1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Η επίλυση πολλών προβλημάτων οδηγεί συχνά σε ένα σύνολο εξισώσεων των οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις, αλλά οι εξισώσεις αυτές δεν είναι όλες γραμμικές.

Για παράδειγμα, έστω ότι ζητάμε δυο αριθμούς με άθροισμα 13 και άθροισμα τετραγώνων 89.

Αν x, y είναι οι δύο αριθμοί , τότε πρέπει x + y = 13 και x² + y² = 89. Επειδή ζητάμε και κοινές λύσεις των δύο εξισώσεων, έχουμε το σύστημα :

Για τη λύση του συστήματος εργαζόμαστε ως εξής :

Επιλύουμε την (1), ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς x , και αντικαθιστούμε στη (2).

Έχουμε

x + y = 13   ⇔  y = 13 − x          (3).

Επομένως

Η τελευταία εξίσωση είναι 2^ου  βαθμού με διακρίνουσα Δ = 9 . Επομένως :

Από την (3), για x=8 έχουμε y=5 , ενώ για x=5 έχουμε y=8. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (8, 5) και (5, 8).

Η απάντηση βέβαια στο πρόβλημα είναι ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5 και 8.

Στη συνέχεια θα δούμε, με τη βοήθεια παραδειγμάτων, διάφορες περιπτώσεις επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1^ο   Να λυθεί το σύστημα

ΛΥΣΗ

α΄ τρόπος

Επιλύουμε την (1) ως προς x και αντικαθιστούμε στη (2). Έχουμε :

Από την (3) για x=2 έχουμε y=3 , ενώ για x=3 έχουμε y=2 . Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (2, 3) και (3, 2) .

β΄ τρόπος

Εξετάζοντας το σύστημα βλέπουμε ότι αναζητούμε δύο αριθμούς για τους οποίους γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα 5 και γινόμενο 6. Επομένως, από τους τύπους του Vieta οι αριθμοί αυτοί είναι ρίζες της εξίσωσης

ω² − 5ω + 6 = 0 .

Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι 2 και 3 οπότε οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη (2,3) και (3,2).

ΣΧΟΛΙΟ

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος x + y = 5 παριστάνει ευθεία, ενώ η δεύτερη εξίσωση xy=6 παριστάνει την υπερβολή y = 6/x . Επομένως οι συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας και της υπερβολής θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος.

Τα σημεία τομής είναι τα Α(2,3) και Β(3,2) . Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (2,3) και (3,2) .

2^ο   Να λυθεί το σύστημα

ΛΥΣΗ

Λύνουμε την (1) ως προς x και αντικαθιστούμε στη (2). Έχουμε

οπότε η (2) γίνεται :

Η εξίσωση αυτή είναι διτετράγωνη. Αν θέσουμε x² = ω , τότε η εξίσωση γίνεται ω² − 13ω + 36 = 0, της οποίας οι λύσεις είναι η ω=9 και η ω=4 .

✔ Για ω=9 έχουμε

x² = 9   ⇔ x = 3   ή  x = −3

Από την (1) για x=3 παίρνουμε y=2 και για x = −3 παίρνουμε y = −2.

✔ Για ω=4 έχουμε

x² = 4   ⇔ x = 2   ή  x = −2

Από την (1) για x=2 παίρνουμε y=3 και για x= −2 παίρνουμε y = − 3.

Άρα το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (3,2),  (−3,−2),  (2,3)  και  (−2,−3).

ΣΧOΛΙO

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος xy 6 = παριστάνει την υπερβολή y = 6/x , ενώ η δεύτερη εξίσωση x² + y² = 13 παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = √13 .

Επομένως οι συντεταγμένες των σημείων τομής της υπερβολής και του κύκλου θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Να λύσετε το σύστημα :

2. Να λύσετε τα συστήματα : και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα αποτελέσματα.

3. Από τους τύπους   S = υ0t + 1/2 αt2   και    υ = υ0t + αt , να δείξετε ότι

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τo σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

2. Να λύσετε το σύστημα :

3. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 120cm2. Αν η μία διάσταση του ορθογωνίου αυξηθεί κατά 3cm , ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 2cm , τότε το εμβαδόν του δεν μεταβάλλεται. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

4. Δίνεται η παραβολή y = −x2 και η ευθεία y = 2x + k,   k ∈ R. Να βρείτε για ποιες τιμές του k η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία.

5. Να λύσετε τo σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα : με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή. Α) Έχει μοναδική λύση,   Β) Είναι αδύνατο,   Γ) Έχει άπειρο πλήθος λύσεων.
ΙΙ. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.
1. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων.	Α	Ψ
2. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα είναι D = 0 , τότε το σύστημα είναι κατ' ανάγκη αδύνατο.	Α	Ψ
3. Το σύστημα είναι αδύνατο.	Α	Ψ
4. Ο κύκλος x2 + y2 = 1 και η παραβολή y = x2 + 1 δεν έχουν κοινά σημεία.	Α	Ψ