Γεωμετρία (Β Γενικού Λυκείου - Γενικής Παιδείας): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Παράρτημα A'

Η αξιωματική μέθοδος

Η αξιωματική μέθοδος είναι ένας τρόπος κατασκευής μιας επιστημονικής θεωρίας, κατά τον οποίο ορισμένες προτάσεις (τα λεγόμενα αξιώματα ή αιτήματα) λαμβάνονται ως αρχή και από αυτά συνάγονται όλα τα θεωρήματα της θεωρίας με μια ακολουθία συλλογισμών που ονομάζεται απόδειξη. Οι κανόνες που ακολουθούν οι συλλογισμοί αυτοί είναι αντικείμενο της επιστήμης της λογικής. Όλες οι έννοιες που χρησιμοποιούνται κατά τη διαδικασία της απόδειξης (εκτός από ένα μικρό αριθμό αρχικών εννοιών) εισάγονται με ορισμούς, οι οποίοι επεξηγούν το νόημα των εννοιών αυτών με βάση γνωστές έννοιες ή άλλες έννοιες που έχουν ορισθεί προηγουμένως. Οι επιστήμες που κατασκευάζονται με την μέθοδο αυτή ονομάζονται αποδεικτικές ή παραγωγικές επιστήμες.

Η γένεση της αξιωματικής μεθόδου στην κλασσική Ελληνική αρχαιότητα

Η ιδέα της αρχής στην Ελληνική φιλοσοφική σκέψη

Η γένεση της αξιωματικής μεθόδου στα μαθηματικά είναι φαινόμενο όχι μόνο μαθηματικού χαρακτήρα. Μαθηματικές γνώσεις είχαν πολλοί λαοί και μεγάλοι πολιτισμοί. Όμως μόνο στην αρχαία Ελλάδα γεννήθηκε η ιδέα να κατασκευαστεί η Γεωμετρία ξεκινώντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αρχικών προτάσεων.

Η ιδέα της ενιαίας αρχής του κόσμου εντοπίζεται ήδη στα φιλοσοφικά σχήματα των Ιώνων φιλοσόφων, με τα οποία επιχειρούσαν να ερμηνεύσουν τον κόσμο. Ο Εμπεδοκλής ανέ-πτυξε τη θεωρία των στοιχείων, από την αλληλεπίδραση των οποίων γεννιέται ο κόσμος. Οι αρχαίοι ατομιστές επεχείρησαν επίσης να ερμηνεύσουν τον κόσμο ξεκινώντας από κάποιες ελάχιστες αδιαίρετες οντότητες. Έτσι η τάση να εξηγηθεί ο κόσμος ξεκινώντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αρχικών στοιχείων με κάποιους ορθολογικούς κανόνες δέσποζε στην πνευματική ατμόσφαιρα της αρχαίας Ελλάδας.

Στους κύκλους των φιλοσόφων της Πλατωνικής Ακαδημίας και των Περιπατητικών συζητείται το θέμα των αρχών πάνω στις οποίες πρέπει να κατασκευάζεται μια αποδεικτική επιστήμη. Σύμφωνα με τη θεωρία της επιστήμης του Πλάτωνα, η επιστήμη
1. είναι ένα σύνολο απόλυτων αληθειών,
2. ξεκινά από κάποιες αρχές, από τις οποίες συνάγονται οι αλήθειες της επιστήμης,
3. μελετά ιδεατά αντικείμενα που είναι σταθερά και αμετάβλητα στην πορεία του χρόνου. Απόλυτες αλήθειες μπορούν να διατυπωθούν μόνο για αντικείμενα αυτού του τύπου.

Τα μαθηματικά, κατά τον Πλάτωνα, επιτυγχάνουν την τελειότητα στο βαθμό που οι αρχές τους προκύπτουν από τη λεγόμενη Ιδέα του Αγαθού, που στο φιλοσοφικό σύστημα του Πλάτωνα παίζει ρόλο καθαρού Απολύτου.

Ο Αριστοτέλης, από την άλλη μας άφησε στα «Αναλυτικά Ύστερα» μια αρκετά επεξεργασμένη θεωρία αποδεικτικής επιστήμης. Η γενική λογική δομή μιας αποδεικτικής επιστήμης αποτελείται από όρους και προτάσεις που έχουν τα εξής χαρακτηριστικά:

(I)

Η αποδεικτική επιστήμη είναι μια ακολουθία προτάσεων για τα στοιχεία ενός πεδίου αντικειμένων, του γ έ ν ο υ ς (αρχή της ο μ ο γ έ ν ε ι α ς ) .
Οι προτάσεις αυτές διαιρούνται σε α ν α π ό δ ε ι κ τ ε ς ή α ρ χ ι κ έ ς (αξιώματα, αιτήματα, αρχές, τα πρώτα), και α π ο δ ε ί ξ ι μ ε ς ή π α ρ ά γ ω γ ε ς (θεωρήματα).
Οι όροι της πρότασης διαιρούνται σε μ η ο ρ ι ζ ό μ ε ν ο υ ς ή α ρ χ ι κ ο ύ ς όρους (αρχές, τα πρώτα), και ο ρ ί σ ι μ ο υ ς ή π α ρ ά γ ω γ ο υ ς όρους (τα εκ τούτων).
Ωστόσο, ο Αριστοτέλης δεν απαιτεί τη ρητή απαρίθμηση όλων των αρχικών προτάσεων και όρων.

(II)

Από τις αρχικές προτάσεις, τα α ξ ι ώ μ α τ α είναι προ- φανή και α ν α π ό δ ε ι κ τ α , ενώ τα α ι τ ή μ α τ α είναι υποθέσεις που λαμβάνονται χωρίς απόδειξη, αν και δεν είναι πάντοτε προφανείς.

(ΙII)

Οι αρχικοί ό ρ ο ι είναι άμεσα ν ο η τ ο ί και δεν ορίζονται.

(IV)

Από τις αρχικές προτάσεις, τα αξιώματα είναι α λ η θ ε ί ς και α ν α γ κ α ί ε ς προτάσεις. Η αλήθεια των αιτημάτων όμως δεν είναι λογικά αναγκαία, αλλά γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη.

Οι αναζητήσεις πάνω στις αρχές της αποδεικτικής επιστήμης στην Ακαδημία του Πλάτωνα και το Λύκειο, συνέτειναν πιθανότατα στη δημιουργία ενός ενιαίου συστήματος αρχών, που αποτέλεσε τη βάση των «Στοιχείων» του Ευκλείδη.

Το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη

Η πρωταρχική ανάπτυξη της αξιωματικής μεθόδου έχει αφετηρία στα έργα των αρχαίων Ελλήνων γεωμετρών. Η πρώτη προσπάθεια να γραφούν «Στοιχεία» της Γεωμετρίας ανήκει στον Ιπποκράτη το Χίο. Σύμφωνα με μαρτυρία του Πρόκλου, διάφοροι γεωμέτρες επιχείρησαν να γράψουν «Στοιχεία». Στην πορεία της κατασκευής των «Στοιχείων» της Γεωμετρίας τέθηκε πιθανότατα το θέμα να διευκρινιστεί ποιες είναι οι προτάσεις εκείνες από τις οποίες όλες οι άλλες προτάσεις προκύπτουν ως συμπέρασμα. Αν και τα «Στοιχεία» των γεωμετρών αυτών δε διασώθηκαν, είναι ωστόσο λογικό να υποθέσουμε ότι η έκθεση της Γεωμετρίας διέφερε από έργο σε έργο κι ότι οι αρχικές προτάσεις σ' αυτά δεν ήταν οι ίδιες.

Το Βιβλίο I των «Στοιχείων» αρχίζει με 23 Ορισμούς οι οποίοι εισάγουν τις βασικές γεωμετρικές έννοιες (σημείο, γραμμή, επιφάνεια, ευθεία, επίπεδο, γωνία, σύνορο, σχήμα) και παράγωγες έννοιες με τη βοήθεια των οποίων ορίζονται τα βασικά γεωμετρικά σχήματα (ορθή, οξεία και αμβλεία γωνία, κύκλος, τρίγωνα, τετράπλευρα, παράλληλες ευθείες). Ωστόσο, ο ορισμός της έννοιας π.χ. του σημείου ή της ευθείας που δίνει ο Ευκλείδης δε χρησιμοποιείται πουθενά στη συνέχεια στις αποδείξεις των «Στοιχείων».

εικόνα

Παράρτημα A'

Tα τρία πρώτα Αιτήματα(*) διασφαλίζουν την εκτέλεση γεωμετρικών κατασκευών με κανόνα και διαβήτη. Το τέταρτο αίτημα εξασφαλίζει ότι μια ευθεία μπορεί να προεκταθεί κατά μονοσήμαντο τρόπο, και το πέμπτο αίτημα εξασφαλίζει την ύπαρξη σημείου τομής δύο ευθειών υπό τις συνθήκες του αιτήματος.

Οι Κοινές Έννοιες(*) είναι προτάσεις που περιγράφουν γενικές ιδιότητες της ισότητας ή ανισότητας μεγεθών. Όλες οι Κοινές Έννοιες εκτός της τέταρτης αφορούν όχι μόνο γεωμετρικά μεγέθη, αλλά και αριθμούς. Μόνον η τέταρτη έχει κατ' εξοχήν γεωμετρικό χαρακτήρα. Γι' αυτό θεωρείται από ορισμένους ιστορικούς των μαθηματικών ότι πιθανόν είναι μεταγενέστερη παρεμβολή.

Η επιλογή των αιτημάτων και των Κοινών Εννοιών είναι εν γένει εύστοχη. Όλες σχεδόν οι προτάσεις αυτές διατηρήθηκαν στο σύγχρονο αξιωματικό σύστημα της Γεωμετρίας. Ωστόσο, δεν είναι επαρκή, από σύγχρονη άποψη, για να θεμελιώσουν τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Απουσιάζουν εντελώς έννοιες όπως του «μεταξύ», «από το ίδιο μέρος», «εντός (εκτός) ενός γεωμετρικού σχήματος», και πολλές άλλες που ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί στη συνέχεια κατά τη διαδικασία των αποδείξεων. Όμως αυτό δεν αποτελεί μειονέκτημα από την Αριστοτέλεια άποψη της αποδεικτικής επιστήμης, αφού δεν επιβάλλεται η πλήρης απαρίθμηση όλων των αρχικών προτάσεων, κι επομένως επιτρέπεται η χρήση «προφανών», μη ρητά διατυπωμένων υποθέσεων στην πορεία της απόδειξης.

Η εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου έδωσε τη δυνατότητα της συστηματοποίησης του σώματος των γεωμετρικών προτάσεων κατά την αρχαιότητα και την αποφυγή λογικών λαθών όπως π.χ. οι φαύλοι κύκλοι. Επίσης συνέβαλε στην αποσαφήνιση της λογικής αλληλουχίας των εννοιών, πράγμα που προσέδωσε στη Γεωμετρία ανυπέρβλητη για την εποχή λογική αυστηρότητα.

Η γένεση της νέας αντίληψης της αξιωματικής μεθόδου στα τέλη του 19ου αι.

Ο διαχωρισμός της έννοιας του αξιωματικού συστήματος από την ερμηνεία του

Με την κατάρρευση του αρχαίου Ελληνικού πολιτισμού τα επιστημονικά κέντρα μετατοπίζονται στην Ανατολή και αργότερα στην Ευρώπη. Στη διάρκεια όλων αυτών των αιώνων το σύστημα των «Στοιχείων» παραμένει το ιδεώδες της μαθη-ματικής αυστηρότητας και το πρότυπο της επιστημονικής με-θόδου. Όμως η αξιωματική μέθοδος δε γνώρισε κάποια ιδιαί-τερη ανάπτυξη μέχρι τα τέλη του 19ου αι. Ούτε υπήρξε κάποια σημαντική προσπάθεια βελτίωσης των εγγενών αδυναμιών της. Ο ρόλος της αξιωματικής μεθόδου στα μαθηματικά αρχίζει να αλλάζει σημαντικά από τα μέσα του 19ου αι. όταν ο Λομπατσέφσκι και ο Μπόλυαΐ απέδειξαν ότι μπορεί να κατα-σκευασθεί μια Γεωμετρία με αξιώματα διαφορετικά από τα Ευκλείδεια.

Οι σημαντικότερες ίσιος αδυναμίες της Ευκλείδειας αξιωματικής μεθόδου σήμερα είναι ότι δεν παρέχει ακριβή περιγραφή του τι συνιστά λογική απόδειξη. Έτσι στους συλλογισμούς υπεισέρχεται το στοιχείο της γεωμετρικής εποπτείας, ιδιαίτερα σε προτάσεις που αφορούν τη συνέχεια των γεωμετρικών σχημάτων και τη σχετική τους θέση στο χώρο.

Επίσης δεν υπάρχει σαφήνεια στον ορισμό των εννοιών. Η εισαγωγή των αρχικών εννοιών π.χ. από τον Ευκλείδη γίνεται με επεξηγήσεις που δίνουν την εντύπωση προσπάθειας ορισμού, αλλά παραμένουν μη λειτουργικοί.

Το πιο σημαντικό όμως χαρακτηριστικό του ιδεώδους αυτού είναι ότι η γεωμετρική θεωρία είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με το μοναδικό της μοντέλο - το φυσικό χώρο - και οι βασικές υποθέσεις της θεωρίας κατανοούνται ως οι χαρακτηριστικές ιδιότητες αυτού του μοντέλου. Ακόμα και με την ανακάλυψη της Υπερβολικής Γεωμετρίας οι μαθηματικοί δε συνειδητοποίησαν αμέσως τη διαμορφούμενη νέα αντίληψη της αξιωματικής μεθόδου, η οποία μας επιτρέπει να θεωρούμε τη Γεωμετρία ως επιστήμη που κατασκευάζεται από υποθέσεις που δε συνδέονται κατ' ανάγκην με το μοντέλο του φυσικού χώρου. Η Υπερβολική Γεωμετρία φάνταζε στα μάτια των μαθηματικών του 19ου αι. περισσότερο σαν ιδιοφυές παράδοξο στο σώμα της μαθηματικής γνώσης, παρά σαν εναλλακτικό σύστημα Γεωμετρίας, ισότιμο μάλιστα προς το Ευκλείδειο. Για να νομιμοποιηθεί η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία χρειάστηκε να συνδεθεί με τις συνήθεις αντιλήψεις του χώρου στα έργα του Μπελτράμι, του Κλάιν και του Πουανκαρέ, να επινοηθούν ερμηνείες (μοντέλα) της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας στο πλαίσιο της κλασσικής Γεωμετρίας.

Εκτός όμως από τη Γεωμετρία, τον 19° αι. εισάγονται και μια σειρά νέες έννοιες, όπως οι ιδανικοί αριθμοί του Κούμμερ, οι υπερμιγαδικοί αριθμοί και τα γεωμετρικά τους ισοδύναμα, οι πολυδιάστατοι χώροι κτλ., η ερμηνεία των οποίων στο πλαίσιο των κλασικών μαθηματικών θεωριών γινόταν όλο και πιο πολύπλοκη. Εκτός από αυτό οι ερμηνείες αυτές αποδεικνυόταν ότι δεν είναι μοναδικές. Αυτό έδειχνε ότι οι θεωρίες αυτές πρέπει να εξετάζονται ανεξάρτητα από κάποια συγκεκριμένη ερμηνεία.

Έτσι στη διάρκεια του δεύτερου μισού του 19ου αι. προτείνονται αξιωματικοί ορισμοί μιας σειράς νέων εννοιών. Το 1854 ο Καίλεϋ προτείνει τον αξιωματικό ορισμό της αφηρημένης έννοιας της ομάδας (σε μορφή που είναι ορθή μόνο για πεπερασμένες ομάδες), το 1870 ο Κρόνεκερ προτείνει ένα σύστημα αξιωμάτων της θεωρίας πεπερασμένων Αβελιανών ομάδων και, εν γένει πολλά έργα μαθηματικών του 19ου αι. - του Χ. Χάνκελ (Hermann Hankel, 1839-1873), του Χ. Βέμπερ (Heinrich Weber, 1842-1913), του Ντέντεκιντ (Riehard Dedekind, 1831-1916), και άλλων - είναι αφιερωμένα στην αξιωματικοποίηση τμημάτων της άλγεβρας.

Το 1882 ο Πας (Pasch Μ.) επιχειρεί την αξιωματικοποίηση της Γεωμετρίας. Στο αξιωματικό σύστημα του Πας εμφανίζονται για πρώτη φορά αξιώματα που χαρακτηρίζουν την έννοια του «μεταξύ», και εισάγεται η αρχή με τη βοήθεια της οποίας μπορεί ένα επίπεδο να διαιρεθεί από μία ευθεία και ο χώρος από ένα επίπεδο. Το 1889 ο Πεάνο (Giuseppe Peano, 1858-1932) στο έργο του για τα λογικά θεμέλια της Γεωμετρίας καταφέρνει να αξιωματικοποιήσει το τμήμα της Γεωμετρίας που μελετά τη σχετική θέση σημείων, ευθειών και επιπέδων. Το σύστημα του Πεάνο θυμίζει αυτό του Πας, όμως ο Πεάνο επιτυγχάνει να αποφύγει συλλογισμούς εποπτικού χαρακτήρα. Στο πλαίσιο της Ιταλικής σχολής, οι μαθητές του Πεάνο, Αμοδέο, Φανό (Gino Fano, 1871-1952), Ενρίκε (Federigo Enriques, 1871-1946) και Πιερί (Mario Pieri, 1860-1913), επιτυγχάνουν τη θεμελίωση της προβολικής Γεωμετρίας.

Παράλληλα γίνονται μελέτες για την αξιωματικοποίηση της αριθμητικής στα έργα του Χ. Γκράσσμαν (Hermann Grassmann, 1809- 1877), του Γκ. Κάντορ (Georg Cantor, 1845-1918), του Γκ. Φρέγκε (Gottlob Frege, 1848-1925) και του Μπ. Ράσσελ (Bertrand Russell, 1872-1970). Τα πρώτα πλήρη συστήματα αξιωμάτων της αριθμητικής προτείνονται το 1888 από το Ντέντεκιντ και το 1891 από τον Πεάνο.

Παράρτημα A'

Το αξιωματικό σύστημα του Χίλμπερτ

Σε όλες αυτές τις έρευνες που αναφέραμε δεσπόζει η τάση να διαχωριστεί η μαθηματική θεωρία από την ερμηνεία (το μοντέλο) με βάση το οποίο κατασκευάζεται. Η τάση αυτή οδήγησε και στην αξιωματική κατασκευή της Γεωμετρίας στο έργο του Ντ. Χίλμπερτ «Τα θεμέλια των μαθηματικών», το οποίο αντανακλά τη νέα αντίληψη της αξιωματικής μεθόδου. Πώς όμως εκδηλώνεται αυτή η τάση στο πεδίο της Γεωμετρίας και σε τι συνίσταται η καινοτομία του Χίλμπερτ;

Πριν την ανακάλυψη της Υπερβολικής Γεωμετρίας, όταν η Γεωμετρία του Ευκλείδη εθεωρείτο ως η μόνη δυνατή Γεωμετρία των σχέσεων του φυσικού χώρου, ήταν νόμιμο να επιχειρήσει κανείς να ορίσει τις βασικές γεωμετρικές έννοιες, ερμηνεύοντάς τες με βάση τα πραγματικά αρχέτυπα των εννοιών αυτών στο φυσικό χώρο. Αυτή ακριβώς ήταν η προσέγγιση του Ευκλείδη και των μετέπειτα γεωμετρών μέχρι το 19° αι. Ο ίδιος ο Ευκλείδης επιχειρεί να ορίσει π.χ. το σημείο ως «κάτι το οποίο δεν έχει μέρη», δηλαδή ως οντότητα χωρίς εσωτερική δομή ή άτομο. Ο ορισμός αυτός, που επιχειρεί να επεξηγήσει τη μαθηματική έννοια καταφεύγοντας σε αρχέτυπα του φυσικού χώρου, κατανοείται ποικιλοτρόπως από τους σχολιαστές του Ευκλείδη και τους μετέπειτα μαθηματικούς.

Όμως μετά την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών έ-γινε σαφές ότι η προσέγγιση του Ευκλείδη κατά τον ορισμό των αρχικών εννοιών είναι αδύνατη. Κάθε δυνατή Γεωμετρία έχει τις δικές της αρχικές έννοιες, οι οποίες εξαρτώνται από τα αξιώματα του γεωμετρικού συστήματος. Οι ορισμοί των αρχικών εννοιών έτσι συνδέονται με το δεδομένο γεωμετρικό σύστημα κι όχι πλέον με το φυσικό χώρο.

Αφού λοιπόν δεν είναι δυνατόν να δοθεί ορισμός των αρχικών βασικών εννοιών για όλες τις δυνατές γεωμετρίες, οι αρχικές έννοιες έπρεπε να οριστούν ως αντικείμενα οποιασδήποτε φύσης που ικανοποιούν τα αξιώματα της Γεωμετρίας. Τα αξιώματα αυτά ορίζουν έμμεσα τις αρχικές έννοιες. Στο πλαίσιο αυτό τα αξιώματα παύουν πλέον να θεωρούνται προφανείς αλήθειες που δε χρήζουν απόδειξης. Η έννοια του «προφανούς» αντικαθίσταται τώρα από την έννοια της «απλότητας» του αξιωματικού συστήματος.

Στο σύστημα του Χίλμπερτ τα αρχικά μαθηματικά αντικείμενα είναι τριών ειδών: τα «σημεία», οι «ευθείες» και τα «επίπεδα», που συνδέονται μεταξύ τους με τις σχέσεις του «ανήκειν», του «μεταξύ» και της «ισοδυναμίας». Το σύστημα του Χίλμπερτ εξετάζει τις αρχικές αυτές έννοιες και τις σχέσεις τους και οι πέντε ομάδες αξιωμάτων που εισάγει συνιστούν έμμεσο ορισμό των αρχικών αντικειμένων και των σχέσεών τους.

(I)

Τα αξιώματα συνδέσεως («ανήκειν») ορίζουν τις ιδιότητες της αμοιβαίας θέσης μεταξύ σημείων, ευθειών και επιπέδων

¹ Τα αξιώματα αυτά είναι οκτώ:
(Ι₁) Από οποιαδήποτε δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.
(Ι₂) Σε κάθε ευθεία υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία.
(Ι₃) Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία που δεν κείνται στην ίδια ευθεία.
(Ι₄) Από οποιαδήποτε τρία σημεία που δεν κείνται στην ίδια ευθεία, διέρχεται ένα μόνο επίπεδο.
(I₅) Σε οποιοδήποτε επίπεδο υπάρχει πάντοτε ένα σημείο που ανήκει σ' αυτό.

(II)

Τα αξιώματα διάταξης ορίζουν τις ιδιότητες της αμοιβαίας θέσης σημείων πάνω σε μια ευθεία ή ένα επίπεδο².

(III)

Τα αξιώματα ισοδυναμίας ορίζουν την έννοια της «ισότητας» δύο τμημάτων ή γωνιών³.

(ΙV)

Τα αξιώματα συνέχειας⁴.

(V)

Το αξίωμα παραλληλίας⁵ .

(Ι₆) Αν δύο σημεία βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία αυτά βρίσκεται σ' αυτό το επίπεδο.
(Ι₇) Αν δύο επίπεδα έχουν κοινό σημείο, τότε έχουν τουλάχιστον ένα ακόμα κοινό σημείο.
(Ι₈) Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερα σημεία που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
² Τα αξιώματα διάταξης είναι τέσσερα:
(II₁) Από τρία διαφορετικά σημεία μιας ευθείας ένα και μόνον ένα βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων.
(ΙΙ₂) Για οποιαδήποτε δύο σημεία Α και Γ υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Β στην ευθεία ΑΓ τέτοιο, ώστε το σημείο Γ να βρίσκεται μεταξύ του Α και του Β.
(ΙΙ₃) Για οποιαδήποτε τρία σημεία μιας ευθείας υπάρχει όχι περισσότερο από ένα σημείο που βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων. Η σχέση του «μεταξύ» για σημεία σε μια ευθεία μας επιτρέπει να ορίσουμε την έννοια του ευθύγραμμου τμήματος.
(II₄) Έστω Α, Β, Γ τρία σημεία που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία και έστω ε ευθεία στο επίπεδο των Α, Β, Γ που δε διέρχεται από κανένα από τα σημεία Α, Β, Γ. Αν η ευθεία ε διέρχεται από ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, τότε πρέπει να διέρχεται κι από ένα σημείο του τμήματος ΑΓ ή από ένα σημείο του τμήματος ΒΓ (αξίωμα του Πας).
³ Τα αξιώματα αυτά είναι πέντε:
(ΙΙΙ₁) Αν Α και Β είναι δύο διαφορετικά σημεία στην ευθεία ε και Α' είναι ένα σημείο της ίδιας ευθείας ή άλλης ευθείας ε', τότε μπορεί πάντοτε να βρεθεί σημείο Β' που βρίσκεται στο δεδομένο από το σημείο Α' μέρος της ευθείας ε' τέτοιο, ώστε το τμήμα ΑΒ να είναι ισοδύναμο (ίσο) με το τμήμα Α'Β'.
(ΙΙΙ₂) Αν δύο τμήματα είναι ισοδύναμα προς τρίτο, τότε είναι και μεταξύ τους ισοδύναμα.
(ΙΙΙ₃) Έστω ΑΒ και ΒΓ δύο τμήματα της ευθείας ε που δεν έχουν κοινό σημείο και έστω επίσης Α'Β' και Β'Γ' δύο τμήματα της ίδιας ευθείας ή άλλης ευθείας ε' που επίσης δεν έχουν κοινό σημείο. Αν τώρα ΑΒ=Α'Β',ΒΓ=Β'Γ', τότε και ΑΓ=Α'Γ'.
Η γωνία ορίζεται ως το σχήμα που αποτελείται από δύο διαφορετικές ημιευθείες με κοινό αρχικό σημείο.
(ΙΙΙ₄) Από δεδομένη ημιευθεία σε δεδομένο ημιεπίπεδο που ορίζεται από αυτή την ημιευθεία και την προέκτασή της , μπορεί να σχηματιστεί μια μοναδική γωνία ισοδύναμη με τη δεδομένη γωνία.
εικόνα
⁴ Τα αξιώματα συνέχειας είναι δύο:
(IV₁) Έστω ΑΒ και ΓΔ δύο οποιαδήποτε τμήματα. Τότε στην ευθεία ΑΒ υπάρχει πεπερασμένος αριθμός σημείων Α₁, Α₂, ..., Α_nτέτοιων ώστε τα τμήματα ΑΑ₁, Α₁Α₂, ..., Α_n-1,Α_n,να είναι ισοδύναμα με το τμήμα ΓΔ και το σημείο Β να βρίσκεται μεταξύ Α και Α_n (αξίωμα Ευδόξου-Αρχιμήδη)
(IV₂) Τα σημεία μιας ευθείας σχηματίζουν σύστημα, το οποίο, τηρουμένης της γραμμικής διάταξης, του πρώτου αξιώματος ισοδυναμίας και του αξιώματος Ευδόξου-Αρχιμήδη δεν είναι επεκτάσιμο, δηλ. σ' αυτό το σύστημα σημείων δεν είναι δυνατόν να προστεθεί ένα ακόμα σημείο, έτσι ώστε στο επεκτεταμένο σύστημα που αποτελείται από το αρχικό σύστημα και το συμπληρωματικό σημείο να ικανοποιούνται τα παραπάνω αξιώματα (αξίωμα γραμμικής πληρότητας).

Παράρτημα A'

Η έννοια της ερμηνείας (μοντέλου)

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα γεωμετρικό σύστημα δίνεται με τη βοήθεια ενός συστήματος αξιωμάτων. Τα αντικείμενα που ικανοποιούν τα αξιώματα αυτού του γεωμετρικού συστήματος μπορεί να είναι διάφορα. Τα διάφορα αυτά αντικείμενα συνιστούν διαφορετικές ερμηνείες ή μοντέλα του γεωμετρικού συστήματος.

Έστω, π.χ. ότι ερμηνεύουμε τα αρχικά αντικείμενα ως εξής: ως «σημείο» θεωρούμε οποιαδήποτε σφαίρα ακτίνας R, ως «ευθεία» κάθε άπειρο κυκλικό κύλινδρο ακτίνας R, και ως «επίπεδο» οποιοδήποτε τμήμα του χώρου που περιέχεται μεταξύ δύο επιπέδων που βρίσκονται σε απόσταση 2R το ένα από το άλλο. Θα λέμε ότι ένα «σημείο» κείται επ' «ευθείας» αν η αντίστοιχη σφαίρα περιέχεται στον κύλινδρο. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να ορισθεί ως η απόσταση μεταξύ των κέντρων των αντίστοιχων σφαιρών. Με ανάλογο τρόπο μπορούν να οριστούν διάφορα «σχήματα». Τότε όλα τα αξιώματα (και επομένως και τα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας) θα πρέπει να ικανοποιούνται στην ερμηνεία (μοντέλο) αυτή.

Με τον παραπάνω τρόπο κατασκευάσαμε ένα μοντέλο του Ευκλείδειου γεωμετρικού συστήματος. Όλες οι ιδιότητες και τα θεωρήματα που προκύπτουν από το αφηρημένο σύστημα των αξιωμάτων «μεταφέρονται» στα συγκεκριμένα αντικείμενα που είναι ερμηνείες των βασικών εννοιών του αξιωματικού συστήματος. Επομένως, οποιασδήποτε φύσης κι αν είναι τα αντικείμενα αυτά και σε οποιοδήποτε κλάδο της επιστήμης κι αν ανήκουν οι ιδιότητες τους μπορούν να θεωρηθούν γνωστές εκ των προτέρων, επειδή προκύπτουν από τις ιδιότητες του αφηρημένου αξιωματικού συστήματος. Έτσι δεν απαιτείται να μελετηθούν τα αντικείμενα αυτά ξεχωριστά. Αυτό όμως διευρύνει το πεδίο εφαρμογής της Γεωμετρίας και καθιστά τη σύγχρονη αξιωματική μέθοδο ισχυρότατο επιστημονικό εργαλείο.

Εκτός από τη Γεωμετρία, η μέθοδος του μοντέλου χρησιμοποιείται και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, αλλά και σε άλλους κλάδους της επιστήμης. Στην άλγεβρα, π.χ. γνωρίζουμε ότι το σύνολο των ακεραίων είναι μοντέλο της αφηρημένης έννοιας της ομάδας. Ένα άλλο μοντέλο της ομάδας είναι το σύνολο των ρητών, το οποίο είναι ταυτόχρονα και μοντέλο της αφηρημένης έννοιας του σώματος.

Η νέα αντίληψη της αξιωματικής μεθόδου που διαμορφώθηκε στα τέλη του 19ου αι. είναι συνυφασμένη με την ιδέα του μοντέλου και συνίσταται στο ότι αντικείμενο μιας αξιωματικής θεωρίας αποτελεί οποιοδήποτε μοντέλο (ερμηνεία) της θεωρίας αυτής.

Το πρόβλημα της μη αντιφατικότητας της Γεωμετρίας

Η αξιωματικοποίηση της Γεωμετρίας από τον Χίλμπερτ επέ-τρεψε στον Φ. Κλάιν και τον Α. Πουανκαρέ να αποδείξουν τη σχετική μη αντιφατικότητα της Γεωμετρίας Λομπατσέφσκι- Μπόλυάΐ ως προς τη Γεωμετρία του Ευκλείδη. Αυτή η απόδειξη, που βασίζεται στην ιδέα του μοντέλου της αξιωματικής θεωρίας, συνίσταται στο να δείξει κανείς έναν τρόπο ερμηνείας των εννοιών και προτάσεων της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας με όρους της Ευκλείδειας (στην περίπτωση της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας η μέθοδος απέδειξε ότι αν η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι μη αντιφατική, τότε και η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι επίσης μη αντιφατική).

⁵ Έστω ε τυχούσα ευθεία και σημείο Α εκτός αυτής. Στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία ε και το σημείο Α υπάρχει όχι περισσότερο από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και δεν τέμνει την ευθεία ε.

Όσον αφορά την μη αντιφατικότητα της ίδιας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, αυτή ανάγεται στη μη αντιφατικότητα της αριθμητικής των φυσικών αριθμών. Ωστόσο, δεν υπάρχει απόλυτη απόδειξη της μη αντιφατικότητας της αριθμητικής (αν και υπάρχουν αποδείξεις μη αντιφατικότητας υποσυστημάτων της αριθμητικής). Έτσι δεχόμαστε ότι μια αξιωματική θεωρία είναι μη αντιφατική αν μπορεί να κατασκευαστεί αριθμητικό μοντέλο της θεωρίας αυτής. Τα παραπάνω αποκαλύπτουν τον ιδιαίτερο ρόλο της αριθμητικής στο πρόβλημα της μη αντιφατικότητας, δεδομένου ότι το ανάλογο πρόβλημα για μια σειρά άλλες μαθηματικές θεωρίες ανάγεται επίσης στο πρόβλημα της μη αντιφατικότητας της αριθμητικής. Η μέθοδος της απόδειξης της σχετικής μη αντιφατικότητας μιας θεωρίας με τη βοήθεια της κατασκευής ενός μοντέλου εφαρμόζεται σήμερα ευρύτατα στα θεμέλια των μαθηματικών και τη μαθηματική λογική για την απόδειξη της σχετικής μη αντιφατικότητας διάφορων μαθηματικών και λογικών θεωριών.

Το πρόβλημα της ανεξαρτησίας των αξιωμάτων της Γεωμετρίας

Η μέθοδος του μοντέλου μας επιτρέπει επίσης να λύσουμε το πρόβλημα της ανεξαρτησίας των αξιωμάτων. Προκειμένου να αποδειχθεί ότι ένα αξίωμα Α της θεωρίας Τ δεν είναι αποδείξιμο από τα υπόλοιπα αξιώματα της θεωρίας αυτής, αρκεί να κατασκευαστεί ένα μοντέλο της θεωρίας Τ, στο οποίο το αξίωμα Α είναι ψευδές, ενώ τα υπόλοιπα αξιώματα είναι αληθή.

Η ύπαρξη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας αποδεικνύει την ανεξαρτησία του αξιώματος παραλληλίας από τα υπόλοιπα αξιώματα της Γεωμετρίας του Ευκλείδη. Το σύστημα αξιωμάτων της Υπερβολικής Γεωμετρίας είναι ένα σύστημα που λαμβάνεται από το παραπάνω αξιωματικό σύστημα της Γεωμετρίας του Ευκλείδη με την αλλαγή του αξιώματος παραλληλίας με το παρακάτω αξίωμα:

«Έστω ε τυχούσα ευθεία και σημείο A εκτός αυτής. Στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία ε και το σημείο Α άγονται περισσότερες από μία ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α και δεν τέμνουν την ευθεία ε».

Με ανάλογο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί η ανεξαρτησία των αξιωμάτων συνέχειας. Η ανεξαρτησία του αξιώματος Ευδόξου-Αρχιμήδη αποδεικνύεται με τη βοήθεια της κατασκευής ενός μοντέλου «μη Αρχιμήδειας Γεωμετρίας».

Ιδιαίτερο ρόλο έχει το αξίωμα (Ι₇), το οποίο στην ουσία εξασφαλίζει ότι ο χώρος έχει τρεις διαστάσεις. Η ανεξαρτησία αυτού του αξιώματος από τα υπόλοιπα αποδεικνύεται, π.χ. με την κατασκευή ενός μοντέλου τετραδιάστατoυ Ευκλείδειου χώρου.

Έτσι το πρόβλημα της ανεξαρτησίας των αξιωμάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας οδηγεί στη μελέτη νέων «γεωμετρικών χώρων», που διαφέρουν σημαντικά ως προς τις ιδιότητες τους από το συνήθη χώρο του Ευκλείδη.

Παράρτημα B'

Γεωμετρία της σφαίρας

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο Παράρτημα αυτό θα παρουσιαστεί μία σύντομη εισαγωγή στη Γεωμετρία της σφαίρας, θα μελετήσουμε δηλαδή, κατ' αναλογία με την γεωμετρία του επιπέδου, ιδιότητες σχημάτων στην επιφάνεια της σφαίρας.

2. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Σε μια σφαίρα κέντρου Ο (σχ. 1), υπάρχουν άπειροι μέγιστοι κύκλοι, που περνάνε από ένα σημείο της Α. Οι μέγιστοι αυτοί κύκλοι ορίζονται ως τομή της σφαίρας με τα επίπεδα που περνάνε από την ακτίνα OA. Παρατηρούμε όμως ότι αυτοί οι κύκλοι διέρχονται και από ένα δεύτερο σημείο Α', το αντιδιαμετρικό σημείο του Α.

εικόνα

Δύο σημεία Α και Β μη αντιδιαμετρικό στην επιφάνεια της σφαίρας (σχ. 2), ορίζουν έναν και μόνο ένα μέγιστο κύκλο που περιέχει τα σημεία αυτά. Αποδεικνύεται ότι το μικρότερο από τα δύο τόξα του μέγιστου κύκλου είναι η συντομότερη απόσταση μεταξύ των δύο αυτών σημείων, μετρημένη πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας. Κάθε άλλη γραμμή που συνδέει τα δύο αυτά σημεία, πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας έχει μήκος μεγαλύτερο από αυτό του τόξου ΑΒ. Έχουμε λοιπόν τις προτάσεις:

Από κάθε σημείο μιας σφαίρας διέρχονται άπειροι μέγιστοι κύκλοι.
Δύο τυχόντες μέγιστοι κύκλοι τέμνονται σε δύο αντιδιαμετρικό σημεία.
Δύο μη αντιδιαμετρικά σημεία σε μία σφαίρα ορίζουν ένα μέγιστο κύκλο.

Ονομάζουμε γωνιακή απόσταση ή απόσταση μεταξύ δύο σημείων Α και Β μιας σφαίρας το μικρότερο από τα δύο τόξα ΑΒ του μέγιστου κύκλου που αυτά ορίζουν. Είναι το ίδιο αν ορίσουμε την απόσταση ως την επίκεντρη κυρτή γωνία ΑÔΒ (σχ.2), που ορίζουν τα δύο σημεία Α και Β, με το κέντρο Ο της σφαίρας. Το τόξο ή η γωνία μπορεί να μετρηθεί σε ορθές, μοίρες ή ακτίνια. Εάν τα σημεία είναι αντιδιαμετρικά, τότε τα δύο τόξα του μέγιστου κύκλου είναι ίσα μεταξύ τους και επιλέγουμε ένα από τα δύο για να μετρήσουμε την απόσταση τους.

Ονομάζουμε γωνία δύο μέγιστων κύκλων τη δίεδρη γωνία που σχηματίζουν τα επίπεδα των δύο κύκλων. Άξονας ενός μέγιστου κύκλου λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη στο επίπεδο του κύκλου, στο κέντρο της σφαίρας. Πόλοι ενός κύκλου λέγονται τα σημεία τομής ταυ άξονα του κύκλου με τη σφαίρα. Οι πόλοι είναι προφανώς αντιδιαμετρικά σημεία της σφαίρας.

Όταν αναφερόμαστε στον πόλο ενός μέγιστου κύκλου θα εννοούμε έναν από τους δύο πόλους.

Για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου επάνω στη σφαίρα, χρησιμοποιείται το εξής σύστημα αναφοράς. Θεωρούμε ένα μέγιστο κύκλο, που τον λέμε ισημερινό, τους παράλληλους μικρούς κύκλους και τους πόλους του Β και Ν (σχ.3). Ο ένας πόλος λέγεται βόρειος και ο άλλος νότιος. Οι μέγιστοι κύκλοι που περνάνε από τους πόλους Β και Ν λέγονται μεσημβρινοί.

εικόνα

Το σημείο τομής Α του ισημερινού με έναν συγκεκριμένο μεσημβρινό θεωρείται αρχή των μετρήσεων. Ένα σημείο της σφαίρας Μ βρίσκεται στην τομή ενός παραλλήλου και ενός μεσημβρινού (σχ.3). Το τόξο ΓΜ από τον ισημερινό μέχρι τον παράλληλο του σημείου Μ λέγεται πλάτος ενώ το τόξο επί του ισημερινού από την αρχή Α των μεσημβρινών μέχρι του μεσημβρινού ΓΜ του σημείου Μ λέγεται μήκος. Το πλάτος παίρνει τιμές από -90" (νότιος πόλος) μέχρι +90° (βόρειος πόλος) ενώ το μήκος +180° προς τη μία κατεύθυνση του ισημερινού και - 180ο προς την άλλη. Το σύστημα αυτό χρησιμοποιείται στη Γεωγραφία την Αστρονομία και τα Μαθηματικά με διάφορα ονόματα.

Προτάσεις

Η γωνία δύο μέγιστων κύκλων ισούται με τη γωνία των εφαπτομένων των μέγιστων κύκλων σ' ένα σημείο τομής και έχει μέτρο ίσο με το τόξο του μέγιστου κύκλου που έχει ως πόλους τα κοινά σημεία των δύο κύκλων (σχ 4).
Η γωνία δύο μέγιστων κύκλων ισούται με την απόσταση των πόλων τους (σχ 4).
Δύο μέγιστοι κύκλοι είναι κάθετοι αν και μόνον αν καθένας από αυτούς περιέχει τον πόλο του άλλου.
Από τον πόλο ενός μέγιστου κύκλου άγονται άπειρα τόξα, κάθετα στο μέγιστο κύκλο.

3. ΑΤΡΑΚΤΟΙ ΚΑΙ ΟΝΥΧΕΣ

Το μέρος της επιφάνειας της σφαίρας που περιέχεται μεταξύ δύο ημιπεριφερειών μέγιστων κύκλων λέγεται άτρακτος (σχ 5). Η γωνία των ημιπεριφερειών λέγεται γωνία του άτρακτου. Σφαιρικός όνυχας λέγεται το μέρος του όγκου της σφαίρας που περιέχεται μεταξύ των δύο ημικυκλίων μέγιστων κύκλων. Βάση του σφαιρικού όνυχα λέγεται ο άτρακτος που περιέχεται μεταξύ των ημικυκλίων.

εικόνα

Παράρτημα B'

Γωνία σφαιρικού όνυχα λέγεται η γωνία της βάσης του όνυχα.

Αποδεικνύονται οι εξής προτάσεις:

Δύο άτρακτοι, στην ίδια σφαίρα, με ίσες γωνίες είναι ίσοι.
Ο λόγος των εμβαδών δύο ατράκτων στην ίδια σφαίρα, ισούται με το λόγο των γωνιών τους.

4. ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Σφαιρικό τρίγωνο λέγεται το μέρος της σφαίρας το οποίο περικλείεται μεταξύ των τόξων τριών μέγιστων κύκλων, με την προϋπόθεση ότι τα τόξα είναι μικρότερα από ημικύκλια.

Παράδειγμα

Το σχήμα ΑΒΓ (σχ.6), είναι ένα σφαιρικό τρίγωνο. Τα σημεία τομής των μέγιστων κύκλων Α, Β, Γ λέγονται κορυφές και τα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ λέγονται πλευρές του σφαιρικού τριγώνου. Οι γωνίες που σχηματίζουν οι τρεις μέγιστοι κύκλοι ανά δύο λέγονται γωνίες του σφαιρικού τριγώνου και τις συμβολίζουμε συνήθως με τα γράμματα των κορυφών Α, Β, Γ. Τις πλευρές του τριγώνου τις συμβολίζουμε συνήθως με τα μικρά γράμματα των απέναντι κορυφών, δηλαδή συμβολίζουμε με α, β, γ τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα.

εικόνα

Πρέπει να τονίσουμε ότι η γεωμετρία στη σφαίρα δεν επηρεάζεται από την ακτίνα της, διότι όλα τα μετρούμενα μεγέθη, μήκη πλευρών και γωνίες κορυφών, μετρώνται με τόξα μέγιστων κύκλων και όχι με μήκη.

Είδη σφαιρικών τριγώνων

Ένα σφαιρικό τρίγωνο χαρακτηρίζεται αναλόγως των πλευρών ή των γωνιών του ως εξής:

εικόνα

Θεωρούμε ως μονάδα μέτρησης γωνιών και πλευρών την ορθή γωνία και ως μονάδα μέτρησης των εμβαδών αυτό του τρισορθογώνιου σφαιρικού τριγώνου, δηλαδή το 18 της σφαίρας.

Το εμβαδόν ενός ατράκτου ισούται με το διπλάσιο της γωνίας του.

Απόδειξη
Θεωρούμε τον άτρακτο ΒΟΑ, σχ. 5, με γωνία φ και τον ορθογώνιο άτρακτο ΒΟΓ. Ο λόγος των εμβαδών τους είναι όπως ο λόγος των γωνιών τους, δηλαδή:

Αλλά ο άτρακτος ΒΟΓ ισούται με δύο τρισορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα, επομένως, η σχέση (1) γράφεται: ατρ(ΒΟΑ)=2φ.
Σφαιρική υπεροχή ενός τριγώνου ΑΒΓ λέγεται η διαφορά (Α+Β+Γ-2).

Το εμβαδόν ενός σφαιρικού τριγώνου ισούται με τη σφαιρική υπεροχή του τριγώνου.

Απόδειξη
Ο άτρακτος που σχηματίζει η γωνία A του τριγώνου ΑΒΓ, (σχ.6), χωρίζεται από τη ΒΓ σε δύο τρίγωνα, επομένως, για τα εμβαδά τους ισχύει:
ατρ. A =εμ.(ΑΒΓ)+εμ.(Α'ΒΓ)     (1)
Ομοια:
ατρ. Β = εμ.(ΑΒΓ)+ εμ.(ΑΒ'Γ)     (2)
ατρ. Γ = εμ.(ΑΒΓ)+εμ.(ΑΒΓ')=εμ.(ΑΒΓ)+εμ.(Α'Β'Γ)     (3)

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
ατρ. A +ατρ Β +ατρ Γ =ημισφ ΑΒ + 2 εμ.(ΑΒΓ),
και επειδή η μονάδα είναι η ορθή γωνία, έχουμε:
2Α+2Β+2Γ=4+2εμβ.(ΑΒΓ) ⇒ εμ.(ΑΒΓ) = Α+Β+Γ - 2.

Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο ισχύουν οι εξής προτάσεις:

κάθε πλευρά είναι μικρότερη του αθροίσματος των δύο άλλων.
το άθροισμα των τριών πλευρών είναι μικρότερο των τεσσάρων ορθών.
το άθροισμα των γωνιών του είναι μεγαλύτερο των δύο ορθών.
απέναντι άνισων πλευρών βρίσκονται ομοίως άνισες γωνίες.
αν είναι ισοσκελές έχει τις γωνίες που βρίσκονται απέναντι των ίσων πλευρών ίσες. Επίσης, η διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος.
αν είναι ισόπλευρο είναι και ισογώνιο.
τα κάθετα τόξα μέγιστων κύκλων στα μέσα των πλευρών του (μεσοκάθετοι), περνάνε από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου.
τα τόξα μέγιστων κύκλων που διχοτομούν τις γωνίες ενός σφαιρικού τριγώνου (διχοτόμοι), περνάνε από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ισαπέχεια από τις πλευρές του τριγώνου.
τα τόξα μέγιστων κύκλων που περνάνε από τις κορυφές και είναι κάθετα στις απέναντι πλευρές (ύψη) περνάνε από το ίδιο σημείο.
ισχύουν τα Θεωρήματα του συνημιτόνου και ημιτόνου:

Παράρτημα B'

5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Η Σφαιρική Γεωμετρία έχει εφαρμογές στην Αστρονομία, Ναυσιπλοία, Χαρτογραφία και αλλού.

Στην Αστρονομία, εφαρμόζεται στη μελέτη προβλημάτων που δεν μας ενδιαφέρει η απόσταση των ουρανίων σωμάτων από τη Γη αλλά η θέση τους στον ουράνιο θόλο που θεωρείται σφαιρικός με κέντρο το κέντρο της Γης.

Η Γη θεωρείται κατά προσέγγιση σφαιρική, επομένως η σφαιρική γεωμετρία έχει εφαρμογές και στις επιστήμες που σχετίζονται με το σχήμα της Γης. Μία από αυτές είναι η Ναυσιπλοία και χρησιμεύει για να γίνονται υπολογισμοί πορείας.

Είναι γνωστό από την αρχαιότητα ότι η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι δυνατόν να αναπτυχθεί στο επίπεδο. Δηλαδή, δεν μπορούμε να αναπτύξουμε τη σφαίρα στο επίπεδο όπως κάναμε με τον κύλινδρο και τον κώνο. Εάν προσπαθήσουμε να κάνουμε αυτό το ανάπτυγμα, θα τσαλακώσουμε ή θα σκίσουμε την επιφάνεια της σφαίρας. Αυτό συμβαίνει διότι η σφαίρα έχει καμπυλότητα που διαφέρει ποιοτικά από αυτήν του κυλίνδρου ή του κώνου. Λόγω αυτής της ιδιότητας οι χάρτες δεν μπορεί να είναι ακριβείς.

6. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Παρατηρούμε ότι στη γεωμετρία της σφαίρας, το άθροισμα των γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές, σε αντίθεση με την Ευκλείδεια Γεωμετρία όπου το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές. Η ιδιότητα αυτή είναι ισοδύναμη με την μη ύπαρξη παράλληλων «ευθειών», δηλαδή κάθε δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνονται. Η γεωμετρία αυτή λέγεται σφαιρική ή Ελλειπτική Γεωμετρία.

Υπάρχουν επίσης γεωμετρίες στις οποίες το άθροισμα των γωνιών των τριγώνων τους είναι μικρότερο από δύο ορθές, που είναι ισοδύναμο με την ύπαρξη πολλών παράλληλων ευθειών που άγονται από σημείο εκτός ευθείας. Οι γεωμετρίες αυτές λέγονται Υπερβολικές Γεωμετρίες.

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

§2.1 -2.10

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. i) 6 τμήματα, ii) 10 τμήματα.
2. i) 3 σημεία , ii) 3 τμήματα και 12 ημιευθείες.
3. ΑΓ=ΑΒ+ΒΓ=... 4. ΑΓ=ΑΜ+ΜΒ+ΒΝ+ΝΓ=...
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Υπολογίστε τα ΑΔ,ΒΓ ως συνάρτηση τσυ ΕΖ.
2. Υπολογίστε τα ΓΑ,ΓΒ ως συνάρτηση του ΓΜ.
3. α) Να διακρίνετε περιπτώσεις, β) προκύπτει από το (α).
Σύνθετα θέματα
1. Να εξετάσετε δύο περιπτώσεις. Αν το Α είναι μεταξύ των Β,Γ ή όχι. 2. 6 τροχονόμοι

§2.11 -2.16

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Αφαιρούμε την yÔz
2. 12 ορθής
3. Ορθή γωνία. Μετά από 6 ώρες.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. ΔÔΕ = ΔÔy + yÔE =…
2. Υπολογίστε τις ΓÔΑ,ΓÔΒ ως συνάρτηση της ΓÔΔ .
3. Όμοια με την προηγούμενη άσκηση.
Σύνθετα θέματα
1. Υπολογίστε τις ΑÔΔ,ΒÔΓ ως συνάρτηση της xÔy .
2. ΔÔΕ = ΒÔΔ-ΒÔΕ=…

§2.17 -2.18

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Άπειροι.
2. Απλή
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Είναι ΟΑ=ΟΔ και ΟΒ=ΟΓ. 2. Η ΟΓ είναι διχοτόμος της ΑÔΒ .

§2.19

Ασκήσεις εμπέδωσης

1. i) Είναι:

ii) Είναι:
εικόνα
3. 30° και 60°
4. 72°
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. 45°
2. 35° και 55°
3. ΑÔΒ =36° κτλ.
Γενικές Ασκήσεις
1. Αν Ο μέσο ΑΒ τότε ΕΖ=ΟΖ-ΟΕ κτλ.
2. Αν Ο μέσο ΒΖ αρκεί ΔΒ=ΖΕ.
3. ΑΕ = ΑΒ + ΒΔ2, ΒΔ = ΒΓ + ΓΔ
4. Αποδείξτε ότι ΑÔx = 180°
5. 45°

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

§3.1 -3.2

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Τα τρίγωνα ABE και ΑΔΓ είναι ίσα.
2. Τα τρίγωνα ΜΑΚ ,ΚΒΛ και ΛΓΜ είναι ίσα.
3. Συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α'Β'Μ' όπου Μ, Μ' τα μέσα των ΒΓ και Β'Γ' αντίστοιχα
4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΑΒΖ
Αποδεικτικές Ασκήσεις

2 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα MΔΒ και ΜΕΓ.
3. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ.

§3.3 -3.4

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Δ' καθώς και τα ABE και Α'Β'Ε'.
ii) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ABE και Α'Β'Ε'.

β) Χρησιμοποιήστε το α).
3. Να βρείτε τρεις πλευρές ίσες.

Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Εφαρμογή του κριτηρίου ΓΠΓ.
2. Εφαρμογή των κριτηρίων ΠΓΠ και ΠΠΠ.
3. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι ίσα.
Σύνθετα θέματα
1. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Δ'.
εικόνα
2. Χαρακτηριστική ιδιότητα μεσοκαθέτου. 3. α) Απλό, β) Αποδείξτε ότι ΕAΓ = ΑΒΔ.

§3.5 -3.6

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΕΒΓ, ΒΔ και ΓΕ τα ύψη.
2. α) Αν ΚΔ, ΛΗ ⊥ ΒΓ, να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΚ και ΕΓΑ.
β) Αν ΚΗ ⊥ ΑΓ και ΑΖ ⊥ ΑΒ, να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΗΑΚ και ΖΑΛ.
3. Να συγκρίνετε τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που προκύπτουν.
4. Αν ΑΔ ⊥ ΒΓ και Α'Δ' ⊥ Β'Γ' να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Δ'. Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Αν ΜΕ ⊥ ΑΒ και ΜΔ ⊥ ΑΓ, να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΜΕ και ΑΜΔ. 2. Το τρίγωνο με πλευρές υ_α, μ_α, είναι ίσο με το τρίγωνο που έχει πλευρές υα,μα. 3. Αν ΒΔ ⊥ ΑΓ, Β'Δ ⊥ Α'Γ', ΓΕ ⊥ ΑΒ και ΓΕ'⊥A'B' αποδείξτε ότι

4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΕΔΒ και στη συνέχεια τα ΑΒΓ και ΕΒΖ.
5. Σε ίσες χορδές αντιστοιχούν ίσα τόξα.
Σύνθετα θέματα
1. i) Είναι ΔΒ = ΔΓ και ΔΕ = ΔΖ ii) Είναι ΑΕ = ΑΖ και ΓΖ'= BE'.
2. Αν γ = γ' προεκτείνετε τις ΑΓ, Α'Γ' κατά τμήματα ΓΔ = α, Γ'Δ' = α' αντίστοιχα.

§3.7

Ασκήσεις Εμπέδωσης
1. Είναι ο κύκλος (Μ, ΜΑ) χωρίς τα σημεία τομής του με την ευθεία ΒΓ.
2. Είναι ο κύκλος (Ο, 2R).

§3.8 -3.9

Ασκήσεις εμπέδωσης
2. Εφαρμογή § 3.8.
3. Να λάβετε υπόψη την προηγούμενη άσκηση.
4. Εφαρμογή § 3.8.
5. Αποδείξτε ότι το συμμετρικό κάθε σημείου της γωνίας ως προς τη διχοτόμο είναι σημείο της γωνίας.
6. Ιδιότητες μεσοκαθέτου.

§3.10 - 3.11 - 3.12

Ασκήσεις Εμπέδωσης
1. Θεώρημα εξωτερικής γωνίας.
2. Είναι ΒAΓ = ΒΓΑ .
3. Διακρίνετε περιπτώσεις για τη θέση του ίχνους του ύψους στη ΒΓ.
4. Θεώρημα εξωτερικής γωνίας
5. ΑΜΒ > Γ κτλ.
6. Φέρουμε ΔΕ ⊥ ΒΓ.
7. Τα τρίγωνα ΟΒΜ και ΟΓΛ είναι ίσα.
8. Είναι ΒΔ = ΓΔ.
9. Εφαρμογή του: Β = Γ συνεπάγεται β= γ.
10. Εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας. Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Από την μ_α < α2 προκύπτουν
ΑΜ < ΒΜ και AM < ΜΓ.
2. Εφαρμογή § 3.12.
3. Προεκτείνουμε τη διάμεσο AM κατά ίσο τμήμα ΜΑ'.
4. Αν τα Σ, Ο, Μ δεν είναι συνευθειακά, εφαρμόζουμε την τριγωνική
εικόνα
7. Εφαρμογή § 3.12.
Σύνθετα θέματα
1.i) τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και ΔΟΑ.
ii) Όταν το O ταυτίζεται με το σημείο τομής των διαγωνίων.
2. Αποδείξτε ότι ΜΕΒ = ΜΒΕ .
3. Εφαρμόστε την τριγωνική ανισότητα. 4. Θεωρήστε τα συμμετρικά του Γ ως προς τις πλευρές της γωνίας.

§3.13

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Σύγκριση πλαγίων τμημάτων.
2. Σύγκριση πλαγίων τμημάτων.
3. Σύγκριση κάθετου και πλάγιου τμήματος.

§3.14 - 3.15

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Να συγκρίνετε τα αποστήματα των χορδών.
2. Ιδιότητες διακεντρικής ευθείας ενός σημείου.
3. Ισότητα εφαπτόμενων τμημάτων Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Βρείτε ισοσκελή τρίγωνα
2. Φέρτε τη ΜΟ και αποδείξτε ότι ΟMΒ = ΒMΓ .
3. Η ΟΡ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ.

§3.16

Ασκήσεις Εμπέδωσης
1. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων.
2. Εφάπτονται εσωτερικά.
3. Εφάπτονται εξωτερικά.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. i) Αποδείξτε ότι PO-2R < PO < PO + 2R
ii) Το Α είναι μέσο του ΟΓ.
2. i) απλό, ii) Ο₁Ο₂1Α + ΑΒ + ΒΟ₂ iii) ΑΒ 1 + Ο₁Ο₂ + Ο₂Β.
3. Η διακεντρική ευθεία διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων.

§3.17 - 3.18

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Διχοτομούμε μια ορθή γωνία.
2. Απλή.
3. Κατασκευή 3 § 3.18.
4. Αρχικά κατασκευάζουμε τη μεσοκάθετο του ΒΓ = α.
5. i), ii) Αρχικά κατασκευάζουμε μια ορθή γωνία xAy .
Γενικές Ασκήσεις
1. Στη Γ'Β' παίρνουμε σημείο Β" τέτοιο ώστε Γ'Β" = ΓΒ.
2. Ισότητα τριγώνων.
3. Πάνω στον κύκλο παίρνουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΓΕ = ΑΒ.

5. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και παίρνουμε το μέσο Ε της ΑΓ.
6. Φέρουμε τη διχοτόμο ΒΔ και παίρνουμε το μέσο Μ της ΒΓ.
7. Προεκτείνουμε τις διαμέσους AM και Α'Μ' κατά ίσα τμήματα.
8. Ιδιότητα μεσοκαθέτου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

§4.1 - 4.5

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Αποδείξτε ότι Δ = Ε .
2. Αποδείξτε ότι Ο₁ = A₁
3. Αποδείξτε ότι A₁ = B₁
4. Βρείτε δύο κατάλληλες γωνίες ίσες.
5. Όμοια με την προηγούμενη άσκηση.
6. Είναι ΟΜ ⊥ ΑΒ,....
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. ΑΜ ⊥ ΒΓ οπότε ΑΜ//Γx.
2. Αποδείξτε ότι ΑΒ=ΑΕ.
3. Αποδείξτε ότι ΑΔ=ΑΒ.
4. ΔΕ=ΔΙ+ΙΕ =...
5. ΒΓ=ΒΔ+ΔΕ+ΔΓ = ....
Σύνθετα Θέματα
1. Αποδείξτε ότι ΕΖ//ΒΓ και ΜΚ//ΒΓ.
2. Φέρουμε ΓZ//Ax//By.
3. ΔΕ=Ι_αΕ-Ι_αΔ
4. α) απλό
β)ΒΕ+ΓΖ=ΒΑ+ΑΓ=σταθερό
γ) Προεκτείνουμε την ΕΜ κατά ίσο τμήμα.

§4.6 - 4.8

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. α) Β = 60°, Γ = 30°
β) Β = 36°, Γ = 54°
2. A = 36° οπότε ΒΙΓ = 108°
3. Β = Γ = 36°
4. Οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές.
5. Δ = 36°
6. ω =45°, φ = 55°
7. ν = 7
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. B_εξ =A + Γ οπότε…. Β = Γ
2. Παρατηρήστε ότι είναι εξωτερικές γωνίες τριγώνου

3. ΔAΕ + ΑΕΔ = 90°, ΑΕΔ εξωτερική στο τριγ. ΑΕΓ
4. ΑΕΒ + A2 + Β2 = 180° κτλ.
5. Υπολογίστε την A από τριγ. ΑΒΓ και την ΕΔΓ από τριγ. ΔΕΓ.
6. Αποδείξτε ότι Ζ = E .
7. Αποδείξτε ότι Ζ = Η .
Σύνθετα θέματα
1. Αν η ΔΕ τέμνει την Β Γ στο Κ αποδείξτε ότι το τριγ. ΒΔΚ είναι ορθογώνιο.
2. Παρατηρήστε ότι το τριγ. ABE είναι ισοσκελές.
3. Αρκεί ΔAΒ + A + ΓAΕ = 180°.
4. α) Αποδείξτε ότι ΔΒΓ =Ε β) Προκύπτει από τα τρίγ. ΒΔΓ και ΔΓΕ.
5. i) απλό ii) ΖAΗ = ΖAΔ + ΓAΗ , κτλ.
6. Αν η διχοτόμος της Β τέμνει την ΔΓ στο Ε, από τριγ. ΔΖΕ...
7. Αποδείξτε ότι α//β.
Γενικές Ασκήσεις
1. Υπολογίστε τις ΒΔΓ και ΓΕΑ ως συνάρτηση των A, Β, Γ . Είναι Β + Γ = 120° (A = 60°)
2. Παίρνουμε το μέσο Ζ του ΕΓ.
3. Φέρουμε ΔΗ ⊥ ΑΒ και ΔΚ ⊥ ΑΓ
4. Είναι Β + Δ = 180° (αφού A = Γ = 90° )
5. i) Είναι Β > Γ (ΑΒ AΕ = ΕAΓ = A2 οπότε από i) και ii) ...

6. Έχουμε τρία ισοσκελή τρίγωνα.
7. Παρατηρήστε τα ίσα εφαπτόμενα τμήματα που σχηματίζονται.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

§5.1 - 5.2

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Τρίγ. ΑΔΕ ισοσκελές
2. Οι διαγώνιοι διχοτομούνται
3. i) Α Η/7-ΓΖ ii) Τα παραλληλόγραμμα έχουν μια κοινή διαγώνιο
4. Τρίγ. ΑΕΔ ισοκελές

Αποδεικτικές ασκήσεις
1. ΜΕ=ΑΔ και τριγ. ΜΔΒ ισοσκελές
2. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ABE και ΔΖΓ
3. Φέρουμε την ΑΓ
4.Τα ΑΖΒΓ και ΑΒΓΗ είναι παραλληλόγραμμα.
5. Γράφουμε κύκλο (Ο,λ), όπου Ο τυχαίο σημείο της μιας ευθείας.
Σύνθετα θέματα
1.i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΕΚ και ΓΗΖ
ii) Τα παραλληλόγραμμα, ανά δύο έχουν μια κοινή διαγώνιο
2. Αποδείξτε ότι ΓΖ,ΓΕ διχοτόμοι
3. Αρκεί Γ + ΒΓΕ + ΔΓΖ = 180°
4. Φέρουμε από το Δ παράλληλη στην ΑΒ
5. Αν ΓΔ η θέση της γέφυρας φέρουμε ΒΕ//=ΓΔ.

§ 5.3 - 5.5

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. ΑΕ//=ΓΖ
2. ΖΕ = ΒΔ2 = ΑΓ
3. Να λάβετε υπόψη σας την εφαρμογή της § 4.4
4. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΔΓΖ
5. Να βρείτε τις ιδιότητες των διαγωνίων του
6. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΚΝ, ΒΚ.Λ, ΜΓΔ και MAN
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο και η ΒΔ διχοτόμος
2. i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΔΕ
ii) Με άθροισμα γωνιών σε κατάλληλο τρίγωνο
3. Φέρουμε την ΕΖ
4. Αν ΚΑ ⊥ ΕΖ, φέρουμε ΕΗ ⊥ ΔΓ και ΚΜ ⊥ ΒΓ
Σύνθετα θέματα
1. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΜΕΔ και ΜΖΓ
2. Αρκεί γων. ΒΖΓ = γων.ΖΒΓ.
3.i) Το άθροισμα ισούται με το ύψος ΒΗ (σταθερό),
ii) Από το τυχαίο σημείο Μ φέρουμε παράλληλη στη ΒΓ και εφαρμόζουμε το (i)

§ 5.6 - 5.9

Ασκήσεις εμπέδωσης
1.Τα Δ,Ε είναι μέσα των ΑΒ,ΑΓ
2. Τα Δ,Η και Ζ,Ε είναι μέσα πλευρών
3. Οι ΕΜ,ΔΜ είναι διάμεσα ορθογωνίων τριγώνων
4. Τα Ε,Ζ είναι μέσα πλευρών και
5. Να λάβετε υπόψη σας την ιδιότητα του βαρύκεντρου
6. Το Ε είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΓΔ
7. Το ΑΓΕΖ είναι παραλληλόγραμμο και ΑΓ = ΒΓ2 .
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. ί) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΕΖ
ii) Η ΔΜ διάμεσος και τα Ε,Ζ μέσα πλευρών
2. Φέρουμε την ΔΒ
3. Είναι ΜAΔ + ΔΜΑ = 90° και Β + Γ = 90°
4. Να αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο
5. Φέρουμε την ΑΓ. Τα Κ,Η είναι βαρύκεντρα τριγώνων
6. Παίρνουμε το μέσο Ζ του ΑΓ
7. i) Να αποδείξετε ότι το ΒΕΓΔ είναι παραλληλόγραμμο
ii) Το Η είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΔΓ
8. Είναι ΜΔ = ΑΔ και ΜΔ = ΔΒ2
9. Αν Μ το σημείο τομής των ΕΗ και ΚΖ, αρκεί Μ = 90° .
10. Ο δρόμος συνδέει τα μέσα των αποστάσεων .
Σύνθετα θέματα
1. Είναι EZ\\ ΑΒ και ΔΕ=ΕΓ
2. Φέρουμε τη διάμεσο AM, οπότε ΑΜΓ = 30°
3. Είναι ΖΗ // = ΚΓ2 και Κ το βαρύκεντρο.
4. Παρατηρήστε ότι Β = 2Ε = 2Γ
5. Προεκτείνουμε την BE που τέμνει την ΑΓ στο Ζ
6. Είναι ΒΜ\\ΕΓ και Η ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΜ

7. i) Απλό
ii) Αν Ο το μέσο του ΑΒ, αρκεί ΟΚ//ΒΓ.
8. i) Απλό ii) Με άθροισμα γωνιών σε κατάλληλο τρίγωνο, iii) Αν Κ το σημείο τομής των AM και ΔΖ αρκεί ΒΚ//ΕΖ.

§5.10 - 5.11

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Η ΕΖ διάμεσος τραπεζίου και Η,Θ μέσα πλευρών τριγώνου.
2. ΔΕ//ΒΓ και Β = Γ
3. ΕΗ=ΘΖ και Ε,Ζ,Η,Θ μέσα πλευρών τριγώνου.
4. KE = AΔ2 και ΚΛ // ΔΓ
5. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΖΓ.
6. Η ΜΔ είναι διάμεσος του τραπεζίου ΒΒ'Γ'Γ.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Αρκεί ΗΖ=ΒΖ
2. Το Ζ είναι σημείο της μεσοκαθέτου και το ΖΗΒΓ ισοσκελές τραπέζιο.
3. Φέρουμε ΒΕ ⊥ ΔΓ, οπότε ΕΒΓ = 30°
4. Παίρνουμε το μέσο Ε της ΑΔ. πλευρών τριγώνου.
5. Αρκεί ΜΕ = ΒΓ2
6. Είναι ΔΗ = AB2 και Δ, Ε, Ζ μέσα πλευρών τριγώνου.
7. Να λάβετε υπόψη σας το πόρισμα.
8. Όμοια με την προηγούμενη άσκηση. Για να είναι ορθογώνιο πρέπει ΑΓ=ΒΔ.
9. Η ΖΗ είναι διάμεσος του τραπεζίου ΕΒΓΔ.
10. Βρείτε κατάλληλα τραπέζια με διάμεσο την ΚΚ'.
Σύνθετα θέματα
1. Αν η διχοτόμος της A τέμνει την ΒΓ στο Ε αρκεί ΔΕ διχοτόμος της Δ .
2. Φέρουμε ΜΕ ⊥ ΑΔ
3. Αν Κ το κέντρο του ΑΒΓΔ φέρουμε ΚΚ' ⊥ ε
4. Η ΖΗ είναι διάμεσος του τραπεζίου ΔΕΓΑ, οπότε .... Β = 30°
5. i) Αποδείξτε ότι το ΑΒΜΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο ii) Η προέκταση της ΑΕ τέμνει την ΔΓ στο Ζ

Γενικές ασκήσεις
1.Αν ΑΒ<ΑΓ είναι
ΑΔ = AB2 < AΓ 2και
ΑΕ = AΓ 2 > AB2 .
2. Παίρνουμε το μέσο Μ του ΔΕ.
3. α) Τα τρίγωνα ΑΒ'Β και ΑΕ'Ε είναι ισοσκελή β) Αποδείξτε ότι Β'Ε'=ΓΕ'.
4. α) απλό β) Αρκεί ΗΕΖ = ΖΕΓ
γ) ΗΕ = AB2 = ΖΓ
δ) από το (γ) προκύπτει ότι Γ = 2ΖΕΓ
5. Παίρνουμε το μέσο Δ του ΒΚ και φέρνουμε Δ'Δ ⊥ ε
6. α) απλό β) Το Η είναι ορθόκεντρο του τριγ. ΑΔΖ
7. Παρατηρήστε ότι ΜΛ // = ΒΗ2 και ΜΚ // = ΕΓ2
8) α) Το Μ είναι το μέσο του ΟΓ και το Ζ βαρύκεντρο του τριγ. ΒΟΓ β) Να λάβετε υπόψη σας το (α)
9) i) Φέρουμε ΟΚ διάμεσο στο τριγ. ΟΑΒ. Αρκεί να τέμνει την ΔΓ στο μέσο Λ
10) Φέρουμε από τα Δ και Ε κάθετες στις ΑΒ,ΒΓ και ΑΓ,ΒΓ αντίστοιχα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

§6.1 - 6.4

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Για το 1ο σχήμα είναι x=40° και y = 2x = 80°. Για το 2ο σχήμα είναι x=50° και y = 180° - x - 35° = 105°.
2. Είναι = 120° (Εφαρμογή §6.3).
3. Είναι x = 40° (γωνία χορδής και οπότε y = 140°. Για το 2ο σχήμα, είναι y-x=l20°. Από Γ = ΓΒΔ προκύπτει x+y=260° οπότε x=70ο και y=190°.
4. Είναι = 95° και = 45°.
5. Είναι ΒΟΓ = ΖΑ = 140° και ΟΒΓ = ΟΓΒ = 20°.
Επίσης ΜΒΓ = ΜΓΒ = 12 70° = 35° οπότε ΒΜΓ = 110° .

6. Είναι y εξωτερική γωνία τριγώνου. Σωστή η α).
7. Βλέπε «τόξο που δέχεται γνωστή γωνία».
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Έστω Μ το μέσο του . Για το ευθύ αποδείξτε ότι η εφαπτομένη στο Μ και η ΑΒ τεμνόμενες από την MB, σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Για το αντίστροφο αποδείξτε ότι ΜAΒ = ΜBΑ .
2. Αποδείξτε ότι ΑBΓ + ΑBΑ = 1∟.
3. Αν η MP τέμνει την ΑΔ στο Ν, δείξτε ότι: ΝΡΔ + ΡΔΑ = 1 ∟.
4. Είναι η τομή δύο κατάλληλων τόξων.
Σύνθετα Θέματα
1. Φέρτε την κοινή εσωτερική (ή εξωτερική) εφαπτομένη και δείξτε ότι Β = Γ.
2. Έστω Ζ,Η τα δεύτερα κοινά σημεία των ΑΒ,ΑΓ με το μικρότερο κύκλο. Αρκεί Δ μέσο .
3. Αποδείξτε ότι ΑΔΡ = ΔΑΡ

§ 6.5 - 6.6

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Ιδιότητες εγγεγραμμένων τετραπλεύρων. Β = 120°, Γ = 60° και Δ =80°
2. Αρκεί A = 90° .
3. Αποδείξτε μια γωνία ορθή.
4. Εφαρμογή 1 § 6.6.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Φέρτε την κοινή χορδή Α Β και αποδείξτε ότι: Γ = Δ_εξ
2. Αποδείξτε ότι οι ευθείες ε, ΔΕ τεμνόμενες από την ΑΓ σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
3. Αν τα ύψη ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ τέμνονται στο Η, παρατηρήστε ότι τα τετράπλευρα ΒΖΗΔ, ΔΗΕΓ και ΒΖΕΓ είναι εγγράψιμα.
4. Αποδείξτε ότι Κ + Μ = 180°. Γι' αυτό λάβετε υπόψη ότι τα τρίγωνα ΚΑΔ και ΜΒΓ είναι ισοσκελή. (ΚΛΜΝ είναι το τετράπλευρο που σχηματίζεται).

Σύνθετα θέματα
1. Αποδείξτε ότι ΕAΟ + ΑΕΔ = 90° ή φέρτε την εφαπτόμενη στο Α.
2. Αρκεί ΕΔΟ = ΟΕΔ . Παρατηρήστε ότι ΟΒΔΜ και ΟΜΓΕ είναι εγγράψιμα.
3. Αν Δ,Ε,Ζ είναι οι προβολές ενός σημείου Μ του περιγ/νου κύκλου στις ΒΓ,ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα, αποδείξτε ότι: ΖΕΜ + ΜΕΔ = 180°. (παρατηρήστε ότι τα ΜΖΑΕ, ΜΕΔΓ είναι εγγράψιμα).
4. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΔΕ είναι ίσα.

§6.7

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. i) Μεσοπαράλληλη ii) Κύκλος με κέντρο το κέντρο της γης
2. i) Ο κύκλος (Ο,R-ρ) ii) Ο κύκλος (Α,ρ).
3. Η θέση του θησαυρού είναι κοινό σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ και του κύκλου (Δ,4m).
4. Αν (O.R) είναι ο δοσμένος κύκλος ο γ.τ είναι ο κύκλος (Ο,R/2).
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Αν Ο το μέσο του ΒΓ είναι ΑΟ = ΒΓ2 = σταθ. οπότε ο γ.τ. του Α είναι ο κύκλος

2. Αν Μ η προβολή του Α πάνω σε ευθεία ε, που διέρχεται από το Β, τότε ΑΜΒ = 1∟.
3. Είναι ΟΜ=ΜΑ.
4. i) Είναι: ΒΓ = 2ΑΜ = 2μ, ii) Το τρίγωνο ΑΔΜ κατασκευάζεται.
Σύνθετα θέματα
1. Το Μ είναι και μέσο του ΑΡ.
2. i) Το Α είναι τομή δύο γ.τ. ii) Από το Α φέρουμε ΑΚ//ΒΝ οπότε Β μέσο ΚΓ.
3. Το ΑΒΔ κατασκευάζεται, οπότε το Γ είναι στη τομή δύο γ.τ.
Γενικές ασκήσεις
1. i) Αρκεί ΔAΕ = 180° , ii) Αποδείξτε ότι δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, iii) Είναι ΔΜΕ = 90° .

2. Ο Κύκλος , όπου δ = ΑΓ - ΑΒ και Κ το μέσο της ΒΓ.
3. Προεκτείνουμε εκατέρωθεν τη ΒΓ.
4. Το Β ανήκει σε κύκλο ακτίνας R2 .
5. Αρκεί Ε + Η = 180° .
6.Βρείτε κατάλληλα εγγράψιμα τετράπλευρα
7. Μια εξωτερική γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική.
8. i) Η₁Μ₁Μ₂Μ₃ ισοσκελές τραπέζιο. Αποδείξτε ότι δύο απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές. Προκύπτει με συνδυασμό των i) και ii).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

§7.1 - 7.6

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. A =80°, Β = 60°, Γ = 40° 2. ω = 45° 3. α=30 cm, β=20 cm, γ=15cm
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. A=100°, Β= 60°, Γ = 20°
2. Να λάβετε υπόψη σας τις ιδιότητες των αναλογιών
3.

§7.7

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Θεώρημα Θαλή
2. i) Θεώρημα Θαλή (ΖΓ\\ΑΔ), ii) Θεώρημα Θαλή (ΑΔ\\ΒΖ και ΑΒ\\ΔΗ)
3. Θεώρημα Θαλή (ΑΒ\\ΓΔ και ΒΕ\\ΑΓ)
4. Θεώρημα Θαλή και ΒΜ=ΜΓ
εικόνα

8. Αρκεί ΖΔΖΕ = ΗΔΗΕ
9. h = 8m.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Να εξετάσετε 2 περιπτώσεις. Το Γ μεταξύ Ο και Β ή Ο και Α
2. Αρκεί x3μ = y2μ = ω4μ , όπου μ αυθαίρετο τμήμα
3. Αρκεί AΖΖΒ = AΗΗΓ
4. Θεώρημα Θαλή (ΔΖ\\ΒΓ) και ιδιότητες αναλογιών
5. Θεώρημα Θαλή (ΔΕ\\ΒΓ)
6. i) Αρκεί ΑΚ=2ΜΚ
ii) MEEΓ = ΜΚΑΚ
7. Αρκεί ΔΕΔΓ = ΖΓΔΓ
Σύνθετα θέματα
1. Φέρουμε ΔΖ\\ΒΓ
2. Φέρουμε ΑΕ\\ΒΓ
3. Θεώρημα Θαλή (BE\\OA και BZ\\OA)
4. Φέρουμε ΔΗ\\ΒΖ. Από θεώρημα Θαλή προκύπτει ότι AΖΖΓ = κ.λλ+1

5. Να αποδείξετε ότι ΚΓΚΒ = ΜΓΜΔ

§7.8 - 7.9

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Θεώρημα διχοτόμου στα τρίγ. ΑΒΜ και ΑΜΓ
2. ΔΕ=ΔΒ+ΕΒ=….
3. Παρατηρήστε ότι ΜΕ εξωτερική διχοτόμος του τριγ. ΑΜΓ
4. Αρκεί AΔΔΒ = AΕΕΓ
5. Θεώρημα διχοτόμου για τις ΑΔ,ΒΕ και ΓΖ
6. Αποδείξτε ότι BE διχοτόμος της ΒΔΓ.
7. Παρατηρήστε ότι ΟΓ,ΟΔ διχοτόμοι
8. Είναι ΔΒ Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Παρατηρείστε ότι OA εξωτερική διχοτόμος του τριγ. ΟΒΔ
2. Θεώρημα Θαλή (ΑΔ\\ΕΜ) και ΑΔ διχοτόμος

3. i) Η BI διχοτόμος στο τριγ. ΑΒΔ και ΒΔ = ΒΔ = αγβ+γ , ii) Αρκεί ΑΙΙΔ = AΚΚΜ
iii) Προκύπτει από το (ii)
4. Θεώρημα διχοτόμου και τριγωνική ανισότητα
5. i) Θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο ΟΔΓ και Θαλή ii) όμοια Σύνθετα θέματα
1. Αποδείξτε ότι ΑΚ, ΑΛ διχοτόμοι στο τρίγ. ΕΑΖ
2. Θεώρημα διχοτόμου. Για το αντίστροφο αν η διχοτόμος της A τέμνει την ΒΔ στο Ε αρκεί ΓΕ διχοτόμος της Γ.
3. Φέρουμε τη διχοτόμο ΜΔ του τριγ. ΑΜΒ, που τέμνει τον κύκλο στο Ε
4. Αν η ΔΖ τέμνει τη ΒΓ στο Κ αρκεί ΗΚΗΔ = ΚΓΔΓ
5. Η άγνωστη κορυφή ανήκει σε ευθεία και κύκλο
Γενικές ασκήσεις
1. Να λάβετε υπόψη σας ότι ΚΔ\\ΑΒ\\ΛΕ
2. Φέρουμε Αx\\ΒΓ. Να λάβετε υπόψη σας την ιδιότητα του βαρυκέντρου
3. i) Φέρουμε ΓΉ\\ΑΒ ii) Εφαρμόζουμε το (i) για το τρίγ. ΑΒΔ και την ευθεία ΖΓ
4. Θεώρημα Θαλή (ΑΔ\\ΒΖ) και διχοτόμου (ΑΖ διχοτόμος)
5. Αποδείξτε ότι οι ΕΜ και ΖΜ είναι διχοτόμοι
6. i) Να εκφράσετε τα τμήματα ως συνάρτηση των ΟΑ,ΟΓ,ΟΔ ii) Όμοια με το (i)
7. Αν η ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο Ζ, το Ζ προσδιορίζεται
8. Αν η παράλληλη από το Α προς την Οx τέμνει την Oy στο Δ, το Δ προσδιορίζεται (και στις τρεις περιπτώσεις).
9. Φέρουμε τα αποστήματα των χορδών
10. Να λάβετε υπόψη σας, ότι το άθροισμα δυο αντίστροφων θετικών αριθμών είναι μεγαλύτερο ή ίσο του δύο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Παρατηρήστε ότι ΑΒΓ ≈ ΔΕΓ.
2. Παρατηρήστε ότι ΑΒΓ ≈ ΑΔΕ.
3. Το τρίγωνο που προκύπτει είναι όμοιο με το αρχικό (πλευρές ανάλογες).
4. Παρατηρήστε ότι σχηματίζονται δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα.
5. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΑΔΓ και ΑΒΔ ≈ ΑΒΓ.
6. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΑΕΓ.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Παρατηρήστε ότι σχηματίζονται δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα.
2. Αποδείξτε ότι έχουν ίσες γωνίες και ανάλογες πλευρές.
3. Παρατηρήστε ότι ΑΒΑ₁ ≈ ΑΒΑ₂.
4. Παρατηρήστε ότι ΗΑΕ ≈ ΗΒΔ και ΗΒΖ ≈ ΗΕΓ.
5. Παρατηρήστε ότι ΜΔΖ ≈ ΜΔ'Ζ'.
6. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΔΑΓ.
Σύνθετα θέματα
1. Φέρτε παράλληλες ώστε να δημιουργηθούν δύο παραλληλόγραμμα και δύο τρίγωνα.
2. Παρατηρήστε ότι σχηματίζεται εγγράψιμο τετράπλευρο.
3. Εφαρμόστε θεώρημα διχοτόμων και παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΑΔΓ.
4. Αποδείξτε ότι ΑΔΒ ≈ ΑΔΓ.
5. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΑΕΓ και ABE ≈ ΒΔΕ.
Γενικές Ασκήσεις
1. Παρατηρήστε ότι ΑΒΤ ≈ ΑΓΤ.
2. Παρατηρήστε ότι ΑΒΔ ≈ ΑΒΕ, ΑΔΓ ≈ ΑΕΓ.
3. Παρατηρήστε ότι ΒΔΕ ≈ ΓΔΖ, ΑΒΕ ≈ ΑΓΖ.
4. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα Θαλή στις παραλληλίες που προκύπτουν από τα κάθετα τμήματα.
5. (i) Χρησιμοποιήστε την Εφαρμογή 4. (ii) Θεωρήστε το αντιδιαμετρικό σημείο του Μ (iii) Χρησιμοποιήστε τα (i), (ii).
6. Θεωρήστε σημείο Ε της ΑΓ, ώστε: ΕΔΓ = ΑΔΒ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

§9.1 - 9.2

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
2. Παρατηρήστε ότι Γ = 30°
3. Να συγκρίνετε τα ΑΔ και ΓΔ.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
2. Παρατηρήστε ότι ΑΓΒ=ΑΔΒ=1 ∟. ΑΓΒ = ΑΔΒ = 1∟
3. Σχηματίστε τη ΒΔ και εργασθείτε στα τρίγωνα ΕΒΔ και ΕΓΔ.
4. (i) Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο στα ΑΒΔ και Α'Β'Δ'.
5. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και παρατηρήστε ότι β = γ.
Σύνθετα θέματα
1. Εργαστείτε στα τρίγωνα ΔΑΒ και ΔΑΓ. 2. i) Θεωρήστε ΛΔ ⊥ ΚΒ ii) Χρησιμοποιήστε το i)
3. Αποδείξτε ότι το ΑΒΚΔ είναι ορθογώνιο, (ii) Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο.
4. Χρησιμοποιήστε ότι μ_α = α2
5. Θεωρήστε τις προβολές των Γ και Δ στην ΑΒ.
6. Παρατηρήστε ότι ΔΑΒ ≈ ΑΒΓ και ΔΑΓ ≈ ΑΒΓ.

§9.4

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Εξετάστε ποια είναι η μεγαλύτερη γωνία.
2. Χρησιμοποιήστε την Εφαρμογή 1.
3. Εφαρμόστε το θεώρημα οξείας γωνίας ή το νόμο των συνημίτονων.
4. Παρατηρείστε ότι A = 60°.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Εφαρμόστε γενικευμένο Πυθαγόρειο ως προς τη Β. (Παρατηρήστε ότι Β > 90° ).
2. Εργασθείτε στα τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΔΓ για τις Γ, Δ .
3. Εφαρμόστε το θεώρημα οξείας γωνίας για τις Β, Γ .
4. Εφαρμογή του γενικευμένου Πυθαγορείου.

5. Φέρτε κάθετες από τα Δ και Ε στη ΒΓ.
6. Χρησιμοποιήστε την τριγωνική ανισότητα και υψώστε στο τετράγωνο.
Σύνθετα θέματα
1. Χρησιμοποιήστε ότι A = 30°.
2. Εργασθείτε στα τρίγωνα ΑΜΓ και ΒΜΔ.
3. Χρησιμοποιήστε Πυθαγόρειο.

§9.5

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Χρησιμοποιήστε 1ο και 2ο θεώρημα Διαμέσων.
2. Χρησιμοποιήστε το 1° θεώρημα Διαμέσων
3. Χρησιμοποιήστε το 1° θεώρημα Διαμέσων
4. Χρησιμοποιήστε τους τύπους των Διαμέσων.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Χρησιμοποιήστε γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα και το 1ο θεώρημα Διαμέσων.
2. Χρησιμοποιήστε το 2° θεώρημα Διαμέσων.
3. (i) Χρησιμοποιήστε την τομή των διαγωνίων ΑΓ,ΒΔ (ii) Χρησιμοποιήστε το (i).
4. Χρησιμοποιήστε διαδοχικά το 1ο θεώρημα Διαμέσων.
5. Φέρτε τη διάμεσο AM.
6. Χρησιμοποιήστε το 1ο θεώρημα Διαμέσων.
Σύνθετα θέματα
1. Φέρτε κατάλληλες παράλληλες από το μέσο μιας πλευράς.
2. Εργασθείτε με το μέσο του ΜΝ.
3. Εφαρμόστε το 1° θεώρημα Διαμέσων στα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΓΔ.
4. Εφαρμόστε το 1° θεώρημα Διαμέσων στα τρίγωνα ΜΑΓ και ΜΒΔ.
5. Εφαρμόστε το 1o θεώρημα Διαμέσων στα τρίγωνα ΡΑΓ και ΓΑΔ.

§9.7

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Υπολογίστε το γινόμενο ΑΒ ∙ ΑΓ.

2. Παρατηρήστε ότι
ΜΕ = ΒΔ2 , ΝΕ = ΔΓ2
3. Εφαρμόστε το θεώρημα Τεμνουσών.
4. Εφαρμόστε το θεώρημα Τεμνουσών.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. i) Πυθαγόρειο Θεώρημα ii) Θεώρημα Τεμνουσών.
2. Θεώρημα διχοτόμου και τέμνουσας - εφαπτομένης.
3. i) Θεώρημα Τεμνουσών, ii) Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα Διαμέσων.
4. Παρατηρήστε ότι το ΓΝΗΜ είναι εγγράψιμο. όπου Η το σημείο τομής των ΑΒ και ΟΜ.
5. Παρατηρήστε ότι ΒΔΜΗ εγγράψιμο.
Σύνθετα Θέματα
1. Παρατηρήστε ότι ΔΕΓ ≈ ΑΕΓ.
2. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα Διαμέσων και υπολογίστε τη μ_α.
3. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα Δια-μέσων.
4. Εφαρμόστε το θεώρημα Τεμνουσών για τις ΒΕΑ και ΓΖΑ.
Γενικές ασκήσεις
1. (i) Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο (ii) Με απαγωγή σε άτοπο.
2. Εφαρμόστε το θεώρημα Τεμνουσών και όμοια τρίγωνα.
3. Υπολογίστε όλους τους όρους ως συνάρτηση των πλευρών του τριγώνου.
4. Θεωρήστε το ύψος και εφαρμόστε τα θεώρημα οξείας και αμβλείας γωνίας.
5. i) ΘΜ=α/2, όπου Θ βαρύκεντρο, ii) αν ΒΚ ύψος το ΔΗΚΓ είναι εγγράψιμο
6. Εφαρμόστε το γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα και το θεώρημα Διαμέσων.
7. Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα Διαμέσων (ΑΒ² + ΑΓ² = 4R² = σταθερό).
8. Αποδείξτε ότι ισχύει το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΕΔΗ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10

§10.1 - 10.3

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. (ABΓΔ) = 16 τ.μ., (ΔΑΖ) = 4 .
Άν ZI ⊥ AB τότε ΖΙ=2 οπότε (ΑΒΖ)=4τ.μ.=(ΔΓΖ) και (ΒΓΖ) = 8 - 4.

2. Εφαρμόστε τον τύπο Ε = 12 α∙υ_α
3.α) υ_β = 3

μ.μ.
β) (ΑΒΓ) = 12

τ.μ.
γ) Βρίσκουμε πρώτα το ΒΓ.
4. Άν α,β οι διαστάσεις του ορθογωνίου, έχουμε: α+β=7 και α²+β²=25 και προκύπτει Ε=12τ.μ.
5. α) (ΑΒΓΔ)=50τ.μ. β) (ΑΕΖΒ)=(ΕΖΓΔ)=25τ.μ.
6. Φέρουμε ΔΗ ⊥ ΒΓ και βρίσκουμε ότι ΔΓ=13, οπότε το εμβαδόν της λωρίδας είναι 3 ∙ 13=39τ.μ.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Φέρουμε ΑΗ, ΔΖ ⊥ ΒΓ και εφαρμόζουμε τον τύπο Ε = 12 α∙υ_α.
2. i) Εφαρμογή 3 §10.3
ii) Είναι (ΑΒΔ) = 12 (ΑΒΓ) = (ΒΕΓ) και (ΑΔΓ) = (ΒΕΓ).
3. i) Εφαρμόστε την εφ. 3 §10.3 στα τρίγωνα

ii) Χρησιμοποιήστε το i). Για το υπόλοιπο χρησιμοποιήστε πάλι το i) για Σ=Θ.
4. Φέρουμε από το Μ παράλληλο προς τη ΔΓ.
5. Επίσης από το Μ φέρουμε παράλληλο προς τη ΔΓ
6. i) Φέρουμε EH⊥AΘ και εφαρμόζουμε θεώρημα οξείας γωνίας στο τρίγωνο ΑΕΘ και βρίσκουμε ΕΘ =

.
ii) Διαπιστώνουμε ότι ΕΘ²+ΑΕ²=ΑΘ²
7. Φέρουμε ΒΜ, ΔΛ ⊥ ΑΓ και είναι (ΑΒΓΔ) = (ΑΒΓ)+(ΑΓΔ)
8. 58m και 76m.
Σύνθετα θέματα

ii) (ΙΘΔ)=2(ΑΔΓ)
iii) Χρησιμοποιήστε το ii).
2. Διαδοχική εφαρμογή της εφαρ. 3 της § 10.3.
3. i) Αποδείξτε ότι ΒAΚ + AΒK = 90°

εικόνα
4. i) Από το Ο φέρουμε κάθετες στις ΑΒ, ΓΔ και εφαρμόζουμε τον τύπο = 12 α∙υ_α
i) είναι (ΑΒΓ)-(ΟΑΒ)=(ΟΓΔ).
5. Αν δ₁, δ₂ τα μήκη των διαγωνίων, είναι: α²= 14 (δ₁² + δ₂²) και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε την x² + y² ≥2xy, x,y ∈ R

§10.4

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Να βρείτε το εμβαδόν του (ΑΒΓ) με τον τύπο του Ήρωνα.
2. Φέρουμε ΔΖ||ΑΒ και με τον τύπο του Ήρωνα βρίσκουμε (ΔΖΓ)=84τ.μ. και αν ΔΗ ± ΒΓ είναι ΔΗ=12 οπότε (ΑΒΓΔ) = 216 τ.μ.
3. (ΑΒΓ) = 7
4. i) E = 24 ii) υ_α = 245
iii) Ε=τρ, οπότε ρ=2
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Χρησιμοποιούμε τους τύπους

2. i) Από τη δοθείσα με τύπο Ήρωνα καταλήγουμε στην α² < β² + γ² ii) και iii) όπως το i).
3. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και.Α'Β'Γ' έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο. 4. Με A Όμοια για A > 90°.
5. Χρησιμοποιούμε τους τύπους Ε=τ•ρ και 12 α∙υ_α.

Σύνθετα Θέματα

ii) Οι ευθείες ΒΚΒ' και ΓΚΓ' είναι τέμνουσες των πλευρών της A οπότε από το i) ...
2. (ΑΒΓ)=(ΑΒΙ_α)+(ΑΓΙ_α)-(ΒΓΙ_α)

εικόνα

§10.5

1. Εφαρμογή του τύπου ΕΕ' = υ_αυ_α' οπότε (Α'Β'Γ')=20 τ.μ.
2. (ΒΜΓ)=5τ.μ.
3. Θεώρημα III της § 10.5. Είναι (ΑΔΖ)= 10τ.μ.
4. Θεώρημα I της § 10.5 και είναι (ΒΕΖΓ)=48τ.μ.
5. Εφαρμογή του θεωρήματος III § 10.5.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
εικόνα
2. Θεώρημα III της §10.5.
3. Αποδείξτε πρώτα ότι ΑÔΓ + ΔÔΒ = 2 ∟
4. Γράψτε την αποδεικτέα σε μορφή αναλογίας.
5. Είναι ΜAΖ + ΒAΔ = 2 ∟ άρα θεώρημα III § 10.5.
6. Θεώρημα I § 10.5.
Σύνθετα Θέματα
1. ΑÔΒ + ΑÔΔ = 2 ∟ οπότε θεώρημα. III §10.5 i) Είναι (ΑΒΓ)=(ΒΔΓ) ii) Απλό iii) Ε= 2Ε₁ + Ε₂ + Ε₄,
εικόνα
3. i) (ΔEZ) = (ΑΒΓ) - (ΑΖΕ) - (ΒΖΔ) - (ΔΓΕ)

4. Αν KM και ΑΝ οι ζητούμενες ευθείες τα τρίγωνα ΑΚΜ και ΑΒΓ έχουν κοινή γωνία Α. Το ίδιο για τα τρίγωνα ΑΛΝ και ΑΒΓ.

§10.6

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Η πλευρά x του τετραγώνου ικανοποιεί την x²=αβ.
2. Αν χ η πλευρά του ζητούμενου τετραγώνου τότε x²=α²+β².
3. Πρόβλημα 1 § 10.6.
4. Πρόβλημα 1 § 10.6.
Γενικές ασκήσεις
1. i) Τα τρίγωνα έχουν ίσα ύψη και την ίδια βάση iii) Εφαρμογή 3 § 10.1
2. i) Σύγκριση εμβαδών,
εικόνα
4. i) Θεώρημα III § 10.5
ii) τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΔΕΓ έχουν το ίδιο ύψος από την κορυφή Ε,
iii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ έχουν κοινή τη γωνία Γ.
5. i) Απλό, ii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ έχουν τη γωνία Γ κοινή, iii) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΔΕΓ είναι όμοια.
6. i) Απλό, ii) ΜΚ διάμεσος στο
εικόνα
συνάρτηση του d τα εμβαδά του τριγώνου και των τραπεζίων που σχηματίζονται.
ii) Το εμβαδόν του τριγώνου και των τραπεζίων δίνουν το εμβαδόν του (ΑΒΓ)
8. Είναι (ΑΒΜΖΗΔ) = (ΑΒΓΔ) + (ΔΕΖΗ) - (ΔΕΜΓ) = 54
9. Είναι ΑΓ² - ΑΒ² = 17 οπότε ΑΓ=9 και ΑΒ=8, ΑΒ² =64, ΑΔ²=100
10. Τα τρίγωνα ΑΔΕ, ΑΖΗ και ΑΒΓ είναι όμοια μεταξύ τους και γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου ΑΓ.
11. i)Όπως άσκηση 1 (αποδεικτικές) § 10.5, ii) προκύπτει από το i).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11

§11.1 - 11.2

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Είναι: φ₅ = 108°, φ₆ = 120°,φ₁₀ = 144°και φ₁₂= 150° , ω₅ = 72° ,ω₆= 60°, ω₁₀ = 36° και ω₁₂= 30°
2. Σωστή η δ
3. § 11.1
4. Λύστε τις εξισώσεις.
5. Λύστε την ανίσωση φ_ν < 90° ως προς ν
6. Θεώρημα I § 11.2.

ii) ΖAΕ = ΖAΓ + ΓAΕ = 90° Αξιοποιήστε το i) Ξεκινήστε με την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και ΒΗΓ.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Είναι φ_λ + φ_μ + φ_ν = 360°
2. Αποδείξτε ότι έχει πλευρές και γωνίες ίσες.
3. Εφαρμόστε το 2° θεώρημα διαμέσων στο ΑΒΓ
4. Αν ΑΒ=λ_ν και Μ το μέσο του το ΟAMΒ έχει κάθετες διαγωνίους
5. Τα πολύγωνα είναι όμοια
6. Τα πολύγωνα είναι όμοια.
Σύνθετα θέματα
1. Βρείτε για ποια ν υπάρχει θετικός ακέραιος κ τέτοιος ώστε κφ_ν=360°
2. Αν Α₁Α₂...Αν το κανονικό ν-γωνο είναι: (ΣΑ₁Α₂)+(ΣΑ₂Α₃)+...+(ΣΑ_νΑ₁) = (Α₁Α₂ Α_ν)
3. Συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΓΜ και ΑΓΔ

§11.3

Ασκήσεις εμπέδωσης
εικόνα

Ε₄ = 128cm²
4. ΑΒ = λ₆ = R,

Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Το άθροισμα των γωνιών είναι (2ν-4) ορθές, οπότε ν=6, R=2.
2. Το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο και ΑΒ=λ₆, ΔΓ=λ₃, ΑΓ=ΒΔ=λ₄
3. Εφαρμογή 3 § 11.3. Είναι:
εικόνα
4. Αν Α Β = λ₆ και Γ το μέσο του είναι ΑΓ = λ₁₂ και το ΟΑΓΒ έχει κάθετες διαγώνιους.
Σύνθετα θέματα
1. Εφαρμόστε το 1ο θεώρημα Διαμέσων
2. Υπολογίστε το γινόμενο ΑΒ • ΑΓ.
3. Παρατηρήστε ότι ΑΓ = 2R.

§11.4

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Εφαρμόστε τον τύπο του μήκους κύκλου.
2. L = 10 cm.
3. l = π cm .
4. Απλή.
5. ΑΒ=λ₄ και ΒΓ=λ₃.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Αν Κ το κέντρο του κύκλου (Κ) παρατηρήστε ότι: ΑKΔ = 2ΑOΓ
2. Σχέσεις ακτινών και διακέντρου
3. Χρησιμοποιούμε τους τύπους
E = τρ, Ε = αβγ4R και τον τύπο του Ήρωνα
Σύνθετα θέματα
1. Αν Κ, Λ τα μέσα των OA, OB αντίστοιχα και (Μ, χ) ο κύκλος που εφάπτεται στα τρία ημικύκλια είναι:OM=R- x, ΟΚ = R2 , KM = R2 + x και το ΟΚΜ είναι ορθογώνιο οπότε x = R3

2. Παρόμοια με την 1. Η ακτίνα του κύκλου (Κ) είναι R4 .

§11.6 - 11.8

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Ε = π R²4.
2. R=12 Ε=144π cm²
εικόνα
4. Παρόμοια με την εφαρμογή 1 § 11.7.
5. Η περίμετρος είναι πR και το εμβαδόν

Αποδεικτικές ασκήσεις

2. Αρκεί να βρούμε το εμβαδόν ενός από τα μη γραμμοσκιασμένα μικτόγραμμα τρίγωνα. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

3. Αν Α,Β είναι τα κοινά σημεία των κύκλων (Κ, R) και (Λ, R) με δ = R αποδείξτε πρώτα ότι το ΑΚΒΛ είναι τετράγωνο.
4. E = π8 (ΑΒ² - ΑΓ² - ΓΒ²),
ΑΒ = ΑΓ + ΓΒ.
5. Αν (Κ, κ) ο εγγεγρ. στον τομέα κύκλος τότε: OK=R-κ ΚΓ=κ, όπου ΚΓ ⊥ ΟΑ και ΑÔΚ = 30°. Είναι κ = R3 .
Σύνθετα θέματα

1. i) ΑΒΓ = 180° άρα AT=2R

iii) Το κυκλικό τμήμα με χορδή την ΑΒ έχει εμβαδόν

εικόνα
2. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι
Ε = (π-1)R²
3. Βρίσκουμε πρώτα ότι ΚAΛ = 120° (Α κοινό σημείο των κύκλων).
4. Εφαρμογή 1 § 11.7.
Γενικές ασκήσεις
1. ii) Τα πολύγωνα είναι όμοια,
iii) L = 32 Rπ.
2. α) Διαφορά εμβαδών δύο κυκλικών τομέων, β) Χρησιμοποιούμε και την
ω_ν = 360°ν
3. Αποδείξτε ότι το άθροισμα των γωνιών των τομέων είναι 4 ορθές.
4. Η ακτίνα του κάθε κύκλου είναι α4 και το ζητούμενο εμβαδόν (4 - π) α²16

6. Η ακτίνα καθενός από τους τέσσερις κύκλους είναι

7. Γωνία δύο τεμνουσών του κύκλου. Βρίσκουμε ω_min = 12°
8.i) AM² = ΑΓ • ΑΔ και ΑΣ² = ΑΓ • ΑΒ
ii) Το τεταρτοκύκλιο του κύκλου με διάμετρο το ΑΔ
iii) Το μήκος του διαγραφόμενου τόξου είναι 12 πΑΒ.

ΟΑ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, ii) Πάρτε και έναν άλλο εγγεγραμμένο κύκλo και συγκρίνετε τις ακτίνες τους.,
iii) α) Οι ακτίνες ρ₁, ρ₂ των μέγιστων εγγεγραμμένων κύκλων στα κυκλικά τμήματα χορδών ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα είναι:

εικόνα
10. i) Απλό
ii) Χρησιμοποιήστε το i), iii) Το ΟΒΒΌ' είναι παρ/μο., iv) Προσθέτουμε και αφαιρούμε διαδοχικά από τα μέλη της iii) τα εμβαδά του μικτόγραμμου τριγ. ΑΒΓ και ταυ κυκλικού τμήματος χορδής ΓΒ' αντίστοιχα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12

§12.3

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Η ζητουμένη ευθεία είναι η τομή των δύο επιπέδων που ορίζει το σημείο Ο με καθεμία από τις ασύμβατες ευθείες.
2. Φέρουμε το τυχαίο επίπεδο που περιέχει τη μία ευθεία και τέμνει τις άλλες δύο στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Η ευθεία ΑΒ είναι η ζητούμενη.
3. Το επίπεδο (Α,ε') τέμνει τον κύκλο (Κ) σε δύο, ένα ή κανένα σημείο. Επομένως υπάρχουν δύο, μία ή καμία τέτοια ευθεία.
4. Τα επίπεδα (Μ,Χ,Χ') και (Μ,Ψ,Ψ') έχουν δύο κοινά σημεία. Το Μ και το Ο. Άρα η κοινή ευθεία είναι η ΜΟ.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Τέμνουμε το επίπεδο με το επίπεδο του κύκλου.
2. Χρησιμοποιούμε τις προτάσεις: (i) δύο επίπεδα τέμνονται σε ευθεία αν έχουν ένα κοινό σημείο και (ii) μία ευθεία που έχει δύο σημεία της σε επίπεδο τότε ανήκει σ' αυτό.
3. Με απαγωγή σε άτοπο.
4. Η ζητούμενη ευθεία ορίζεται από τα σημεία τομής των ε₃ και ε₄ με το επίπεδο (ε₁,ε₂).
5. Αν οι ευθείες τομής του ενός με τα δύο άλλα τέμνονται, τότε αυτό είναι κοινό σημείο και των τριών επιπέδων. Αν είναι παράλληλες, τότε και η τρίτη είναι παράλληλη σε αυτές.

§12.4

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Από το Ο φέρουμε τις παράλληλες των ασύμβατων και αυτές ορίζουν το ζητούμενο επίπεδο.
2. Τέμνουμε την ευθεία ξ με το επίπεδο το παράλληλο στο π που περνάει από το Α και ενώνουμε αυτό το σημείο με το Α.
3. Φέρουμε επίπεδο παράλληλο στο π που τέμνει τις ασύμβατες σε δύο σημεία. Αυτά ορίζουν μία από τις ευθείες που ικανοποιούν το πρόβλημα.
4. Τότε η ευθεία είναι παράλληλη και στα δύο επίπεδα, διότι είναι παράλληλη μια ευθεία του καθενός.
5. Αποδεικνύεται με απαγωγή σε άτοπο ότι η κοινή ευθεία δεν μπορεί να τέμνει τις ε και ε'.
6. Φέρουμε τυχαίο επίπεδο από την ξ που τέμνει το π και χρησιμοποιούμε τον ορισμό της παραλληλίας ευθείας και επιπέδου.
7. Φέρουμε από το Ο ευθεία παράλληλη στην ε. Κάθε επίπεδο που περιέχει αυτήν και όχι την ε είναι λύση του προβλήματος.
8. Φέρουμε την παράλληλη στην κοινή ευθεία των δύο επιπέδων.
9. Το ζητούμενο επίπεδο ορίζεται από δύο ευθείες παράλληλες στις δοσμένες, που διέρχονται από το Ο. Αν οι δοσμένες είναι παράλληλες, βρίσκουμε δύο τεμνόμενες ευθείες του επιπέδου τους και αναγόμαστε στην πρώτη περίπτωση.
10. Κατασκευάζουμε τα επίπεδα (ε₁,ξ₁) και (ε₂,ξ₂), όπου ξ₁, ξ₂//ε τέμνουσες των ε₁ και ε₂ αντίστοιχα.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Αποδεικνύουμε ότι δύο απέναντι πλευρές του σχηματιζόμενου τετραπλεύρου είναι παράλληλες και ίσες.
2. Τα επίπεδα αυτά περνάνε από δύο παράλληλες ευθείες, άρα η τομή είναι παράλληλη σ' αυτές.
3. Καθιστούμε τα τμήματα αυτά διαγώνιους παραλληλογράμμου και προκύπτει το ζητούμενο.
4. Γίνεται χρήση του ορθού του θεωρήματος του Θαλή.
Σύνθετα θέματα
1. Ανά δύο οι παράλληλες πλευρές των τριγώνων ορίζουν τρία επίπεδα που

είτε θα τέμνονται σε ένα σημείο ή θα τέμνονται ανά δύο σε τρεις ευθείες παράλληλες.
2. Τα σημεία Α1, Β1 και Γ1 είναι σημεία της κοινής ευθείας των δύο επιπέδων των τριγώνων. Ανά δύο οι πλευρές των τριγώνων ορίζουν τρία επίπεδα που περνάνε από το ίδιο σημείο ή τέμνονται ανά δύο σε τρεις ευθείες παράλληλες (προηγούμενη άσκηση).
3. Είναι ευθεία παράλληλη στην ε.

§12.6

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Υπάρχει ευθεία του π παράλληλη στην ε.
2. Εφαρμογή του θεωρήματος των τριών καθέτων.
3. Το ζητούμενο επίπεδο είναι αυτό που ορίζεται από μία ευθεία και την κοινή κάθετο τους.
4. Είναι η ευθεία η παράλληλη σε μία κάθετη της ε.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Εφαρμογή του θεωρήματος των τριών καθέτων.
2. Εφαρμογή του θεωρήματος των τριών καθέτων.
3. Εφαρμογή του i) θεωρήματος των τριών καθέτων
ii) Τα ΣΓ και ΣΝ είναι τα ύψη των ορθογώνιων τριγώνων ΣΑΜ και ΣΑΒ επομένως ισχύουν οι σχέσεις αυτές.
iii) Από τις προηγούμενες σχέσεις και επειδή έχουν μία κοινή γωνία, είναι όμοια.
iv) Από τα όμοια τρίγωνα, επειδή το ένα είναι ορθογώνιο θα είναι και το άλλο.
ν) Η ΣΓ είναι κάθετη στην ΓΝ και ορθογώνια στην ΑΓ.
vi) Εφαρμογή του θεωρήματος των τριών καθέτων (ii)
vii) Είναι κύκλος διαμέτρου ΑΓ στο επίπεδο που περνάει από το Γ και είναι κάθετο στην ΣΓ.

1. Είναι η τομή του μεσοκάθετου επιπέδου στο τμήμα που ορίζουν τα δύο σημεία με το δοσμένο επίπεδο.
2. Είναι η τομή του μεσοκάθετου επιπέδου στο ΑΒ με την ευθεία.
3. Η ζητούμενη κάθετη είναι η ευθεία του π που είναι κάθετη στην προβολή της ε στο π.
4. O γ.τ. είναι κύκλος σε επίπεδο κάθετο στην ε, με διάμετρο ΑΒ, όπου Β η προβολή του Α στην ε.
5. Ο γ.τ. είναι κύκλος του π με διάμετρο ΟΟ', όπου Ο' η προβολή του O στο π.
6. O γ.τ. είναι η ευθεία η κάθετη στην ε από το Ο', την προβολή του Ο στο π.
7. Ο γ.τ. είναι η κάθετη ευθεία στο επίπεδο του τριγώνου, που περνάει από το περίκεντρο.
8. Ο γ.τ. είναι το κοινό σημείο των μεσοκάθετων επιπέδων στα τμήματα που ορίζουν τα τέσσερα δοσμένα σημεία ανά δύο.
9. O γ.τ. είναι τα επίπεδα τα παράλληλα στο π, σε απόσταση λ, κείμενα εκατέρωθεν του π.
10. Είναι το επίπεδο το παράλληλο στο (Α,Β,Γ), που περνάει από το Μ.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Ο γ.τ. είναι το επίπεδο το παράλληλο στις δύο ασύμβατες, που διαιρεί την απόσταση των ασύμβατων σε λόγο λ.
2. Χρησιμοποιούμε την προηγούμενη άσκηση. Η ζητούμενη ευθεία ε₃ ορίζεται ως η τέμνουσα των δύο ασύμβατων ε₁ και ε₂ που περνάει από το σημείο τομής της ε₃ με το επίπεδο το παράλληλο στις ε₁ και ε₂ το οποίο χωρίζει την απόστασή τους σε λόγο λ.
3. Το ζητούμενο σημείο είναι το σημείο τομής των δύο κύκλων (Α',ρ) και (Β',ρ'), όπου Α' και Β' οι προβολές των Α και Β στο π και

Σύνθετα θέματα
1. Ο γ.τ. είναι κύκλος του π με κέντρο την προβολή Ο' του μέσου Ο του ΑΒ και

2. Προβάλλουμε το Α στο π και ενώνουμε την προβολή Α' με το κέντρο του κύκλου. Τα άκρα της διαμέτρου είναι τα ζητούμενα σημεία.
3. Το επίπεδο ορίζεται από το μέσον Ο του Α Β και την ευθεία ε.
4. Ο γ.τ. είναι επίπεδο κάθετο στην ΑΒ στο σημείο Μ' για το οποίο ισχύει ΟΜ' = A²2AB όπου Ο το μέσον του ΑΒ.
5. Θεωρούμε επίπεδο κάθετο στην ΓΔ που περιέχει την ΑΒ και χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
6. Εφαρμογή της άσκησης 5.
7. Τα μεσοκάθετα επίπεδα στα ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ τέμνονται σε ένα σημείο Ο που ανήκει και στα μεσοκάθετα επίπεδα των υπολοίπων.
8. Το σταθερό σημείο είναι το σημείο τομής του π με την ευθεία ξ που είναι κάθετη στο επίπεδο (Ο,ε) στο Ο.

§12.7

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Κάθε επίπεδο που περιέχει την κάθετη ΟΟ' στο επίπεδο π ικανοποιεί το πρόβλημα.
2. Οι έδρες σ και π περιέχουν την ακμή ε που είναι κάθετη στο π
3. Γίνεται χρήση των γ.τ. (i) του μεσοκάθετου επιπέδου στο τμήμα ΒΓ και (ii) κύκλου με κέντρο το μέσο Μ του ΒΓ και ακτίνα το μισό του ΒΓ.
4. Φέρουμε από το Ο ευθεία παράλληλη στην ε και ευθεία κάθετη στο σ. Αυτές οι δύο ευθείες ορίζουν το επίπεδο π.
5. Από τυχαίο σημείο της ε φέρουμε ευθεία κάθετη στο π. Η ε και η κάθετη ορίζουν το ζητούμενο επίπεδο

§12.8

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Εάν ε ⊥ π τότε κάθε επίπεδο που περιέχει την π είναι κάθετο. Εάν η ε είναι πλάγια στο π, τότε το επίπεδο (ε,ε') είναι κάθετο στο π, όπου ε' η προβολή της ε στο π.
2. Εφαρμογή του Θεωρήματος του Θαλή στο επίπεδο που ορίζει η ευθεία με την προβολή της.

3. Εφαρμογή της προηγούμενης άσκησης
4. Οι παράλληλες ευθείες και οι προβάλλουσες δύο σημεία που βρίσκονται ένα στην καθεμία, ορίζουν επίπεδα παράλληλα, που τεμνόμενα από τρίτο δίνουν τομές ευθείες παράλληλες.
5. Τα ζεύγη των απέναντι πλευρών προβάλλονται ως παράλληλες ευθείες.
6. Κατασκευάζουμε στο επίπεδο της προβολής τρίγωνο ΑΒ0Γ ίσο με το ΑΒΓ και συγκρίνουμε αυτό με την προβολή ΑΒ'Γ, όπου Β η ορθή γωνία και Α,Γ οι τομείς των πλευρών της με το επίπεδο.
7. Απλή εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος.
8. Από τον ορισμό του συνημίτονου γωνίας έχουμε:

9. Φέρουμε την κάθετη στο επίπεδο π στο Α, η οποία μαζί με την ε ορίζουν επίπεδο, πάνω στο οποίο κατασκευάζουμε ευθεία που σχηματίζει γωνία 60ο με την ε.
10. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Θαλή της γεωμετρίας του επιπέδου.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Συγκρίνουμε τις γωνίες που σχηματίζουν η κάθετη και η πλάγια με τις προβολές τους.
2. Παρατηρούμε ότι τα επίπεδα αυτά έχουν κοινό το έκκεντρο του τριγώνου.
3. Το μέσο μιας διαγωνίου με τις δύο άλλες κορυφές συνιστούν ισοσκελές τρίγωνο, άρα η διάμεσος είναι και ύψος. Το ίδιο και για το μέσο της άλλης διαγωνίου και προκύπτει το ζητούμενο.
4. Αν Γ' η προβολή του Γ στο ζητούμενο επίπεδο και ΓΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το τρίγωνο ΓΤ" Δ είναι ορθογώνιο στο Γ' και έχει δύο γνωστές πλευρές την ΓΔ και την Γ'Δ άρα κατασκευάζεται.
5. Από το σημείο τομής Γ του τμήματος ΑΒ με το διχοτόμο επίπεδο φέρουμε επίπεδο κάθετο στην ακμή της διέδρου και προβάλλουμε σε αυτό τα σημεία Α και Β.
6. Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και Α'Δ το ύψος του Α'ΒΓ θα έχουμε ότι τα εμβαδά των δύο τριγώνων είναι όπως ο λόγος των υψών τους. Αλλά τα ύψη είναι γνωστά.

Γενικές ασκήσεις
1. Ο γ.τ. είναι τα επίπεδα που διχοτομούν τις δύο παραπληρωματικές δίεδρες γωνίες που έχουν τη γωνία των ε και ξ ως αντίστοιχη επίπεδη.
2. Θεωρούμε την ορθή γωνία των ξ και ε' (όπου ε'//ε), που προβάλλεται στο άλλο επίπεδο ως ορθή. Επειδή η ε' προβάλλεται ως παράλληλη στην ε, η ξ προβάλλεται ως κάθετη σε αυτή.
3. Οι ευθείες οι παράλληλες στο π που τέμνουν τις ε και ξ έχουν προβολές στο π ευθείες που περνάνε από το μέσο του τμήματος που ορίζουν τα ίχνη των ευθειών ε και ξ. Άρα οι ευθείες που συναντούν τις ε και ξ τέμνονται από την κάθετη στο επίπεδο π στο σημείο αυτό.
4. Προβάλλουμε τα ίχνη της τέμνουσας στις δύο έδρες και στην ακμή της δίεδρης και σχηματίζονται δύο ζεύγη ίσων τριγώνων.
5. Προβάλλουμε τα σημεία στις έδρες και την ακμή της δίεδρης και προκύπτουν δύο τρίγωνα ίσα.
6. Θεωρούμε ότι οι προβολές δε συμπίπτουν και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα των τριών καθέτων οδηγούμαστε σε άτοπο.
7. Τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ του στρεβλού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ προβάλλονται στο κέντρο του παραλληλογράμμου και επομένως αυτά ορίζουν τη διεύθυνση των παραλλήλων.
8. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Θαλή για τα MM', ΝΝ' και την κοινή κάθετο των ασύμβατων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13

§13.1 - 13.4

Aσκήσεις εμπέδωσης
1. Το ύψος είναι κάθετο ενώ η ακμή είναι πλάγια ως προς τα επίπεδα της βάσης.
2. Οι κάθετες τομές ορθού πρίσματος και οι βάσεις είναι παράλληλα σχήματα.
3. Οι ακμές ενός πρίσματος και οι προβολές τους στα επίπεδα των βάσεων σχηματίζουν ίσα ορθογώνια τρίγωνα.

6. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Θαλή για τα επίπεδα των εδρών, στα οποία βρίσκονται τα άκρα του τμήματος και το μεσοπαράλληλο επίπεδο σε αυτά.
7. Ε=6α² και α=6 μ.

9. Ε=6α² = 3 β² = 2δ², όπου α=ακμή, β=διαγώνιος βάσης και δ=διαγώνιος κύβου.
10. Ακμή α=5, όγκος V=150.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Συμπληρώνουμε το πρίσμα σε παραλληλεπίπεδο.
2. Εκφράζουμε το εμβαδόν της κάθετης τομής ως συνάρτηση της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου και της περιμέτρου.
3. Ο όγκος πρίσματος εκφράζεται ως γινόμενο μιας κάθετης τομής επί την ακμή και το εμβαδόν με την περίμετρο της κάθετης τομής επί την ακμή.
4. Καθιστούμε το ευθύγραμμο τμήμα διαγώνιο σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με τρεις ακμές δια του Α και τρεις δια του Γ'.
5. Καθιστούμε το τμήμα ΑΓ' διαγώνιο σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και προβάλλουμε στις τρεις έδρες του που περνάνε από το Α.
6. (i) Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν ως πλευρές τη διαγώνιο και την ακμή του κύβου, (ii) Υπολογίζουμε το λόγο της υποτείνουσας προς την προβολή της ακμής σε αυτήν.
7. Τέμνουμε το παραλληλεπίπεδο με το διαγώνιο επίπεδο ΒΒ'Δ'Δ και ανάγεται σε γνωστό πρόβλημα της γεωμετρίας του επιπέδου.
Σύνθετα θέματα
1. Παρατηρούμε ότι οι πλευρές του τριγώνου είναι διαγώνιοι των εδρών.
2. Η τομή του επιπέδου (Α',Β,Δ) με την διαγώνιο είναι το κέντρο ισόπλευρου τριγώνου και τα ύψη τούμε

σχηματίζουν τις αντίστοιχες των διέδρων.
3. Το επίπεδο που περνάει από τα σημεία Κ. Λ και Ν τέμνει τις ακμές Γ'Δ', ΔΆ' και ΑΑ' σε σημεία που αποδεικνύουμε ότι είναι μέσα, οπότε οι πλευρές του σχηματιζόμενου εξαγώνου είναι ίσες. Επίσης και οι γωνίες είναι ίσες.
4. Εφαρμόζουμε γνωστή πρόταση της γεωμετρίας του επιπέδου σύμφωνα την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων παραλληλογράμμου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των τεσσάρων πλευρών του.

§13.5 - 13.9

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Το ύψος κανονικής πυραμίδας, το απόστημα και το μισό της πλευράς της βάσης σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Επίσης, το ύψος, το απόστημα της βάσης και το απόστημα της πυραμίδας συνιστούν επίσης ορθογώνιο τρίγωνο.
2. Η αντίστοιχη της δίεδρης με έδρες την βάση και μία από τις έδρες κανονικής πυραμίδας έχει αντίστοιχη τη γωνία που σχηματίζουν το απόστημα της πυραμίδας και το απόστημα της βάσης.
3. Εφαρμόζουμε τους τύπους.
4. Απλή εφαρμογή των τύπων.
5. Επ=87.561 τ.μ, V=2.664.792 κ.μ.

Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Στηριζόμενοι στο ότι ο όγκος μιας πυραμίδας δεν αλλάζει αν η κορυφή της πυραμίδας κινηθεί σε επίπεδο παράλληλο στη βάση της, μετακινούμε μία κορυφή του τετραέδρου παράλληλα σε μία απέναντι ακμή του τετραέδρου, ώστε να γίνει σημείο της απέναντι έδρας του παραλληλεπιπέδου.
2. Προβάλλουμε δύο κορυφές στις απέναντι έδρες και στην ακμή που ορίζουν οι άλλες δύο κορυφές και

σχηματίζονται δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Από τους λόγους των πλευρών τους προκύπτει το ζητούμενο.
3. Θεωρούμε ως βάση ένα τρίγωνο που έχει τη μετακινούμενη ακμή ως πλευρά. Το εμβαδόν της βάσης είναι σταθερό διότι έχει σταθερό μήκος βάσης και ύψος. Επίσης, το ύψος της πυραμίδας δεν αλλάζει διότι η απέναντι κορυφή προβάλλεται σε σταθερό επίπεδο.
4. Θεωρούμε το λόγο του ενός τετραέδρου ως προς ένα βοηθητικό που έχουν κοινό ύψος, και το λόγο του βοηθητικού ως προς τον όγκο του δεύτερου που έχουν επίσης κοινό ύψος και πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις προκύπτει το ζητούμενο.
5. Εφαρμόζουμε την προηγούμενη άσκηση δύο φορές και προκύπτει το ζητούμενο.
6. Εφαρμόζουμε την άσκηση 5.
7. Υπολογίζουμε το ύψος της βάσης και από αυτό το απόστημα. Επειδή η γωνία της ακμής και του ύψους της βάσης είναι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου, υπολογίζεται το ύψος και από αυτό ο όγκος είναι
.
Σύνθετα θέματα
1. Αν ΑΒ είναι η κάθετη σε επίπεδο, στο σημείο Β, προβάλλουμε τις κορυφές Δ και Γ στο επίπεδο αυτό και προκύπτει ότι ο αρχικός όγκος του τετραέδρου ισούται με τον όγκο του τετραέδρου που έχει κορυφές τα Α,Β και τις προβολές στο επίπεδο των δύο άλλων.
2. Η κάθετη τομή ενός πρίσματος, από σημείο Μ εσωτερικό του πρίσματος, περιέχει τις αποστάσεις του Μ από τις έδρες και σχηματίζεται ισόπλευρο τρίγωνο στο οποίο το άθροισμα των αποστάσεων του σημείου Μ από τις πλευρές του τριγώνου είναι σταθερό.
3. Τα μέσα τριών ακμών που περνάνε από την ίδια κορυφή του κύβου, μαζί με την κορυφή αυτή σχηματίζουν ένα τετράεδρο, με ακμές βάσης ίσες με το μισό της διαγωνίου τετραγώνου πλευράς α. Υπολογίζουμε το ύψος της βάσης, το εμβαδόν της βάσης, το ύψος του τετραέδρου και εν τέλει τον όγκο του, το οκταπλάσιο του οποίου αφαιρείται από τον όγκο του κύβου.

§13.10 - 13.12

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Απλή εφαρμογή των τύπων.
2. Εφαρμόζουμε τους τύπους.
3. Εφαρμογή των τύπων.
4. Υπολογίζουμε τον όγκο κυλίνδρου ενός εκατοστού ύψους, που έχει την ίδια βάση.
5. Εξισώνουμε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας με το εμβαδόν του κύκλου ακτίνας 4 και υπολογίζουμε την ακτίνα του κυλίνδρου.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Από τους τύπους του όγκου και του εμβαδού της ολικής επιφάνειας απα-λείφουμε την ακτίνα ρ.
2. Υπολογίζουμε τον όγκο των δύο κυλίνδρων που σχηματίζονται. Θέτουμε χ την απόσταση του Μ από το Α και διπλασιάζοντας τον όγκο του μικρού κυλίνδρου βρίσκουμε τον όγκο του μεγάλου.
3. Υπολογίζουμε την διαφορά των δύο κυλίνδρων που σχηματίζονται κατά την περιστροφή του ορθογωνίου και βρίσκουμε τον ζητούμενο όγκο. Αθροίζουμε τα εμβαδά, λαμβάνοντας υπόψη τόσο τις κυρτές επιφάνειες των δύο κυλίνδρων, όσο και τους δύο κυκλικούς δακτυλίους που αποτελούν τις βάσεις των κυλίνδρων.

§13.13 - 13.15

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Υπολογίζουμε τη γενέτειρα του κώνου από το ύψος και την ακτίνα και εφαρμόζουμε τους τύπους.
2. Απαλείφουμε τη γενέτειρα μεταξύ του τύπου της κυρτής επιφάνειας και της σχέσης που συνδέει την ακτίνα, το ύψος και την ακμή και προσδιορίζουμε την ακτίνα του κώνου.
3. Από το ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα τη γενέτειρα και κάθετη πλευρά την ακτίνα βρίσκουμε το ύψος του κώνου. Μετά, με εφαρμογή των τύπων, υπολογίζουμε τα ζητούμενα.
4. Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο που παράγεται ο κώνος προκύπτει το ύψος και η γενέτειρα του κώνου. Με αυτά υπολογίζουμε τον όγκο και την επιφάνεια.
5. Υπολογίζουμε την ακμή λ και στη συνέχεια το ύψος υ. Κατόπιν αντικαθιστούμε

στους τύπους του όγκου και του εμβαδού.
6. Υπολογίζουμε το λ και μετά το λόγο των εμβαδών που είναι
7. Υπολογίζουμε το λόγο των δύο επιφανειών αφού υπολογίσουμε την ακμή από το ύψος και την ακτίνα.
8. Απλή εφαρμογή των τύπων.
Αποδεικτικές Ασκήσεις
1. Χωρίζουμε τον κώνο με επίπεδο παράλληλο στη βάση. Τότε, ο μικρός κώνος που αποτέμνεται είναι το μισό του αρχικού.
2. Ο όγκος που παράγεται κατά την περιστροφή του τριγώνου ΑΒΓ ισούται με τον όγκο του AM Κ μείον ογκ(ΓΑΚ) μείον όγκ.(ΒΓΜΠ)
3. Αν φέρουμε δύο επίπεδα παράλληλα στη βάση που να χωρίζουν την κυρτή επιφάνεια του κώνου σε τρία ίσα μέρη, ο μικρός κώνος που δημιουργείται θα είναι το 13 του αρχικού. Επίσης ο μικρός κώνος μαζί με το μεσαίο κόλουρο κώνο αποτελούν τα 23 του αρχικού κώνου.
4. Απλή εφαρμογή του τύπου.
5. Χρησιμοποιούμε την ομοιότητα των δύο τριγώνων.
6. Χρησιμοποιούμε τους τύπους του κώνου.

§13.16 - 13.18

Ασκήσεις εμπέδωσης
1. Η ακτίνα της σφαίρας, η ακτίνα του κύκλου τομής και η απόσταση του επιπέδου από το κέντρο συνιστούν ορθογώνιο τρίγωνο.
2. Από το εμβαδόν της τομής υπο-λογίζουμε την ακτίνα της τομής και στη συνέχεια υπολογίζουμε την απόσταση δ του επιπέδου από το κέντρο.
3. Υπολογίζουμε την ακτίνα του κύκλου της τομής και μετά βρίσκουμε το εμβαδόν της.
4. Η ζητούμενη ακτίνα είναι ύψος ορθογώνιου τριγώνου που ορίζεται από το κέντρο της σφαίρας, το φωτεινό σημείο και ένα σημείο του κύκλου.
5. Απλή εφαρμογή του τύπου, Ε=400π.
6. Αν ρ και ρ' είναι οι ακτίνες των σφαιρών, ο λόγος των επιφανειών τους είναι το τετράγωνο του λόγου των ακτινών τους

7. Εφαρμόζουμε τον τύπο του όγκου της σφαίρας, ν=36π.
8. Ο λόγος των όγκων δύο σφαιρών είναι ίσος με τον κύβο του λόγου των ακτίνων τους.
9. Ε=π(ρ²- ρ'²).
10. Ο συνολικός όγκος του σχήματος αποτελείται από τον όγκο ενός κυλίνδρου ακτίνας ρ και ύψους ρ και τον όγκο μιας σφαίρας ακτίνας ρ.
Αποδεικτικές ασκήσεις
1. Υπολογίζουμε τους όγκους των τριών στερεών από τους τύπους και αποδεικνύουμε τις σχέσεις του προβλήματος.
2. Αν Μ τυχόν σημείο της τομής και Κ και Λ τα κέντρα της σφαίρας, το επίπεδο (Κ,Λ,Μ) τέμνει τις σφαίρες κατά μέγιστους κύκλους και το τρίγωνο ΚΛΜ έχει γνωστά μήκη πλευρών. Επομένως η προβολή του Μ στην ΚΑ είναι σταθερό σημείο και επειδή οι σφαίρες είναι σχήματα εκ περιστροφής, το Μ είναι σημείο κύκλου.
3. Υπολογίζουμε τους όγκους των τριών στερεών και παίρνουμε τους λόγους του κυλίνδρου προς τη σφαίρα και του κώνου προς τη σφαίρα.
Σύνθετα θέματα
1. Εξισώνουμε τα εμβαδά των δύο επιφανειών και βρίσκουμε ότι το ύψος είναι διπλάσιο της ακτίνας.
2. Αν δ είναι η απόσταση της βάσης του κώνου ή του κυλίνδρου από το κέντρο της σφαίρας εκφράζουμε τους όγκους σε συνάρτηση του δ και μηδενίζοντας την παράγωγο ως προς δ βρίσκουμε πότε ο όγκος γίνεται μέγιστος.
3. Ο κύβος έχει διαγώνιο ίση με τη διάμετρο της σφαίρας. Το οκτάεδρο αποτελείται από δύο τετραγωνικές πυραμίδες, με βάσεις εγγεγραμμένες σε μέγιστο κύκλο της σφαίρας.
4. Από τα δοσμένα μεγέθη υπολογίζουμε τα εμβαδά και τους όγκους των στερεών.
5. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα II, §13.18 για τον υπολογισμό των τριών όγκων. Η ζητούμενη σχέση αποδεικνύεται αντικαθιστώντας τους υπολογισθέντες όγκους και τις προβολές των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα κατά τα γνωστά από τη γεωμετρία του επιπέδου.

Γενικές Ασκήσεις
1. Σχηματίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του τυχαίου σημείου Μ από τις κορυφές του τετραέδρου και εφαρμόζουμε το Θεώρημα των διαμέσων στα διάφορα τρίγωνα που σχηματίζονται Καταλήγουμε σε μία σχέση που περιέχει σταθερά τμήματα εκτός από ένα, το οποίο όταν μηδενιστεί καθιστά την ποσότητα ελάχιστη.
2. Το επίπεδο πρέπει να βρίσκεται μεταξύ των δύο απέναντι ακμών για να τέμνει τις υπόλοιπες τέσσερις. Οι πλευρές του τετραπλεύρου που σχηματίζεται από την τομή είναι ανά δύο παράλληλες στις ακμές στις οποίες είναι παράλληλο το επίπεδο. Άρα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
3. Από την ευθεία ε φέρουμε επίπεδο παράλληλο στη ζ που τέμνει την ξ σ' ένα σημείο. Από αυτό το σημείο φέρουμε επίπεδο που να περιέχει την ξ και να είναι παράλληλο στην ε, που την τέμνει σε κάποιο σημείο και από αυτό το σημείο φέρουμε επίπεδο που να περιέχει τη ζ και να είναι παράλληλο στην ξ. Τέλος, συμπληρώνουμε το παραλληλεπίπεδο με άλλα τρία επίπεδα παράλληλα σ' αυτά που κατασκευάσαμε.
4. Υπολογίζουμε το λόγο των όγκων των δύο τετραέδρων στα οποία χωρίζεται το αρχικό τετράεδρο από το διχοτόμο επίπεδο με δύο τρόπους και εξισώνουμε τα αποτελέσματα. Κατά τον πρώτο τρόπο θεωρούμε ότι έχουν ως βάσεις τα δύο τρίγωνα στα οποία χωρίζεται μία έδρα, οπότε έχουν κοινό ύψος. Στη δεύτερη περίπτωση εκφράζουμε τον όγκο με βάσεις ης έδρες που είναι εκατέρωθεν του διχοτόμου επιπέδου, αλλά και πάλι έχουν κοινό ύψος.
5. Ανά δύο τα τμήματα αυτά διχοτομούνται διότι είναι διαγώνιοι παραλληλογράμμων. Επομένως τα τρία τμήματα διχοτομούνται σ' ένα σημείο.
6. Θεωρούμε δύο από τις διαμέσους. Αυτές είναι συνεπίπεδες διότι ανήκουν στο επίπεδο που περνάει από μία ακμή και από το μέσο της απέναντι ακμής. Επειδή τα κέντρα βάρους των εδρών χωρίζουν τις διαμέσους σε λόγο 1:2, η ευθεία που συνδέει τα κέντρα βάρους είναι παράλληλη στην απέναντι ακμή. Επομένως, στο διάμεσο επίπεδο σχηματίζονται δύο όμοια τρίγωνα και από τις αναλογίες τους προκύπτει ο ζητούμενος λόγος.

7. Θεωρούμε τη διάμεσο ΝΠ που κείται στο διάμεσο επίπεδο ΑΒΝ. Η διάμεσος τέμνει τη διάμεσο ΑΛ έστω σε σημείο Μ'. Από το Π φέρουμε ευθεία παράλληλη στη διάμεσο ΑΛ και σχηματίζονται όμοια τρίγωνα, που από τις αναλογίες των πλευρών τους προκύπτει

ότι το σημείο Μ' χωρίζει τη διάμεσο σε λόγο 3:1, άρα είναι το σημείο τομής των διαμέσων.
8. Θεωρούμε δύο από τα τετράεδρα που χωρίζεται το αρχικό. Αυτά έχουν κοινή βάση και επειδή θα είναι ισοδύναμα θα έχουν ίσα ύψη.

Άρα το σημείο Μ είναι σε τέτοια θέση ώστε να περιέχει μία ακμή και να τέμνει την απέναντι στο μέσο της. Αλλά αυτό συμβαίνει για κάθε ζεύγος τετραέδρων. Άρα, το Μ είναι το κέντρο βάρους του τετραέδρου.

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ

Ακμή δίεδρης
Ακμές πολυέδρου
Ακμές τρίεδρης
Ακτίνιο
Ακτίνα κύκλου
Ακτίνα σφαίρας
Άκρα ευθύγραμμου τμήματος
Αμβλεία γωνία
Αμβλεία δίεδρη
Αμβλυγώνιο
Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα
Ανάλυση
Αναλυτική-συνθετική μέθοδος
Ανάπτυγμα κυλίνδρου
Ανάπτυγμα κώνου
Ανάπτυγμα πυραμίδας
Ανάπτυγμα πρίσματος
Αντιδιαμετρικό σημείο
Αντικείμενες ημιευθείες
Αντίστοιχη επίπεδη δίεδρης
Άξονας συμμετρίας
Αξίωμα
Απαγωγή σε άτοπο
Απλή τεθλασμένη γραμμή
Απλό πολύεδρο (πολύεδρο)
Απόδειξη
Απολλώνιος κύκλος
Απόστημα
Απόστημα καν. πολυγώνου
Απόστημα κανονικής πυραμίδας
Απόσταση ασύμβατων ευθειών
Απόσταση παράλληλων επιπέδων
Απόσταση σημείου
Απόσταση σημείου από επίπεδο
Απόσταση σημείου
Αρμονική τετράδα
Αρχή ημιευθείας
Αρχικό επίπεδο
Ασύμβατες ευθείες
Ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα

Βάση
Βάση κυλίνδρου
Βάση κώνου
Βάσεις παραλληλογράμμου
Βάσεις πρίσματος
Βάση πυραμίδας
Βαρύκεντρο (κέντρο βάρους) τριγώνου

Γενέτειρα κυλίνδρου
Γενέτειρα κώνου
Γεωμετρική κατασκευή
Γεωμετρικά όργανα
Γεωμετρικός τόπος
Γεωμετρικός μέσος
Γραμμές
Γωνία
Γωνία δύο ασυμβάτων
Γωνία δύο επιπέδων
Γωνία δύο κύκλων
Γωνία κυρτή
Γωνία ευθείας και επιπέδου
Γωνία δύο τεμνουσών
Γωνία χορδής και εφαπτομένης
Γωνίες εκτός
Γωνίες εναλλάξ
Γωνίες εντός
Γωνίες επί τα αυτά μέρη

Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβήτης
Διαγώνιος
Διαγώνια επίπεδα πολυέδρου
Διαγώνιοι πολυέδρου
Διάκεντρος
Διάκεντρη ευθεία
Διάμεσος τραπεζίου
Διάμεσος τριγώνου
Διάμετρος κύκλου
Διαστάσεις ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου
Δίεδρη γωνία
Δίεδρη γωνία δύο τεμνόμενων επιπέδων
Διερεύνηση
Διχοτόμο επίπεδο δίεδρης
Διχοτόμο ημιεπίπεδο δίεδρης
Διχοτόμος
Δύναμη σημείου ως προς κύκλο

Εγγεγραμμένη γωνία
Εγγεγραμμένος κύκλος
Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
Εγγράψιμο τετράπλευρο
Έγκεντρο

Έδρες δίεδρης
Έδρες πολυέδρου
Έδρες τρίεδρης
Εμβαδόν
Εξάντας
Εξωτερική
Εξωτερική γωνία
Εξωτερικό σημείο δίεδρης
Εξωτερικό σημείο σφαίρας
Επίκεντρη γωνία
Επίπεδο
Επίπεδο προβολής
Επίπεδο σχήμα
Επιφάνεια
Εσωτερικό δίεδρης
Εσωτερικό σημείο δίεδρης
Εσωτερικό σημείο σφαίρας
Ευθεία
Ευθεία γωνία
Ευθεία κάθετη σε επίπεδο
Ευθεία παράλληλη σε επίπεδο
Ευθεία πλάγια σε επίπεδο
Εφαπτομένη
Εφεξής γωνίες
Εφεξής δίεδρες

Ημιεπίπεδο
Ημιευθεία
Ημικύκλιο
Ημιχώρος

Θεώρημα

Ισοδύναμα
Ισόπλευρο τρίγωνο
Ισόπλευρο
Ισοσκελές
Ισοσκελής κόλουρη πυραμίδα
Ίχνος ευθείας σε επίπεδο

Κανονικό πολύγωνο
Κανονική πυραμίδα
Κανονικό τετράεδρο
Κάθετα επίπεδα

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ

Κάθετη ευθεία
Κάθετες πλευρές
Κάθετη ευθεία σε επίπεδο
Κάθετη τομή πρίσματος
Κανόνας
Κατακορυφήν γωνίες
Κατακορυφήν δίεδρες
Κατασκευή
Κεντρική γνωνία
Κέντρο
Κέντρο παραλληλογράμμου
Κέντρο συμμετρίας
Κεντρική συμμετρία
Κέντρο σφαίρας
Κλειστή τεθλασμένη γραμμή
Κοινή εφαπτομένη δύο κύκλων
Κοινή χορδή
Κοινό μέτρο ευθύγραμμων τμημάτων
Κόλουρη πυραμίδα
Κόλουρος κώνος
Κορυφή
Κορυφή πολυέδρου
Κορυφή πυραμίδας
Κορυφή τρίεδρης
Κύκλος
Κύβος (κανονικό εξάεδρο)
Κυκλικό τμήμα
Κυκλικός δίσκος
Κυκλικός τομέας
Κύλινδρος
Κύρια στοιχεία
Κυρτή γωνία
Κυρτή δίεδρη γωνία
Κυρτή τεθλασμένη γραμμή
Κυρτό πολύεδρο
Κυρτό πρίσμα
Κώνος

Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων
Λόγος ομοιότητας

Μέγεθος
Μέγιστος κύκλος σφαίρας
Μέση ανάλογος
Μεσοκάθετο επίπεδο
Μεσοκάθετος
Μεσοπαράλληλος
Μεσοπαράλληλο επίπεδο
Μέσο τόξου
Μέσο τμήματος
Μέτρο γωνίας
Μέτρο τόξου
Μέτρο ή μήκος τμήματος
Μη κυρτή γωνία
Μη κυρτή τεθλασμένη γραμμή
Μηδενική γωνία
Μήκος
Μικρός κύκλος σφαίρας
Μοίρα

Ομόκεντροι κύκλοι
Οξεία γωνία
Οξεία δίεδρη
Οξυγώνιο
Ορθογώνιο
Ορθογώνιοι κύκλοι
Ομοια σχήματα
Ορθή γωνία
Ορθή δίεδρη
Ορθή προβολή (προβολή) σχήματος σε επίπεδο
Ορθογώνιες (ασυμβάτως κάθετες) ευθείες
Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
Ορθόκεντρο τριγώνου
Ορθό παραλληλεπίπεδο
Ορθό πρίσμα

Παρεγγεγραμμένος κύκλος
Παράκεντρο
Παράλληλα επίπεδα
Παράλληλες ευθείες
Παράλληλη ευθεία σε επίπεδο
Παραλληλεπίπεδο
Παραλληλόγραμμο
Παράπλευρες ακμές πρίσματος
Παράπλευρες ακμές πυραμίδας
Παράπλευρες έδρες πρίσματος
Παράπλευρη (κυρτή) επιφάνεια κυλίνδρου
Παράπλευρη επιφάνεια πρίσματος
Παράπλευρη επιφάνεια πυραμίδας
Παράπλευρη επιφάνεια κώνου
Παραπληρωματικές γωνίες
Παραπληρωματικές δίεδρες
Πεντάγωνο
Περιγεγραμμένος κύκλος
Περίμετρος
Περίκεντρο
Περιγεγραμμένο τετράπλευρο
Περιγράψιμο τετράπλευρο
Περίκεντρο τριγώνου
Πλάγια ευθεία σε επίπεδο
Πλάγιο πρίσμα
Πολύγωνο
Πολυεδρική γωνία
Πολυγωνικό χωρίο-επιφάνεια
Πόρισμα
Πρισματική επιφάνεια
Πρίσμα
Προβολή
Πυραμίδα

Ρόμβος

Σημεία
Σημείο τομής (ίχνος) ευθείας και επιπέδου
Σκαληνό τρίγωνο
Συζυγή αρμονικά
Συμπληρωματικές γωνίες
Σύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα
Συμμετρικό σημείο
Συνεπίπεδα σχήματα
Συνεχής αναλογία
Σφαίρα
Σχήμα

Τεθλασμένη
Τέμνουσα κύκλου
Τέταρτη ανάλογος
Τεταρτοκύκλιο
Τετράγωνο
Τετράεδρο
Τετράπλευρο
Τετραγωνισμός
Τομή πρίσματος
Τόξο κύκλου
Τραπέζιο
Τρίεδρη γωνία
Τριγωνική ανισότητα
Τρίγωνο

Υποτείνουσα
Ύψος
Ύψος πρίσματος
Ύψος κυλίνδρου
Ύψος πυραμίδας
Ύψος κώνου

Φορέας

Χορδή τόξου
Χορδή σφαίρας
Χρυσή τομή
Χώρος

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ

Αβικέννα (Avicenna)
Βλ. Ιμπν Σίνα
Αγάνης (Aghanis, περ. 5ος-6ος αι.)
αλ-Αμπχαρί ή αλ-Αμπαχρί (Athir al-Din al-Abhari, πέθανε το 1263)
Αλφόνσο του Βαλλαντολίντ (Alfonso of Valladolid, 1270-1346)
Αμοδέο Φ. (Amodeo F.)
Αμπού Καμίλ (Abu Kamil Shuja ibn Aslam ibn Muhammad ibn Shuja, περ. 850-930)
Αμπούλ-Ουάφα (Mohammad Abu al-Wafa al-Buzjani, 940-997/8)
Απόλλων
Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262-190 π.Χ.)
Αρισταίος (περ. 370-300 π.Χ.)
Αριστοτέλης ο Σταγειρίτης (384-322 π.Χ.)
Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (περ. 287-212 π.Χ.)
Αρχύτας ο Ταραντίνος (περ. 400-360 π.Χ.)

Βάντσελ Πιερ Λοράν (Wantzell Pierre Laurent, 1814-1848) Βέμπερ Χέινριχ (Weber Heinrich, 1842-1913)
Βιέτ Φρανσουά (Viete Francois, 1540-1603)
Βιτέλο (Vitelo, περ. 1225-1280)

Γ Γερσωνίδης (Gersonides ή Levi ben Gerson, 1288-1344)
Γκαλουά Εβαρίστ (Galois Evariste, 1811-1832).
Γκούριεφ Σιμεόν Ε. (Gur'ev S.E. 17647-1813)
Γκρισογκόνο Φεντερίκ Μπ. (Grisogono Federik Β, 1472-1538)

Διόδωρος (1ος αι. π.Χ.)
Διοκλής (περ. 240-180 π.Χ.)

Ε Εμπεδοκλής (περ. 492-432 π.Χ.)
Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (περ. 276-194 π.Χ.)
Ερμίτ Σαρλ (Charles Hermite, 1822-1901)
Εύδοξος ο Κνίδιος (περ. 408-355 π.Χ.)
Ευκλείδης (περ. 325-265 π.Χ.)
Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (περ. 480-540 μ.Χ.)

Ζιράρ Αλμπέρ (Girard Albert, 1595-1632)

Ήρων ο Αλεξανδρινός (περ. 10-75 μ.Χ.)

Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα (Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani, 826-901)
Θεαίτητος (περ. 415-368 π.Χ.)
Θεόδωρος ο Κυρηναίος (465-398 π.Χ.)

Ιμπν αλ Χάίθάμ (Abu Ali al-Hasan ibn al Haytham, περ. 965-1039)
Ιμπν Σίνα (Abu Ali al-Husain ibn Abdallah ibn Sina, 980-1037)
Ιππίας ο Ηλείος (460-400 π.Χ.)
Ιπποκράτης ο Χίος (περ. 470-410 π.Χ.)

Καμπανός του Νοβάρα (Johannes Campanus of Novara, ακμ. περ. 1260)
Κάντορ Γκέοργκ (Cantor Georg, 1845 -1918)
Καρντάνο Ιερώνυμος (Cardano Hieronimo, 1501-1576)
αλ-Κασί (Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud Al-Kashi, περ. 1380- 1429)
Κατάλντι Πιέτρο A. (Cataldi Ρ.Α., 1548-1626)
Κέπλερ Ιωάννης (Kepler Johann, 1571-1630)
Αλ-Κιντί (Abu Yusuf Yaqub ibn Ishaq al-Sabbah al-Kindi, περ. 801-873)
Κλάβιος Χριστόφορος (Clavius (Schliissel), 1537-1612)
Κλάουζεν Τόμας (Clausen Thomas, 1801-1885).

Λάιμπνιτς Γκότφριντ Βίλχελμ (Leibniz Gottfried Wilhelm, 1646-1714)
Λάμπερτ Γιόχαν Χάινριχ (Lambert Johann Heinrich 1728-1777)
Λεζάντρ Αντριέν Μαρί (Legendre Adrien Marie, 1752-1833)

Λεονάρδος της Πίζας (Leonardo of Pisa = Fibonacci, περ. 1180-1250)
Λεονάρντο ντα Βίντσι (Leonardo da Vinci, 1452-1519)
Λομπατσέφσκι Νικολάι I. (Lobachevsky Nikolai I., 1793-1856)
Λούκας Φρανσουά Εντουάρντ Ανατόλ (Lucas Francois Edouard Anatole, 1848-1891)

αλ-Μαγκριμπί (Muhyi l'din al-Maghribi, περ. 1220-1283)
Μέναιχμος (περ. 380-320 π.Χ.)
Μιρίτ Τσελεμπί (Mint Chelebi πέθανε το 1525 περίπου)
Μόνζ Γκασπάρ (Monge Gaspard, 1746-1818)
Μπερτράν Λουί (Bertrand Louis, 1731-1812)
Μπινέ Ζακ Φιλίπ Μαρί (Binet Jacques Philippe Marie, 1786-1856)
αλ-Μπιρουνί (Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni, 973-περ. 1048)
Μπόλυαϊ Γιάνος (Bolyai Janos, 1802-1860)
Μπόλυαΐ Φαρκάς (Bolyai Farkas, 1775-1856)
Μπορέλλι Τζιοβάνι Αλφόνσο (Borelli Giovanni Alfonso, 1608-1679)

αλ-Ναϊριζί (Abu'l Abbas al-Fadl ibn Hatim al-Nayrizi, περ. 865-922)
αλ-Ναντίμ, Ιμπν (Muhammad ibn Ishaq ibn Abi Ya'qub al-Nadim, πέθανε το 993)
Νασίρ αντ-Ντιν αλ Τουσί (Nasir al-Din al-Tusi, 1801-1274)
Νικομήδης (280-210 π.Χ.)
ντα Βίντσι βλ. Λεονάρντο ντα Βίντσι Ντεζάργκ Ζιράρ (Desargues Gerard, 1593-1662)
Ντεκάρτ Ρενέ ή Καρτέσιος (Descartes Rene, 1596-1650)
ντελλα Φραντσέσκα Πιέρο (della Francesca Piero, περ. 1414-1492)
Ντοροντνόφ Α.Β. (Dorodnov A.V.)

Ο Όυλερ Λεονάρντ (Euler Leonhard, 1707-1783)
Ουλουγκμπέκ Μ.Τ. (Ulugh Beg Mohammed Targai, 1394-1449)
Ουώλλις Τζον (Wallis John, 1616-1703)

Πάππος (περ. 290-350 μ.Χ.)

Πασκάλ Μπλαιζ (Pascal Blaise, 1623-1662)
Πατσόλι Λουκά (Pacioli Luca, 1445-περ. 1514)
Πλάτων (429-348 π.Χ.)
Πλούταρχος (ακμ. περ. 50-100 μ.Χ.)
Πονσελέ Βίκτωρ (Poncelet Victor, 1788-1867)
Ποσειδώνιος ο Ρόδιος (135-51 π.Χ.)
Πρόκλος (412-485)
Πτολεμαίος Κλαύδιος (περ. 85-165)
Πυθαγόρας ο Σάμιος (περ. 569-475 π.Χ.)

Ράμος Πέτρος (Petrus Ramus ή Pierre de la Ramee)
Αλ-Ρουμί (Jalal ad-Din al-Rumi ή Mawlana, 1207-1273)

Σακκέρι Τζιρόλαμο (Saccheri Girolamo, 1667-1733)
Σιμπλίκιος (490-560)
Σίμπσον Τόμας (Simpson Thomas, 1710-1761)
αντ-Ντιν ασ-Σιραζί (Sadr ad-Din as-Shirazi, 1236-1311)

αλ-Τζαουχαρί (al-Abbas ibn Said al-Jawhari, 9ος αι.)
Τζορντάνο Βιτάλε (Giordano Vitale, 1633-1711)
Τσεμποταριόφ Νικολάι Γκ. (Chebotarev N.G., 1894-1947)

Υψικλής (2ος αι. π.Χ.)

Φιμπονάτσι (Fibonacci)
βλ. Λεονάρδος της Πίζας
Φιν Ορόνς ή Φινέος Ορόντιος (Fine Oronce ή Finaeus Orontius, 1494-1555)

αλ-Χαγιάμ Ομάρ (al-Khayyam Omar, περ. 1050-1130)
αλ-Χαναφί (al-Hanafi, 1178-1258)
αλ-Χουαρίζμι (Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizml, περίπου 780-850)

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ

1) Αλιμπινίση Α., Δημάκου Γ., κ.ά., Θεωρητική γεωμετρία Β' Λυκείου, ΟΕΔΒ.
2) F.G.-M., Ασκήσεις Γεωμετρίας (Ιησουϊτών), μετάφραση στα ελληνικά Δ. Γκιόκα,
Εκδόσεις Καραββία, τόμοι 1-4, Αθήνα, 1952.
3) Ιωαννίδη I., Γεωμετρία, Εκδόσεις Κορφιάτη, τόμοι 1-12, Αθήναι, 1973.
4) Ιωαννίδη Ι., Επίπεδος Γεωμετρία, Εκδόσεις Π. Γρηγορόπουλου.
5) Κανέλλου Σ. Γ., Ευκλείδειος Γεωμετρία, ΟΕΔΒ, 1976.
6) Κισκύρα Ν.Α., Θεωρήματα και Προβλήματα Γεωμετρίας, 1957.
7) Νικολάου Ν., Θεωρητική Γεωμετρία, ΟΕΔΒ, 1973.
8) Νικολάου Ν., Μεγάλη Γεωμετρία, Αθήναι.
9) Ντάνη I., Γεωμετρία Τεύχη 1-2.
10) Πάλλα Α., Μεγάλη Γεωμετρία.
11) Πανάκη I. P., Γεωμετρία του Τριγώνου, Εκδόσεις Gutenberg.
12) Παπαμιχαήλ Δ., Σκιαδά Α., Θεωρητική Γεωμετρία, ΟΕΔΒ.
13) Παπανικολάου Γ., Θεωρητική Γεωμετρία, Αθήναι.
14) Σταμάτη Ε., Ευκλείδεια Γεωμετρία, τόμοι I - III, ΟΕΣΒ, αρχαίο κείμενο και μετάφραση των Στοιχείων του Ευκλείδη, ΟΕΣΒ, Αθήνα, 1975.
15) Τσαρούχη Χ., Θεωρήματα και Προβλήματα Γεωμετρίας, 1969.
16) Τόγκα Π. Γ., Θεωρητική Γεωμετρία.
17) Τόγκα Π. Γ., Ασκήσεις και Προβλήματα Γεωμετρίας.
18) Τσίντσιφα Γ., Γεωμετρία, Εκδόσεις Σύγχρονου Βιβλιοπωλείου.

ΞΕΝΗ

1) Berger Μ., Pansu P., Berry J., Saint-Raymond X., Problems in Geometry, Springer-Verlag, 1984.
2) Blumenthal L.M., A modern view of geometry, Dover, N.Y 1961.
3) Bonola R., Non-Euclidean Geometry, Dover, 1955.
4) Caronnet Th., Exercices de Geometrie, 8eme edition, Librairie Vuibert, 1-7 livres, Paris.
5) Coxeter H., Introduction to Geometry, Wiley & Sons Inc, N.Y. 1969.
6) Coxeter H. and Greitzer S., Geometry Revisited, MAA, 1975.
7) Dorrie H., 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Pub. Inc, N.Y., 1965.
8) Eves H., A survey of Geometry, Allyn of Bacon Inc, Boston, 1974.
9) Forder H., The Foundations of Euclidean Geometry, Dover, 1958.
10) Hollinger Α., Problemes de Geometrie, Bucurest.
11) Jacobs H., Geometry, W. H. Freeman & Co.
12) Knorr W.R., The Ancient Tradition of Geometric Problems, Dover, N.Y. 1986.
13) Lebosse G., Hemery G., Geometrie, 1960.
14) Ogilvy C.S., Excursions in Geometry, Dover Pub. Inc., N.Y. 1969.
15) Posamentier Α., Salkid Ch., Challenging Problems in Geometry, Dover Pull. Inc., 1970.
16) Sved M., Journey into Geometries, MAA, 1991.
17) Tuller Α., Introduction to Geometries, Van Nostrand Reinhold, 1967.
18) Yale P. B., Geometry and Symmetry, Dover Pub. Inc., N.Y., 1968.

Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ).

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.