμού αλά ρωσικά.

Στο κεφάλαιο αυτό έγινε η πρώτη γνωριμία με την έννοια του αλγορίθμου. Δόθηκαν οι απαραίτητοι ορισμοί που συνοδεύτηκαν με αρκετά παραδείγματα. Αλγόριθμος είναι η διαδικασία της λύσης ενός προβλήματος. Η παράσταση των αλγορίθμων μπορεί να γίνει με αρκετούς τρόπους, ωστόσο η έμφαση δόθηκε στην παράσταση με χρήση ψευδογλώσσας. Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύχθηκαν οι κύριες αλγοριθμικές δομές, δηλαδή η ακολουθία, η επιλογή και η επανάληψη ή ανακύκλωση, που θα χρησιμοποιηθούν στους αλγορίθμους των επόμενων κεφαλαίων.

Αλγόριθμος, ακολουθία, επιλογή, επανάληψη, διάγραμμα ροής, ψευδογλώσσα, εμφωλευμένος, βρόχος.

1. Να δοθεί ο ορισμός του όρου αλγόριθμος.
2. Ποιά είναι τα κριτήρια που πρέπει να ικανοποιεί κάθε αλγόριθμος;
3. Υπό ποία πρίσματα η Πληροφορική επιστήμη μελετά τους αλγορίθμους;
4. Ποιά η διαφορά της θεωρητικής από την αναλυτική προσέγγιση στην επίλυση ενός προβλήματος με χρήση αλγορίθμου;
5. Περιγράψτε τους τρόπους περιγραφής και αναπαράστασης των αλγορίθμων.
6. Ποιές είναι οι βασικοί τύποι συνιστωσών/εντολών ενός αλγορίθμου ;
7. Να περιγραφεί η δομή της ακολουθίας και να δοθεί σε διάγραμμα ροής ένα παράδειγμα αυτής της αλγοριθμικής προσέγγισης.
8. Να περιγραφεί η δομή της επιλογής και να δοθεί με ακολουθία βημάτων ένα παράδειγμα αυτής της αλγοριθμικής προσέγγισης.
9. Να περιγραφεί η δομή των επαναληπτικών διαδικασιών και να δοθεί με ακολουθία βημάτων και με διάγραμμα ροής ένα παράδειγμα αυτής της αλγοριθμικής προσέγγισης.
10. Να περιγραφεί η δομή των διαδικασιών πολλαπλών επιλογών και να δοθεί με ακολουθία βημάτων και με διάγραμμα ροής ένα παράδειγμα αυτής της αλγοριθμικής προσέγγισης.
11. Να περιγραφεί η δομή των εμφωλευμένων διαδικασιών και να δοθεί με ακολουθία βημάτων και με διάγραμμα ροής ένα παράδειγμα αυτής της αλγοριθμικής προσέγγισης.

12. Να περιγραφεί με ακολουθία βημάτων το πρόβλημα του 'πολλαπλασιασμού αλά ρωσικά'.
13. Ποιά η πρακτική σημασία του αλγορίθμου του 'πολλαπλασιασμού αλά ρωσικά' ; Πότε γίνεται χρήση αυτού του τρόπου πολλαπλασιασμού δύο ακεραίων;

1. Ν.Ιωαννίδης, Κ.Μαρινάκης, Σπ.Μπακογιάννης, Δομημένη Σχεδίαση Προγράμματος, Εκδόσεις Ελιξ, Αθήνα 1991.
2. Χρήστος Κοίλιας, Δομές Δεδομένων και Οργανώσεις Αρχείων, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1993, Αθήνα.
3. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Δομές Δεδομένων - μία Προσέγγιση με Pascal, Εκδόσεις Art of Text, Θεσσαλονίκη, 1998.
4. Σκανδάλης κ.α. Στοιχεία Θεωρίας Αλγορίθμων, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη, 1990.
5. D. Brunskill and J. Turner, Understanding Algorithms and Data Structures, McGraw-Hill, 1996.
6. D. E. Knuth, The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms, Vol.1, 3^rd edition, Addison Wesley, 1997.
7. M.A. Weiss, Data Structures and Algorithm Analysis, 2^nd edition, Benjamin/Cummings, 1995

http://www.nist.gov/dads/

Κόμβος με ευρετήριο όρων για αλγορίθμους, Δομές Δεδομένων και Προβλήματα (Algorithms, Data Structures, and Problems Terms and Definitions for the CRC Dictionary of Computer Science, Engineering and Technology)