Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων

Α. Μεθοδολογία για ασκήσεις με συνδεσμολογία αντιστάσεων

Βρίσκουμε ομάδες αντιστάσεων (δύο ή περισσότερες) που συνδέονται μεταξύ τους, είτε σε σειρά, είτε παράλληλα. Βρίσκουμε την ισοδύναμη αντίσταση της ομάδας αυτών των αντιστάσεων και σχεδιάζουμε το νέο κύκλωμα. Προχωράμε μέχρι να καταλήξουμε σε μια αντίσταση, την R_oλ.

Αν δύο ή περισσότερες αντιστάσεις συνδέονται σε σειρά, πρέπει να βρούμε την ένταση του ρεύματος που τις διαρρέει, ενώ αν δύο ή περισσότερες αντιστάσεις συνδέονται παράλληλα, πρέπει να βρούμε την κοινή τους τάση.

Β. Μεθοδολογία για επίλυση κυκλώματος με τους κανόνες Kirchhoff

1. Σε κάθε κλάδο του κυκλώματος σημειώνουμε αυθαίρετα μια φορά έντασης ρεύματος. Ο αριθμός των ρευμάτων ισούται με τον αριθμό των κλάδων, έστω λ.

2. Αν στο κύκλωμα υπάρχουν κ κόμβοι εφαρμόζουμε τον 1ο κανόνα Kirchhoff (κ - 1) φορές και τον 2ο κανόνα Kirchhoff λ - (κ - 1) = λ - κ + 1 φορές.

Αν κινούμενοι κατά τη φορά διαγραφής που διαλέξαμε, συναντάμε πρώτα τον αρνητικό πόλο της γεννήτριας, στην Η.Ε.Δ. της γεννήτριας θέτουμε πρόσημο θετικό, ενώ θέτουμε πρόσημο αρνητικό στην αντίθετη περίπτωση.

Αν κινούμενοι κατά τη φορά διαγραφής που διαλέξαμε, συναντάμε αντίσταση και κινούμαστε ομόρροπα με το ρεύμα, στο γινόμενο IR θέτουμε πρόσημο αρνητικό, ενώ θέτουμε πρόσημο θετικό στην αντίθετη περίπτωση.

3. Λύνουμε το σύστημα των λ εξισώσεων που προκύπτει. Αν κατά τη λύση, κάποια τιμή έντασης ρεύματος προκύψει αρνητική, αυτό σημαίνει ότι η φορά, που σημειώσαμε αρχικά, είναι αντίθετη της πραγματικής.

Γ. Μεθοδολογία για εύρεση διαφοράς δυναμικού μεταξύ δύο σημείων

Για να βρούμε τη διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α, B εφαρμόζουμε τη σχέση:

Ξεκινάμε από το σημείο A και «πηγαίνουμε» στο σημείο B.

Προσοχή: Πριν εφαρμόσουμε τη σχέση (1) πρέπει να έχουμε επιλύσει το κύκλωμα και να έχουμε σημειώσει τις σωστές φορές των ρευμάτων.

Δ. Μεθοδολογία για ασκήσεις με πυκνωτές σε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος

Σε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος, όταν ο πυκνωτής είναι φορτισμένος δε διαρρέεται από ρεύμα, επομένως λειτουργεί ως ανοικτός διακόπτης. Για να βρούμε το φορτίο του πυκνωτή:

1. Επιλύουμε το κύκλωμα, δηλαδή βρίσκουμε τις εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν κάθε αντίσταση.

2. Βρίσκουμε τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων, που ο πυκνωτής συνδέεται στο κύκλωμα.

3. Βρίσκουμε το φορτίο του πυκνωτή από τη σχέση q = C·V.

Ε. Μεθοδολογία για ασκήσεις με γειώσεις

H σύνδεση ενός σημείου ενός κυκλώματος με τη γη ονομάζεται γείωση.

α) Στο κύκλωμα έχουμε μια γείωση.

1. Το σημείο του κυκλώματος που γειώνεται (π.χ. το Α) αποκτά δυναμικό μηδέν.

2. Ο κλάδος της γείωσης π.χ. ο ΑΓ δε διαρρέεται από ρεύμα, αφού δεν αποτελεί τμήμα κλειστού κυκλώματος.

3. Η μία γείωση δε μεταβάλλει τις εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν το κύκλωμα, ούτε τις διαφορές δυναμικού (ο ΑΓ δε διαρρέεται από ρεύμα). Τα δυναμικά όμως των διαφόρων σημείων εξαρτώνται από το σημείο της γείωσης.

β) Στο κύκλωμα έχουμε δύο ή περισσότερες γειώσεις.

Οι γειώσεις κλείνουν κύκλωμα μέσω της γης, δεδομένου ότι η γη θεωρείται αγωγός με αμελητέα αντίσταση. Έτσι, αν έχουμε δύο ή περισσότερες γειώσεις, τις συνδέουμε με τον αγωγό και αφήνουμε μια γείωση. Οι δύο γειώσεις, γενικά, μεταβάλλουν το κύκλωμα και τις εντάσεις των ρευμάτων που το διαρρέουν.

ΣΤ. Μεθοδολογία για ασκήσεις με κινητήρες

1. Όταν ένας κινητήρας είναι συνδεμένος στο κύκλωμα και δε στρέφεται, τότε συμμετέχει στο κύκλωμα μόνο με την εσωτερική του αντίσταση r′. O νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα ισχύει και γράφεται ως εξής:

όπου I η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, όταν ο κινητήρας δε στρέφεται.

2. Όταν ο κινητήρας στρέφεται, τότε αποδίδει μηχανική ισχύ Ρ_μηχ. Av Ρ_ηλ η ισχύς που προσφέρεται στον κινητήρα, Ρ_μηχ η μηχανική ισχύς που αποδίδει ο κινητήρας και P_θ η θερμική ισχύς στον κινητήρα, ισχύει:

O συντελεστής απόδοσης του κινητήρα είναι:

Λυμένα προβλήματα

Πρόβλημα 1

Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει έναν αγωγό δίνεται από τη σχέση Ι = 10 + 2t (t σε s, I σε A).

α) Να γίνει η γραφική παράσταση I = f(t).

β) Να βρείτε το φορτίο που περνά από μια διατομή του αγωγού σε χρόνο 5 s.

Λύση

α) Η εξίσωση I = f(t) είναι εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς t. Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι ευθεία.

Για t = 0 είναι I = 10Α.

Για t = 5s είναι I = (10 + 2·5)Α = 20Α.

Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

β) Η ένταση I του ρεύματος δεν είναι σταθερή. Επομένως, δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση q = I·t. Το φορτίο q που περνά από μια διατομή του αγωγού από t = 0 ως t = 5s είναι ίσο αριθμητικά με το γραμμοσκιασμένο εμβαδό στη γρ. παράσταση I = f(t).

Πρόβλημα 2

Δύο αντιστάσεις R₁ = 6Ω και R₂ = 3Ω συνδέονται παράλληλα. Σε σειρά με το συνδυασμό των αντιστάσεων συνδέεται αντίσταση R₃ = 10Ω και παράλληλα με το σύστημα των τριών πρώτων αντιστάσεων συνδέεται αντίσταση R₄ = 4Ω. Στα άκρα της συνδεσμολογίας εφαρμόζεται τάση V = 36V. Να βρεθούν:

α) Η ισοδύναμη αντίσταση της συνδεσμολογίας.

β) Η τάση στα άκρα κάθε αντίστασης, η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε αντίσταση και η ένταση που διαρρέει την πηγή τροφοδοσίας.

Λύση

α) Οι αντιστάσεις R₁ και R₂ συνδέονται παράλληλα (σχ. α). H ισοδύναμη αντίσταση R₁₂ δίνεται από τη σχέση:

Οι αντιστάσεις R₁₂ και R₃ συνδέονται σε σειρά (σχ. β). Η ισοδύναμη αντίσταση R₁₂₃ είναι:

Οι αντιστάσεις R₁₂₃ και R₄ συνδέονται παράλληλα (σχ. γ), οπότε η ισοδύναμη αντίσταση R δίνεται από τη σχέση:

β) H ένταση I του ρεύματος που διαρρέει την πηγή τροφοδοσίας και την ισοδύναμη αντίσταση R υπολογίζεται με τη βοήθεια του νόμου του Ohm στο κύκλωμα (δ).

Οι αντιστάσεις R₁₂₃ και R₄ έχουν κοινή τάση, που είναι ίση με την τάση τροφοδοσίας V. Από το νόμο του Ohm υπολογίζουμε τις εντάσεις I₄ και I₁₂₃ (σχ. γ):

Οι αντιστάσεις R₃ και R₁₂ συνδέονται σε σειρά, οπότε διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα, που είναι ίσο με το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση R₁₂₃ (σχ. β). Δηλαδή:

Εφαρμόζοντας το νόμο του Ohm για τις αντιστάσεις R₃ και R₁₂ βρίσκουμε:

Οι αντιστάσεις R₁ και R₂ συνδέονται παράλληλα, οπότε έχουν κοινή τάση, που είναι ίση με την τάση V₁₂ (σχ. α):

Εφαρμόζοντας το νόμο του Ohm για τις αντιστάσεις R₁ και R₂ βρίσκουμε:

Πρόβλημα 3

Δίνεται το διπλανό κύκλωμα. Οι τιμές των ΗΕΔ και των εσωτερικών αντιστάσεων των πηγών είναι , , και r₁ = 1Ω, r₂ = 0,5Ω, r₃ = 0,33Ω. Οι τιμές των αντιστάσεων R₁, R₂ είναι R₁ = 1Ω και R₂ = 0,33Ω. Να βρεθούν τα ρεύματα που διαρρέουν κάθε κλάδο του κυκλώματος και η διαφορά δυναμικού V_ΑΓ.

Λύση

α) Βρίσκουμε τους κόμβους και τους κλάδους στο κύκλωμα. Έχουμε τους κόμβους A και Γ και τους κλάδους ΑΒΓ, ΑΓ και ΑΔΓ.

1) Σε κάθε κλάδο του κυκλώματος σημειώνουμε αυθαίρετα μια φορά έντασης ρεύματος.

2) Εφαρμόζουμε τον 1o κανόνα του Kirchhoff για τον κόμβο Α. Έχουμε:

3) Εφαρμόζουμε το 2ο κανόνα του Kirchhoff στους βρόχους ΑΒΓΑ και ΑΒΔΑ. Για το βρόχο ΓΒΑΓ:

Για το βρόχο ΑΓΔΑ:

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), (2), (3) οπότε προκύπτουν οι τιμές:

Οι τρεις εντάσεις είναι θετικές. Αυτό σημαίνει ότι οι φορείς που εκλέξαμε αυθαίρετα αρχικά είναι οι σωστές,

β) H διαφορά δυναμικού V_ΑΓ βρίσκεται ως εξής:

Πρόβλημα 4

Στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται R₁ = 2Ω, R₂ = 3Ω, V = 10V και C = 1μF. Να βρεθεί το φορτίο του πυκνωτή.

Λύση

Σε κύκλωμα συνεχούς ρεύματος, ο πυκνωτής λειτουργεί ως διακόπτης. Επομένως, το ρεύμα I δε διακλαδίζεται στο σημείο B, διαρρέει τις R₁ και R₂ που συνδέονται σε σειρά, ενώ η R δε διαρρέεται από ρεύμα. Από το νόμο του Ohm έχουμε:

H τάση V_C στα άκρα του πυκνωτή είναι

Άρα q = CV_C ⇒ q = 6μCb.

Πρόβλημα 5

Γεννήτρια με ΗΕΔ και εσωτερική αντίσταση r = 2Ω συνδέεται μέσω αντίστασης R = 5Ω με κινητήρα εσωτερικής αντίστασης r′ = 3Ω. Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, όταν ο κινητήρας στρέφεται είναι I = 5Α.

α) Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, όταν ο κινητήρας δε στρέφεται.

β) Όταν ο κινητήρας στρέφεται, να βρεθούν:

1. η ισχύς που παρέχει η γεννήτρια

2. η ισχύς που προσφέρεται στον κινητήρα

3. η θερμική ισχύς στον κινητήρα και στο κύκλωμα

4. η μηχανική ισχύς του κινητήρα

γ) Να βρεθεί ο συντελεστής απόδοσης του κινητήρα.

Λύση

α) Όταν ο κινητήρας δε στρέφεται, συμμετέχει στο κύκλωμα ως ωμική αντίσταση. Από το νόμο του Ohm έχουμε:

β) 1. H ισχύς που παρέχει η γεννήτρια είναι:

2. H ισχύς που προσφέρεται στον κινητήρα είναι:

3. H θερμική ισχύς στον κινητήρα είναι:

H θερμική ισχύς στο κύκλωμα είναι:

4. H μηχανική ισχύς του κινητήρα βρίσκεται ως εξής:

γ) O συντελεστής απόδοσης του κινητήρα είναι: