1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Η επίλυση πολλών προβλημάτων οδηγεί συχνά σε ένα σύνολο εξισώσεων των οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις, αλλά οι εξισώσεις αυτές δεν είναι όλες γραμμικές.

Για παράδειγμα, έστω ότι ζητάμε δυο αριθμούς με άθροισμα 13 και άθροισμα τετραγώνων 89.

Αν x, y είναι οι δύο αριθμοί , τότε πρέπει x + y = 13 και x² + y² = 89. Επειδή ζητάμε και κοινές λύσεις των δύο εξισώσεων, έχουμε το σύστημα :

$$\begin{cases} x + y = 13 \quad\quad (1) \\ x^2 + y^2 = 89 \quad (2) \end{cases}$$

Για τη λύση του συστήματος εργαζόμαστε ως εξής :

Επιλύουμε την (1), ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς x , και αντικαθιστούμε στη (2).

Έχουμε

x + y = 13   ⇔  y = 13 − x          (3).

Επομένως

$x^2 + (13 - x)^2 = 89 ⇔ x^2 +169 -26x + x^2 = 89$
⇔ $2x^2 - 26x +80 = 0 $
⇔ $x^2 - 13x +40 = 0 .$

Η τελευταία εξίσωση είναι 2^ου  βαθμού με διακρίνουσα Δ = 9 . Επομένως :

x= $\dfrac{13\pm3}{2} $

Από την (3), για x=8 έχουμε y=5 , ενώ για x=5 έχουμε y=8. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (8, 5) και (5, 8).

Η απάντηση βέβαια στο πρόβλημα είναι ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5 και 8.

Στη συνέχεια θα δούμε, με τη βοήθεια παραδειγμάτων, διάφορες περιπτώσεις επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων.

Μικροπείραμα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1^ο   Να λυθεί το σύστημα $\begin{cases} x + y = 5 \quad (1) \\ xy = 6 \quad\quad (2) \end{cases} $

ΛΥΣΗ

α΄ τρόπος

Επιλύουμε την (1) ως προς x και αντικαθιστούμε στη (2). Έχουμε :

$x + y = 5 ⇔ y = 5 - x$     (3) .

$ xy = 6 ⇔ x(5 - x) = 6$

$⇔ 5x - x^2 = 6 $

$⇔ x^2 - 5x + 6 = 0$

$⇔ x = 2$ ή $x = 3 .$

Από την (3) για x=2 έχουμε y=3 , ενώ για x=3 έχουμε y=2 . Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (2, 3) και (3, 2) .

β΄ τρόπος

Εξετάζοντας το σύστημα βλέπουμε ότι αναζητούμε δύο αριθμούς για τους οποίους γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα 5 και γινόμενο 6. Επομένως, από τους τύπους του Vieta οι αριθμοί αυτοί είναι ρίζες της εξίσωσης

ω² − 5ω + 6 = 0 .

Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι 2 και 3 οπότε οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη (2,3) και (3,2).

ΣΧΟΛΙΟ

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος x + y = 5 παριστάνει ευθεία, ενώ η δεύτερη εξίσωση xy=6 παριστάνει την υπερβολή y = $\dfrac{6}{x}$ . Επομένως οι συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας και της υπερβολής θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος.

Τα σημεία τομής είναι τα Α(2,3) και Β(3,2) . Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (2,3) και (3,2) .

Μικροπείραμα

2^ο   Να λυθεί το σύστημα

$\begin{cases} xy = 6 \quad\quad\quad\quad (1) \\ x^2 + y^2 = 13 \quad (2) \end{cases} $

ΛΥΣΗ

Λύνουμε την (1) ως προς x και αντικαθιστούμε στη (2). Έχουμε

$xy = 6 ⇔ y = \dfrac{6}{x}$

οπότε η (2) γίνεται :

$x^2 + y^2 = 13 ⇔ x^2 + (\dfrac{6}{x})^2 = 13 $

$⇔ x^2 + \dfrac{36}{x^2} = 13$

$⇔ x^4 + 36 = 13 x^2$

$⇔ x^4 - 13 x^2 +36 = 0 $

Η εξίσωση αυτή είναι διτετράγωνη. Αν θέσουμε x² = ω , τότε η εξίσωση γίνεται ω² − 13ω + 36 = 0, της οποίας οι λύσεις είναι η ω=9 και η ω=4 .

✔ Για ω=9 έχουμε

x² = 9   ⇔ x = 3   ή  x = −3

Από την (1) για x=3 παίρνουμε y=2 και για x = −3 παίρνουμε y = −2.

✔ Για ω=4 έχουμε

x² = 4   ⇔ x = 2   ή  x = −2

Από την (1) για x=2 παίρνουμε y=3 και για x= −2 παίρνουμε y = − 3.

Άρα το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (3,2),  (−3,−2),  (2,3)  και  (−2,−3).

ΣΧOΛΙO

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος x y= 6 παριστάνει την υπερβολή $y = \dfrac{6}{x}$ , ενώ η δεύτερη εξίσωση x² + y² = 13 παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα $ρ = \sqrt{13}$ .

Επομένως οι συντεταγμένες των σημείων τομής της υπερβολής και του κύκλου θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος.

Μικροπείραμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ