Βαρυτικό πεδίο και βαρυτική δυναμική ενέργεια

Όπως γνωρίζουμε η βαρυτική δυναμική ενέργεια Γης-σώματος, είναι ιδιότητα του συστήματος των δύο σωμάτων.

Η ιδιότητα αυτή οφείλεται στην ύπαρξη δυνάμεων αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων.

Αν τα δύο σώματα βρεθούν σε άπειρη απόσταση το ένα ως προς το άλλο, τότε πρακτικά δεν ασκούνται δυνάμεις αλληλεπίδρασης και η δυναμική ενέργεια του συστήματος θεωρούμε ότι μηδενίζεται.

Η σχέση που συνδέει τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας συστήματος σωμάτων με το έργο των συντηρητικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης, όπως π.χ. το βάρος είναι:

ΔU = -W     ή     U_ΤΕΛ - U_ΑΡΧ = -W     ή     W = -(U_ΤΕΛ - U_ΑΡΧ)     5

Κατά τη μετακίνηση μάζας m από τη θέση (Α) σε άπειρη απόσταση (πρακτικά σε απόσταση που η δύναμη αλληλεπίδρασης να μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα), το έργο της δύναμης του πεδίου W_A→∞ (Εικ. 26) σύμφωνα με τη σχέση (5) είναι:

W_A→∞ = -(U_∞ - U_Α)     ή     W_A→∞ = U_Α - U_∞

Επειδή όμως σε άπειρη απόσταση* η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι U_∞ = 0 έχουμε:

U_Α = W_A→∞     6

Από τη σχέση (6) προκύπτει ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος στην αρχική θέση είναι ίση με το έργο της δύναμης του βαρυτικού πεδίου κατά τη μετακίνηση της μάζας από τη θέση (Α) στο άπειρο.

Ηλεκτρικό πεδίο και δυναμική ενέργεια

Έστω ακλόνητο αρνητικό ηλεκτρικό φορτίο Q που δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο. Στη θέση (Γ) του πεδίου βρίσκεται θετικό δοκιμαστικό φορτίο q (Εικ. 27). Επειδή οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις είναι συντηρητικές, κατ' αναλογία με το βαρυτικό πεδίο, η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων δίνεται από τη σχέση (6).

Ο υπολογισμός του έργου W_Γ→∞ δε γίνεται με απλά μαθηματικά, διότι υπάρχουν δύο δυσκολίες. Η πρώτη είναι ότι η δύναμη μεταβάλλεται με την απόσταση:

F = k·|Q·q|r²

και η δεύτερη ότι η μετατόπιση είναι απείρου μήκους. Με τη χρήση όμως ανώτερων μαθηματικών αποδεικνύεται ότι το έργο είναι:

W_Γ→∞ = k·Q·qr

και λόγω της (6) η δυναμική ενέργεια του συστήματος των φορτίων στην αρχική θέση είναι:

U_(Γ) = k·Q·qr     7

όπου k η ηλεκτρική σταθερά και r η απόσταση μεταξύ των ηλεκτρικών φορτίων στην αρχική θέση.

Επειδή το φορτίο πηγή Q είναι ακλόνητο, θεωρούμε καταχρηστικά ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος ανήκει στο φορτίο q.

Δηλαδή θα λέμε ότι «η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του φορτίου q στη θέση (Γ) του πεδίου είναι η U_(Γ)».

Όπως προκύπτει από τη σχέση (7) το πρόσημο της δυναμικής ενέργειας του ηλεκτρικού φορτίου q στη θέση (Γ) μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, αν τα φορτία Q, q είναι ομώνυμα ή ετερώνυμα αντίστοιχα. Ποιο είναι όμως το φυσικό περιεχόμενο της θετικής ή αρνητικής δυναμικής ενέργειας;

Όταν έχουμε ομώνυμα ηλεκτρικά φορτία, οι δυνάμεις που ασκούνται είναι απωθητικές (Εικ. 28).

Επομένως, το έργο της δύναμης του πεδίου είναι παραγόμενο (θετικό) κατά τη μετακίνηση του φορτίου q από τη θέση (Γ) στο άπειρο και η δυναμική ενέργεια του φορτίου q στη θέση (Γ) είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι, το φορτίο q μπορεί να μετακινείται αυθόρμητα προς το άπειρο και η δυναμική του ενέργεια να ελαττώνεται.

Όταν έχουμε ετερώνυμα ηλεκτρικά φορτία, οι δυνάμεις που ασκούνται είναι ελκτικές (Εικ. 29).

Επομένως, το έργο της δύναμης του πεδίου είναι καταναλισκόμενο (αρνητικό) κατά τη μετακίνηση του φορτίου q από τη θέση (Γ) στο άπειρο και η δυναμική ενέργεια του φορτίου q στη θέση (Γ) είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να προσφερθεί ενέργεια στο φορτίο q για να μετακινηθεί προς το άπειρο με αποτέλεσμα η δυναμική του ενέργεια να αυξάνεται.

Παράδειγμα 5

Να υπολογισθούν η δυναμική, η κινητική και η μηχανική ενέργεια του ηλεκτρονίου που περιστρέφεται στη στοιβάδα Κ του ατόμου του υδρογόνου.

Δίδονται:  

Το φορτίο του ηλεκτρονίου q_e = -1,6·10^-19C,

το φορτίο του πρωτονίου q_p = +1,6·10^-19C,

η ηλεκτρική σταθερά k = 9·10⁹N·m²/C²

και η ακτίνα της τροχιάς του ηλεκτρονίου r = 5,3·10^-11m.

Λύση

Η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση:

U_e = k·q_p·q_er     1

ή     U_e = 9·10⁹N·m²C²·1,6·10^-19C·(-1,6·10^-19C)5,3·10^-11m     ή

U_e ≈ -4,350·10^-18J     2

Η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση:

K_e = 12·m_e·υ²     3

από την κυκλική κίνηση γνωρίζουμε ότι το ρόλο της αναγκαίας κεντρομόλου τον πραγματοποιεί η δύναμη Coulomb. Άρα:

F_C = m·υ²r = k·|q_p·q_e|r²     ή     υ = √k·|q_p·q_e|m_e·r     4

Από τη σχέση (3) λόγω της (4) έχουμε:

K_e = k·|q_p·q_e|2r     ή     K_e = 9·10⁹N·m²C²·(1,6·10^-19C)²2·5,3·10^-11m

ή     K_e = 2,175·10^-18J     5

Η μηχανική ενέργεια Ε_Μ είναι:     Ε_Μ = K + U     6     επομένως:

Ε_M = K_e + U_e = +2,175·10^-18J - 4,350·10^-18J = -2,175·10^-18J

Οι σχέσεις με τις οποίες συνδέονται οι παραπάνω ενέργειες είναι:

K= 12|U|     και     E_M = -K

Επειδή η ενέργεια σε επίπεδο ατόμου είναι πολύ μικρής τιμής, χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης (στη φυσική στοιχειωδών σωματιδίων) και το eV (electron volt) ηλεκτρονιοβόλτ: 1eV=1,6·10^-19Joule.