2.2 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ƒ(x) = |x| + 1. Επειδή
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της φ(x) = |x| κατακόρυφα(1) και προς τα πάνω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της ƒ(x) = |x| +1. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: ƒ(x) = φ(x) + 1, για κάθε x∈ℝ, που σημαίνει ότι για κάθε x∈ℝ το ƒ(x) είναι κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο του φ(x). Γενικά :
(1) Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα y'y β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ƒ(x) = |x| - 1. Επειδή
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της φ(x) = |x| κατακόρυφα και προς τα κάτω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της ƒ(x) = |x| - 1. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει : ƒ(x) = φ(x) - 1, για κάθε x∈ℝ, που σημαίνει ότι για κάθε x∈ℝ το ƒ(x) είναι κατά 1 μονάδα μικρότερο του φ(x). Γενικά:
|
Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ƒ(x) = |x - 1|. Επειδή
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της φ(x) = |x| οριζόντια(2) και προς τα δεξιά κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της ƒ(x) = |x -1|. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει ƒ(x) = φ(x - 1) , για κάθε x∈ℝ που σημαίνει ότι η τιμή της ƒ(x) = |x -1| στη θέση x είναι ίδια με την τιμή της φ(x) = |x| στη θέση x - 1.
(2) Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα x'x . Γενικά:
Πράγματι επειδή ƒ(x) = φ(x - c), η τιμή της ƒ στη θέση x είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση x - c, που βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της θέσης x. Άρα, η γραφική παράσταση της ƒ θα βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα γ'). β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ƒ(x) = |x + 1| . Επειδή
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της φ(x) = |x| οριζόντια και προς τα αριστερά κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της ƒ(x) = |x + 1|. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει ƒ(x) = φ(x + 1) , για κάθε x∈ℝ , που σημαίνει ότι η τιμή της ƒ(x) = |x + 1| στη θέση x είναι ίδια με την τιμή της φ(x) = |x| στη θέση x + 1. Γενικά :
Πράγματι επειδή ƒ(x) = φ(x + c), η τιμή της ƒ στη θέση x είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση x + c, που βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της θέσης x. Άρα, η γραφική παράσταση της ƒ θα βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα δ'). |
ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να παραστεί γραφικά η συνάρτηση ƒ(x) = |x + 3| + 2: ΛΥΣΗ Αρχικά χαράσσουμε την y = |x + 3|, που όπως είδαμε προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της y = |x| κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά. Στη συνέχεια χαράσσουμε την y = |x + 3| + 2,που όπως είδαμε προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της y = |x + 3| κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουμε για να παραστήσουμε γραφικά τις συναρτήσεις της μορφής: ƒ(x) = φ(x ± c) ± d, με c, d > 0 Δηλαδή, αξιοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης. |
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
|
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 2ουΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
|