ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΗΛΙΑΣ
ΒΛΑΜΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
ΚΑΤΣΟΥΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ
ΜΑΡΚΑΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ
ΣΙΔΕΡΗΣ ΠΟΛΥΧΡΟΝΗΣ

ΑΝΑΔΟΧΟΣ ΕΡΓΟΥ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ
ΑΘΗΝΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΟΜΑΔΑ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ

Αργυρόπουλος Ηλίας
Διδάκτωρ Μαθηματικών Ε.Μ.Πολυτεχνείου
Καθηγητής Β/θμιας Εκπαίδευσης

Βλάμος Παναγιώτης
Διδάκτωρ Μαθηματικών Ε.Μ.Πολυτεχνείου

Κατσούλης Γεώργιος
Μαθηματικός

Μαρκάτης Στυλιανός
Επίκουρος Καθηγητής Τομέα Μαθηματικών Ε. Μ. Πολυτεχνείου

Σίδερης Πολύχρονης
Μαθηματικός, τ. Σχολικός Σύμβουλος

Ιστορικά Σημειώματα: Βανδουλάκης Ιωάννης
Διδάκτωρ Πανεπιστημίου Μ. Lomonosov Μόσχας
Ιόνιο Πανεπιστήμιο

Φιλολογική Επιμέλεια: Δημητρίου Ελένη

Επιλογή εικόνων: Παπαδοπούλου Μπία

Εικονογράφηση - Σελιδοποίηση: Αλεξοπούλου Καίτη

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Η «Ευκλείδεια Γεωμετρία» έχει ένα διττό ρόλο να εκπληρώσει: να μυηθεί ο μαθητής στη συλλογιστική την οποία εκφράζει το αξεπέραστο λογικό-επαγωγικό σύστημα του Ευκλείδη και να ανταποκριθεί στις σύγχρονες εκπαιδευτικές επιταγές.
Το βιβλίο αυτό, σύμφωνο με τα πλαίσια συγγραφής που έθεσε το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, ευελπιστεί ότι θα οδηγήσει τους μαθητές του Λυκείου να γνωρίσουν την αυστηρή αλλά και λιτή μαθηματική γλώσσα, ελπίζοντας ότι θα συνεισφέρει στη μαθηματική παιδεία του τόπου, αναπτύσσοντας το ρεαλισμό της μαθηματικής λογικής και σκέψης.
Το έργο αυτό είναι αποτέλεσμα της συλλογικής προσπάθειας μιας ομάδας μαθηματικών, οι οποίοι αποδεχόμενοι την πρόσκληση του Α.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας εργάστηκαν συστηματικά για την πραγματοποίησή του.
Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε θερμά: το Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας για τη βοήθεια που μας πρόσφερε σε όλη τη διάρκεια της συγγραφής του έργου, τον Καθηγητή του Ε.Μ.Πολυτεχνείου κ. Ευγένιο Αγγελόπουλο για τις σημαντικές του παρατηρήσεις στη διαμόρφωση του βιβλίου και τα μέλη της επιτροπής κρίσης που με τις εύστοχες παρατηρήσεις τους βοήθησαν στην τελική μορφή αυτού του έργου.

Οι συγγραφείς

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1o
1.1

1.2

Κεφάλαιο 2o
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8

2.9

2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18

2.19
2.20

Κεφάλαιο 3o
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

3.7
3.8
3.9
3.10

Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
Ιστορική αναδρομή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωμετρίας
Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα
Σημεία, γραμμές και επιφάνειες
Το επίπεδο
Η ευθεία
Η ημιευθεία
Το ευθύγραμμο τμήμα
Μετατοπίσεις στο επίπεδο
Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων
Πράξεις μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων
Μήκος ευθύγραμμου τμήματος - Απόσταση δυο σημείων
Σημεία συμμετρικά ως προς κέντρο
Ημιεπίπεδα
Η γωνία
Σύγκριση γωνιών
Ευθεία κάθετη από σημείο σε ευθεία
Πράξεις μεταξύ γωνιών
Είδη και απλές σχέσεις γωνιών
Έννοια και στοιχεία του κύκλου
Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου
Μέτρο τόξου και γωνίας
Τεθλασμένη γραμμή-Πολύγωνο- στοιχεία πολυγώνων
Τρίγωνα
Είδη και στοιχεία τριγώνων
1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων
Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος
Κεντρική συμμετρία
Αξονική συμμετρία
Σχέση εξωτερικής και απέναντι γώνιας

3.11

3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
Κεφάλαιο 4o
4.1
4.2

4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Κεφάλαιο 5o
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9

5.10
5.11
5.12

Κεφάλαιο 6o
6.1
6.2

6.3
6.4

6.5
6.6
6.7

Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών
Τριγωνική ανισότητα
Κάθετες και πλάγιες
Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου
Εφαπτόμενα τμήματα
Σχετικές θέσεις δύο κύκλων
Απλές γεωμετρικές κατασκευές
Βασικές κατασκευές τριγώνων
Παράλληλες ευθείες
Εισαγωγή
Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα
Κατασκευή παράλληλης
Γωνίες με πλευρές παράλληλες
Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου
Άθροισμα γωνιών τριγώνου
Γωνίες με πλευρές κάθετες
Άθροισμα γωνιών κυρτού
Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια
Εισαγωγή
Παραλληλόγραμμα
Ορθογώνιο
Ρόμβος
Τετράγωνο
Εφαρμογές στα τρίγωνα
Βαρύκεντρο τριγώνου
Το ορθόκεντρο τριγώνου
Μια ιδιότητα του ορθογωνίου τριγώνου
Τραπέζιο
Ισοσκελές τραπέζιο
Αξιοσημείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου
Εγγεγραμμένα σχήματα
Εισαγωγικά - Ορισμοί
Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης
Γωνία χορδής και εφαπτομένης
Βασικοί γεωμετρικοί τόποι στον κύκλο
Το εγγεγραμμένο τετράπλευρο
Το εγγράψιμο τετράπλευρο
Γεωμετρικοί τόποι και γεωμετρικές κατασκευές με τη Βοήθεια των γεωμετρικών τόπων

Κεφάλαιο 7o
7.1
7.2

7.3

7.4

7.5
7.6

7.7
7.8
7.9
Κεφάλαιο 8o
8.1
8.2
Κεφάλαιο 9o
9.1
9.2
9.3
9.4

9.5
9.6
9.7
Κεφάλαιο 10o
10.1
10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

Κεφάλαιο 11o
11.1
11.2

11.3

11.4

Αναλογίες
Εισαγωγή
Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα μέρη
Γινόμενο ευθυγράμμου τμήματος με αριθμό - Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων
Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα- Αναλογίες
Μήκος ευθυγράμμου τμήματος
Διαίρεση τμημάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσμένο λόγο
Θεώρημα του Θαλή
Θεωρήματα των διχοτόμων τριγώνου
Απολλώνιος Κύκλος
Ομοιότητα
Όμοια ευθύγραμμα σχήματα
Κριτήρια ομοιότητας
Μετρικές σχέσεις
Ορθές προβολές
Το Πυθαγόρειο θεώρημα
Γεωμετρικές κατασκευές
Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος
Θεωρήματα Διαμέσων
Βασικοί γεωμετρικοί τόποι
Τέμνουσες κύκλου
Εμβαδά
Πολυγωνικά χωρία
Εμβαδόν ευθύγραμμου σχήματος - Ισοδύναμα ευθύγραμμα σχήματα
Εμβαδόν βασικών ευθύγραμμων σχημάτων
Άλλοι τύποι για το εμβαδόν
τριγώνου
Λόγος εμβαδών ομοίων τριγώνων - πολυγώνων
Μετασχηματισμός πολυγώνου σε ισοδύναμο του
Μέτρηση Κύκλου
Ορισμός κανονικού πολυγώνου
Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων
Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους
Προσέγγιση του μήκους του κύκλου με κανονικά πολύγωνα

11.5
11.6

11.7

11.8
Κεφάλαιο 12o
12.1
12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

Κεφάλαιο 13o
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8

13.9

13.10
13.11
13.12
13.13
13.14
13.15
13.16
13.17

13.18
13.19

Μήκος τόξου
Προσέγγιση του εμβαδού κύκλου με
κανονικά πολύγωνα
Εμβαδόν κυκλικού τομέα και κυκλικού τμήματος
Τετραγωνισμός κύκλου
Ευθείες και επίπεδα στο χώρο
Εισαγωγή
Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισμός του
Σχετικές θέσεις ευθειών
και επιπέδων
Ευθείες και επίπεδα παράλληλα-
Θεώρημα του Θαλή
Γωνία δύο ευθειών - ορθογώνιες ευθείες
Απόσταση σημείου από επίπεδο - απόσταση δύο παράλληλων επιπέδων
Δίεδρη γωνία - αντίστοιχη επίπεδη μιας δίεδρης - κάθετα επίπεδα
Προβολή σημείου και ευθείας σε επίπεδο - Γωνία ευθείας και επιπέδου
Στερεά σχήματα
Περί πολυέδρων
Ορισμός και στοιχεία του πρίσματος
Παραλληλεπίπεδο, κύβος
Μέτρηση πρίσματος
Ορισμός και στοιχεία πυραμίδας
Κανονική πυραμίδα - τετράεδρο
Μέτρηση πυραμίδας
Ορισμός και στοιχεία κόλουρης πυραμίδας
Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραμίδαςτριγώνου
Στερεά εκ περιστροφής
Ορισμός και στοιχεία κυλίνδρου Μέτρηση κυλίνδρου
Ορισμός και στοιχεία κώνου
Μέτρηση του κώνου
Κόλουρος κώνος
Ορισμός και στοιχεία σφαίρας
Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα
Μέτρηση σφαίρας
Κανονικά πολύεδρα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩN ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΗΛΙΑΣ ΒΛΑΜΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΑΤΣΟΥΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΑΡΚΑΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΣΙΔΕΡΗΣ ΠΟΛΥΧΡΟΝΗΣ