3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1^o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να γίνει, όπως θα δούμε στη συνέχεια, με τη βοήθεια πινάκων που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών από 0^o μέχρι 90^o. Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες ω και ω' που οι τελικές πλευρές τους τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ' αντιστοίχως.

Γωνίες αντίθετες

Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, δηλαδή αν ω' = −ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ΄ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x'x. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι :

Δηλαδή :
οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα :

✔ Έχουμε :

✔ Επίσης, έχουμε :

Δηλαδή :

Οι γωνίες με άθροισμα 180^o έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα :

Γωνίες που διαφέρουν κατά 180^o

Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 180^o, δηλαδή αν ω' = 180^o + ω , τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι :

Δηλαδή :

Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180^o έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Για παράδειγμα :

Γωνίες με άθροισμα 90^o

Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 90^o , δηλαδή ω' = 90^o − ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα
σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της γωνίας xOy . Επομένως η τετμημένη του καθενός ισούται με την τεταγμένη του άλλου. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι :

Δηλαδή,

Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90^o , τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης.

Για παράδειγμα, επειδή 60^o = 90^o −30^o, έχουμε :

ΣΧΟΛΙΟ

Από τα προηγούμενα καταλαβαίνουμε ότι δεν χρειάζεται να έχουμε πίνακες τριγωνομετρικών αριθμών όλων των γωνιών, αλλά μόνο των γωνιών από 0^o μέχρι 90^o.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1^η Δίνεται ότι . Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 54^o.

ΛΥΣΗ

2^η Να υπολογιστούν με τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών :

α) 90^o + ω     β) 270^o − ω    και     γ) 270^o + ω

ΛΥΣΗ

i) Επειδή 90^o + ω = 90^o − (−ω) έχουμε :

ηµ(90^o + ω) = ηµ(90^o − (−ω)) = συν (−ω) = συνω .

Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 90^o + ω .

ii) Επειδή 270^o  − ω = 180^o + (90^o −ω) έχουμε :

ηµ(270^o  − ω) = ηµ(180^o + (90^o−ω)) = −ημ(90^o − ω) = −συνω .

Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 270^o  − ω.

iii) Επειδή 270^o  + ω = 360^o − 90^o + ω = 360^o + (ω − 90^o), έχουμε :

εφ(270^o  + ω) = εφ(ω − 90^o) = −εφ(90^o − ω) = −σφω .

Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 270^o  + ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.
1. Αν ημω =1, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω= 0 .	A	Ψ
2. Αν συνω= 0 , τότε υποχρεωτικά θα είναι ημω= 1.	A	Ψ
3. Υπάρχει γωνία ω με ημω + συνω =2 .	A	Ψ
4. Για κάθε γωνία ω ισχύει	A	Ψ
5. ημ220o + ημ270o = 1	A	Ψ
6. Για κάθε x ∈ R ισχύει ηµ(x − π) = −ηµx	A	Ψ
7. Για κάθε x ∈ R ισχύει ημ2x = ημx2	A	Ψ
8. Αν τότε ηµx = 0	A	Ψ
9. Για κάθε x ∈ R ισχύει	A	Ψ