ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8

OMOIOTHTA

Στο κεφάλαιο αυτό μελετώνται οι ιδιότητες των όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων και ειδικότερα των όμοιων τριγώνων για τα οποία διατυπώνονται κατάλληλα κριτήρια ομοιότητας. Η ομοιότητα επεκτείνεται στο σύνολο των στοιχείων των ευθύγραμμων σχημάτων ενώ δίνονται πρακτικές εφαρμογές σε πραγματικά προβλήματα και σημειώνεται ότι αποτελεί βασικό συνδετικό κρίκο Άλγεβρας και Γεωμετρίας. Τέλος, παρουσιάζεται η στενή σχέση της ομοιότητας με την τριγωνομετρία.

Ναός στο Khajuraho

Ναός στο Khajuraho της Βορειοκεντρικής Ινδίας, 10ος - 11ος αιώνας.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

8.1 Όμοια ευθύγραμμα σχήματα

Ας θεωρήσουμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και από τα μέσα Β' και Δ' των πλευρών ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα, ας φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΔ και ΑΒ, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Γ'. Τότε το παραλληλόγραμμο ΑΒ'Γ'Δ' έχει τις γωνίες του ίσες με τις αντίστοιχες γωνίες του ΑΒΓΔ, ενώ ισχύει ότι

AB'AB = B'Γ'ΒΓ = Γ'Δ'ΓΔ = AΔ'ΑΔ = 12 .

Ας θεωρήσουμε κατόπιν ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ας προεκτείνουμε τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ προς τα σημεία Β και Γ αντίστοιχα. Θεωρούμε σημείο Β' στην προέκταση της ΑΒ, έτσι, ώστε AB'= 3ΑΒ. Από το Β' φέρουμε παράλληλη προς την τρίτη πλευρά ΒΓ, που τέμνει την προέκταση της ΑΓ στοευθύγραμμα σχήματα σημείο Γ'. Τότε παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ'Γ' έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, ενώ επιπλέον ισχύει ότι

ΑΒ'ΑΒ = AΓ'ΑΓ = Β'Γ'ΒΓ = 3.

Τα δύο παραλληλόγραμμα, όπως και τα δύο τρίγωνα που κατασκευάσθηκαν προηγουμένως λέγονται όμοια, ενώ ο λόγος των ομόλογων πλευρών τους (δηλαδή των πλευρών που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες) λέγεται λόγος ομοιότητας. Γενικότερα για τα όμοια ευθύγραμμα σχήματα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός
Δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία.

Ο λόγος των ομόλογων πλευρών δύο ευθύγραμμων σχημάτων, λέγεται λόγος ομοιότητας αυτών και συμβολίζεται με λ. Η ομοιότητα μεταξύ δύο ευθύγραμμων σχημάτων συμβολίζεται με ≈ .

θΕΩΡΗΜΑ

Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων ισούται με το λόγο ομοιότητάς τους.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας θεωρήσουμε δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα ΑΒΓΔΕ και Α'Β'Γ'Δ'Ε' (ανάλογα αποδεικνύεται για ευθύγραμμα σχήματα

Σχήμα 1

Σχήμα 2

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8. Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

Σχήμα 3

Σχήμα 4

με περισσότερες κορυφές). Λόγω της ομοιότητας θα έχουμε ότι

A'B'AB = B'Γ'ΒΓ = Γ'Δ'ΓΔ = Δ'Ε'ΔΕ = Ε'Α'ΕΑ = 12 .

και από τις ιδιότητες των αναλογιών, το άθροισμα των αριθμητών προς το άθροισμα των παρανομαστών ισούται με λ, δηλαδή:

Α'Β' + Β'Γ' + Γ'Δ' + Δ'Ε' + Ε'Α'ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΕ + ΕΑ = λ.

8.2 Κριτήρια ομοιότητας

Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με την ομοιότητα των τριγώνων, καθώς αποδεικνύεται (εφαρμογή 3) ότι δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα.

ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο Ομοιότητας)

Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' με A = A', Β = Β', οπότε και Γ = Γ'. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι Α'Β'ΑΒ''ΑΒ = ΑΓ''ΑΓ = Β''Γ''ΒΓ και η A είναι κοινή, ενώ Β'' = Β οπότε και Γ'' = Γ.
Όμως τα τρίγωνα ΑΒ''Γ'' και Α'Β'Γ' είναι ίσα, καθώς έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι όμοια.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

(i) Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν μία οξεία γωνία τους ίση.
(ii) Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους.
(iii) Δυο ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία έχουν μία αντίστοιχη γωνία ίση, είναι όμοια.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΘΕΩΡΗΜΑ IΙ (2ο Κριτήριο Ομοιότητας)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όμοια.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' (σχ.4) έτσι, ώστε A = A' και Α'Β'ΑΒ = Α'Γ'ΑΓ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι Α'Β'

AB''AB = ΑΓ''ΑΓ ή Α'Β'ΑΒ = ΑΓ''ΑΓ .

Όμως, από την υπόθεση ισχύει ότι A'B'AB = Α'Γ'ΑΓ .

Επομένως καταλήγουμε ότι AΓ''AΓ = Α'Γ'ΑΓ ή ΑΓ'' = Α'Γ'.

Τελικά τα τρίγωνα ΑΒ''Γ'' και Α'Β'Γ' είναι ίσα, καθώς έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες.

ΘΕΩΡΗΜΑ IΙΙ (3ο Κριτήριο Ομοιότητας)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' (σχ. 4), ώστε

A'B'AB = Α'Γ'ΑΓ = Β'Γ'ΒΓ .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε Α'Β'

ΑΒ''ΑΒ = AΓ''ΑΓ = Β''Γ''ΒΓ ή A'B'AB = ΑΓ''ΑΓ = Β''Γ''ΒΓ .

ΣΧΟΛΙΟ
Το θεώρημα που εκφράζει ότι δύο όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτελούν τους βασικούς συνδετικούς κρίκους της Γεωμετρίας με την Άλγεβρα. Η σύνδεση της Γεωμετρίας με την Άλγεβρα είναι ιδιαίτερα εποικοδομητική, καθώς μας επιτρέπει να χρησιμοποιούμε την εποπτεία της Γεωμετρίας σε αλγεβρικά προβλήματα και την ευχέρεια των πράξεων της Άλγεβρας σε γεωμετρικά προβλήματα. Τα όμοια τρίγωνα και το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτέλεσαν τα θεμέλια της Τριγωνομετρίας. Χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα μπορούμε να υπολογίσουμε τις διαστάσεις ενός αντικειμένου μετρώντας τις διαστάσεις ενός μικρότερου μοντέλου του. Το μοντέλο αυτό θα έχει τις ίδιες γωνίες με το αρχικό, επομένως οι διαστάσεις του αρχικού προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τις αντίστοιχες διαστάσεις του μοντέλου με το λόγο ομοιότητας των δύο σχημάτων.

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8. Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

Όμως από την υπόθεση έχουμε ότι

A'B'AB = Α'Γ'ΑΓ = Β'Γ'ΒΓ .

Επομένως προκύπτει ότι

ΑΓ''ΑΓ = Α'Γ'ΑΓ και Β''Γ''ΒΓ = Β'Γ'ΒΓ ,

οπότε ΑΓ'' = Α'Γ' και Β"Γ" = Β'Γ'. Άρα τα τρίγωνα ΑΒ''Γ'' και Α'Β'Γ' είναι ίσα γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η

Ας θεωρήσουμε δυο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ, Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ και σημεία Μ της ΒΓ, Μ' της Β'Γ' τέτοια, ώστε ΒΜΜΓ = Β'Μ'Μ'Γ' .

Τότε ισχύει ότι ΑΜΑ'Μ' = ΒΜΒ'Μ' = ΓΜΓ'Μ' = λ.

Απόδειξη

Έστω ότι Α'Β' Προεκτείνουμε την ΑΜ'' ώστε να τμήσει τη ΒΓ σε σημείο Ε. Τότε τα τρίγωνα ΑΒ''Μ'' και ΑΒΕ είναι όμοια, οπότε

ΑΒ''ΑΒ = Β''Μ''ΒΕ = ΑΜ''ΑΕ ή λ = Β'Μ'ΒΕ = Α'Μ'ΑΕ .

Σχήμα 5

Σχήμα 5

Όμοια έχουμε ότι λ = Μ'Γ'ΕΓ = Α'Μ'ΑΕ .

Οπότε Β'Μ'Μ'Γ' = ΒΕΕΓ = ΒΜΜΓ , συνεπώς τα Ε και Μ ταυτίζονται.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

(i) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων υψών τους.
(ii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διχοτόμων τους.
(iii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διαμέσων τους.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η

Πόσο ύψος έχει το σχολείο σας;

Λύση

Σχήμα 6

Σχήμα 6

Ένας μαθητής βλέπει την κορυφή Γ του σχολείου από δύο σημεία Α και Β στο έδαφος (σχ. 6). Χρησιμοποιώντας έναν εξάντα (βλ. επόμενη παράγραφο) μετράει τις γωνίες Α, Β με τις οποίες φαίνεται το σχολείο, π.χ. A = 19° και Β = 43°.
Κατόπιν μετράει την απόσταση από το σημείο Α ως το Β, π.χ. ΑΒ=12 μέτρα. Η μέτρηση των γωνιών έγινε από κάποια απόσταση από το έδαφος ίση με το ύψος του μαθητή, ας υποθέσουμε ότι έχει ύψος 1,8 μέτρα. Για να υπολογίσουμε το ύψος του σχολείου κατασκευάζουμε σε μία κόλλα χαρτί το αντίστοιχο μοντέλο. Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα A'B'=6 cm. Προεκτείνουμε την Α'Β' προς το μέρος του Β' και σχηματίζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο γωνίες xΑ'y = 19° και xΒ'z = 43°. Οι ημιευθείες A'y και B'z τέμνονται στο σημείο Γ'. Από το σημείο Γ' φέρουμε την κάθετη Γ'Δ' στην Α'Β' και έχουμε κατασκευάσει το μοντέλο μας. Μετράμε ότι το Γ'Δ' ισούται με 3,3 cm.

Ο λόγος ομοιότητας είναι λ = ΑΒΑ'Β' = 200.

Επομένως το πραγματικό μήκος του ΓΔ είναι ΓΔ = λΓ'Δ' = 6,6 μέτρα. Προσθέτοντας και το ύψος του μαθητή, έχουμε ότι το πραγματικό ύψος του σχολείου είναι 8,4 μέτρα.

ΣΧΟΛΙΟ
Με τη χρήση της ομοιότητας μπορούμε να μετρήσουμε μήκη ευθύγραμμων τμημάτων που είναι απρόσιτα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8. Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

Ο ΕΞΑΝΤΑΣ Το διπλανό σχήμα εκφράζει τη λειτουργία του εξάντα, δηλαδή μας παρουσιάζει έναν απλό μηχανισμό για να μετράμε τις γωνίες υπό τις οποίες φαίνεται ένα σχήμα. Για να κατασκευασθεί χρειάζεται ένα ίσιο ξύλο, ένα μοιρογνωμόνιο, μία χορδή (κιθάρας) ή πετονιά, ένα βαράκι (νήμα της στάθμης) και δύο ανθρώπους, έναν για να βλέπει το αντικείμενο και έναν για να διαβάζει τη μέτρηση.	Σχήμα 7
ΣΧΟΛΙΟ Παλιά οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι για να επιλύουν τέτοιου είδους προβλήματα ήταν αρκετό να έχουν έναν πίνακα με τρίγωνα και τις διαστάσεις τους, οπότε θα αρκούσε να μελετούν τον πίνακα παρά να κατασκευάζουν μοντέλα των τριγώνων που προέκυπταν από φυσικά προβλήματα.	Σχήμα 8
Παρατήρησαν ότι αρκεί ο πίνακας αυτός να έχει μόνο ορθογώνια τρίγωνα αφού κάθε τρίγωνο διαμερίζεται σε δύο ορθογώνια (σχ.8). Ένας τέτοιος πίνακας είναι οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 1. Πρακτικά τα αποτελέσματα από την τριγωνομετρία είναι ακριβέστερα από αυτά που προκύπτουν από μέτρηση και κατασκευή μοντέλου, όπως προηγουμένως. Ωστόσο οι τριγωνομετρικοί πίνακες δεν είναι τίποτε άλλο, παρά πίνακες όμοιων τριγώνων.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3η

Να αποδείξετε ότι δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα.

Απόδειξη

Θα αποδείξουμε την εφαρμογή για δύο πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και Α'Β'Γ'Δ'Ε', καθώς η απόδειξη είναι ανάλογη για κάθε πολύγωνο. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο πεντάγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ. Από τις κορυφές Α, Α' των πενταγώνων φέρουμε τις διαγωνίους ΑΓ, ΑΔ και Α'Γ', Α'Δ' αντίστοιχα, οπότε καθένα πεντάγωνο χωρίσθηκε σε τρία τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΕ και Α'Β'Γ', Α'Γ'Δ', Α'Δ'Ε' αντίστοιχα.

Σχήμα 9

Τότε έχουμε ότι ΑΒΓ ≈ Α'Β'Γ' και ΑΔΕ ≈ Α'Δ'Ε'.Επομένως, θα είναι και Γ₁ = Γ'₁ και ΑΓΑ'Γ' = λ. Τότε όμως θα έχουμε ότι Γ₂ = Γ'₂ (αφού Γ = Γ') και ΓΔΓ'Δ' = λ. Επομένως και τα τρίγωνα ΑΓΔ και Α'Γ'Δ' θα είναι όμοια.

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του υ_α=ΑΗ. Να αποδείξετε ότι βγ = 2Rυ_α, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

Απόδειξη

Θεωρούμε τη διάμετρο ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΗΓ και ΑΒΔ είναι όμοια, αφού B = H = 1∟ και Γ = Δ ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Επομένως είναι

ΑΗΑΒ = ΑΓΑΔ ή βγ = 2Rυ_α.

Σχήμα 10

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με A = 1 ∟ , τότε είναι βγ = αυ_α = 2Rυ_α .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. i) Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε είναι όμοια;
ii) Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια με ένα τρίτο τρίγωνο, τότε είναι και μεταξύ τους όμοια;
2. Δύο ισοσκελή τρίγωνα είναι πάντα όμοια;
3. Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ = 3ΔΕ. Να βρεθεί ο λόγος ΕΖΒΓ.

4. Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το μήκος του ΔΕ.

Εικόνα
Μικροπείραμα

5. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι 3cm, 4cm και 5cm. Ένα τρίγωνο όμοιο με αυτό έχει περίμετρο 24cm. Ποια είναι τα μήκη των πλευρών του;
6. Αν στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΒΚΛΓ είναι εγγράψιμο, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΚΛ είναι όμοια; Ποιες είναι οι ομόλογες πλευρές τους;

Εικόνα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8. Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

7. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Εικόνα

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1∟). Από τυχαίο σημείο Δ της ΑΓ φέρουμε ΔΕ ⊥ ΒΓ. Να αποδείξετε ότι:
i) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ είναι όμοια,
ii) ΑΓ • ΕΔ = ΑΒ • ΕΓ.
2. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΑΔ = 13 ΑΒ και ΓΕ = 23 ΑΓ. Να αποδείξετε ότι:
i) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια,
ii) ΒΓ = 3ΔΕ
3. Μία μεταλλική πλάκα έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με πλευρές α,β,γ. Η πλάκα θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνεται κάθε πλευρά της κατά το 115 της. Θα παραμείνει ορθογώνιο τρίγωνο το σχήμα της πλάκας;
4. Ένα δέντρο ρίχνει κάποια στιγμή σε οριζόντιο έδαφος σκιά μήκους 24m. Στο ίδιο σημείο, την ίδια στιγμή, μια κατακόρυφη ράβδος μήκους 2m ρίχνει σκιά μήκους 3m. Να βρεθεί το ύψος του δέντρου.
5. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι :
i) ΑΔ² = ΔΒ • ΔΓ ,
ii) ΑΒ² = ΒΔ • ΒΓ ,
iii) ΑΒ • ΑΓ = ΑΔ • ΒΓ .
6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R) και οι ευθείες Αx και Αy που σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις ΑΒ και ΑΓ και τέμνουν τη ΒΓ και τον κύκλο αντίστοιχα στα Α και Ε. Να αποδείξετε ότι ΑΔ • ΑΕ = ΑΒ • ΑΓ.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. O παρατηρητής ΑΒ βλέπει το φως του λαμπτήρα Γ μέσα από τον καθρέπτη Κ. Να υπολογίσετε το ύψος του φανοστάτη ΔΓ, όταν είναι ΔΚ=3m, ΑΚ=2m και το

ύψος του παρατηρητή 1,70m. (Είναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης).

Εικόνα

2. Να αποδείξετε ότι:
i) δύο παραλληλόγραμμα είναι όμοια, αν δύο διαδοχικές πλευρές του ενός είναι ανάλογες προς δύο διαδοχικές πλευρές του άλλου και οι γωνίες των πλευρών αυτών είναι ίσες,
ii) δύο ορθογώνια με ίση τη γωνία των διαγωνίων τους είναι όμοια.
3. Θεωρούμε τους κύκλους (O₁,R₁) και (O₂,R₂) που τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν οι εφαπτόμενες στο Α τέμνουν τους κύκλους στα Α₁ και Α₂ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΑΒ² = ΒΑ₁• ΒΑ₂ .
4. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι

ΗΔ • ΗΑ = ΗΒ • ΗΕ = ΗΓ • ΗΖ.

5. Από το μέσο Μ του τόξου ΑΒ φέρουμε τις χορδές ΜΔ και ΜΖ, που τέμνουν τη χορδή ΑΒ στα Δ' και Ζ' αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι

ΜΔ • ΜΔ' = ΜΖ • ΜΖ'.

6. Σε ορθογώνιο τραπέζιο (A = Δ = 1∟) οι διαγώνιοι είναι κάθετες. Να αποδείξετε ότι το ύψος του είναι μέσο ανάλογο των βάσεων.

Σύνθετα Θέματα

1. Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια.

Μικροπείραμα

2. Έστω δοσμένη γωνία xΟy και σημείο Μ. O τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα O και Μ τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι

ΜΒMΓ = dd' , όπου d, d' είναι οι αποστάσεις του Μ από τις Ox, Οy , αντίστοιχα.
3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 1∟) και το ύψος του ΑΔ. Η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει το ΑΔ

Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

στο Ζ και η διχοτόμος της ΔAΒ τέμνει τη ΒΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΖΕ//ΑΒ.
4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B - Γ = 1∟ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ² = ΔΒ • ΔΓ.

5. Η διχοτόμος ΑΔ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε. Να αποδείξετε ότι :
i) AB • ΑΓ = ΑΔ • ΑΕ,
ii) ΕΒ² = ΕΑ • ΕΔ .

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Έστω δοσμένος κύκλος (Ο,R) και σημείο Α στο εξωτερικό του κύκλου. Από το Α φέρουμε την εφαπτομένη ΑΤ και την τέμνουσα ΑΒΓ. Να αποδειχθεί ότι

ABAΓ = ΤΒ²TΓ²

2. Από σημείο Α φέρουμε τις εφαπτόμενες ΑΒ και ΑΓ κύκλου (Ο,R) και τυχαία τέμνουσα ΑΔΕ. Να αποδειχθεί ότι ΒΔ • ΓΕ = ΒΕ • ΓΔ.
3. Αν Ε, Ζ είναι οι προβολές των κορυφών Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ (με β ≠ γ) στη διχοτόμο του ΑΔ να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Δ.
4. Σε κάθε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ να αποδειχθεί ότι οι αποστάσεις τυχαίου σημείου της διαγωνίου ΑΓ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΔ είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις πλευρές αυτές.

5. Αν Μ τυχαίο σημείο κύκλου (Ο,R), να αποδείξετε ότι :
i) η απόσταση d του Μ από χορδή ΑΒ του κύκλου είναι

d = MA • MB2R ,

ii) η απόσταση d' του Μ από την εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο Α του κύκλου είναι

d' = MA²2R ,

iii) αν d,d₁,d₂ οι αποστάσεις του Μ από μία χορδή ΓΔ του κύκλου και από τις εφαπτόμενες στα Γ, Δ αντίστοιχα, τότε d₂ = d₁∙d₂ .
6. Θεώρημα Πτολεμαίου: Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών είναι ίσο με το γινόμενο των διαγωνίων του.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

1. Να κατασκευασθούν δύο τετράπλευρα των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες μία προς μία, αλλά δεν είναι όμοια.
2. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Να κατασκευασθεί τετράπλευρο Α'Β'Γ'Δ' το οποίο να αποτελείται από τρίγωνα ίσα με τα τρίγωνα στα οποία χωρίζει η διαγώνιος ΑΓ το ορθογώνιο έτσι, ώστε το Α'Β'Γ'Δ' να μην είναι όμοιο με το ΑΒΓΔ.

Εργασία

Κατασκευάστε έναν εξάντα και υπολογίστε το ύψος μίας πολυκατοικίας στη γειτονιά σας ακολουθώντας τη διαδικασία της εφαρμογής 2.

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8. Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Όμοια ευθύγραμμα σχήματα

• Ανάλογες πλευρές
• Ίσες γωνίες

• O λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων ισούται με το λόγο ομοιότητάς τους.

Κριτήρια Ομοιότητας τριγώνων

• Δυο ίσες γωνίες
• Δυο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες
• Τρεις πλευρές ανάλογες

• Σε δύο όμοια τρίγωνα ο λόγος δύο ομόλογων στοιχείων τους ισούται με το λόγο ομοιότητάς τους.