3

Τρίγωνα

Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούμαστε με το πλέον θεμελιώδες σχήμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, που είναι το τρίγωνο. Αρχικά δίνουμε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. Ως εφαρμογή των κριτηρίων αυτών παρουσιάζουμε ιδιότητες των στοιχείων του κύκλου, των ισοσκελών τριγώνων, της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος και της διχοτόμου μιας γωνίας. Η μεσοκάθετος και η διχοτόμος εξετάζονται και ως βασικοί γεωμετρικοί τόποι. Στη συνέχεια αναφέρουμε συνοπτικά την έννοια της συμμετρίας ως προς κέντρο και άξονα και μελετάμε ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο και τις εφαρμογές τους στη σύγκριση κάθετων και πλάγιων τμημάτων. Επίσης, παρουσιάζουμε τις σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου, καθώς και τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων. Το κεφάλαιο κλείνει με κάποιες βασικές γεωμετρικές κατασκευές.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Ο Θησαυρός των Αθηναίων στους Δελφούς

Ο Θησαυρός των Αθηναίων στους Δελφούς, 508 π.Χ.
Αναπαράσταση A. Tournaire

ΤΡΙΓΩΝΑ

3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων

Ένα τρίγωνο ΑΒΓ (σχ.1) έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες ΒAΓ, ΑBΓ και ΒΓΑ. Για ευκολία οι πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ συμβολίζονται με α, β, γ αντίστοιχα, και οι γωνίες ΒAΓ, ΑBΓ και ΒΓΑ με A, B και Γ. Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Το άθροισμα α + β + γ των πλευρών του τριγώνου, δηλαδή η περίμετρός του συμβολίζεται συνήθως με 2τ. Συγκρίνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου, μεταξύ τους, προκύπτουν τρία είδη τριγώνων: το σκαληνό, το ισοσκελές και το ισόπλευρο. Έτσι, ένα τρίγωνο λέγεται:
• σκαληνό , όταν έχει όλες τις πλευρές του άνισες (σχ.2),
• ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές του ίσες (σχ.3). Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η πλευρά ΒΓ λέγεται βάση του και το Α κορυφή του,
• ισόπλευρο, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες (σχ.4).

Ένα τρίγωνο, ανάλογα με το είδος των γωνιών του, λέγεται
• οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες (σχ.5),
• ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή (σχ.6). Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο λέγονται κάθετες πλευρές του τριγώνου,
• αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία (σχ.7).

• Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

• Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Στο σχ.8 το ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά α του τριγώνου ΑΒΓ και συμβολίζεται με μ_α. Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ συμβολίζονται με μ_β και μ_γ αντίστοιχα.

• Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. Στο σχ.9 το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας A του τριγώνου και συμβολίζεται με δ_α. Οι διχοτόμοι των γωνιών B και Γ του τριγώνου συμβολίζονται με δ_β και δ_γ αντίστοιχα.

Σχήμα 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σχήμα 8

Σχήμα 9

Σχήμα 10

ΣΧΟΛΙΟ
Η συντομογραφία ΠΓΠ σημαίνει πλευρά, γωνία, πλευρά.

Σχήμα 11

Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμβολίζονται αντίστοιχα με υ_α, υ_β και υ_γ.

Στο σχ.10 το ΑΔ είναι το ύψος από την κορυφή Α. Το σημείο Δ λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία ΒΓ.
Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία του.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

Είδαμε ότι δύο ευθύγραμμα σχήματα, επομένως και δύο τρίγωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτίζονται. Συνεπώς:
• Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.
• Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα.

Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες.
Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις, που θα μας εξασφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους.
Οι προτάσεις αυτές αποτελούν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Θεώρημα I (1ο Κριτήριο – ΠΓΠ )

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα.

3.2 1ο Κριτήριο Ισότητας τριγώνων

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' έχουν ΑΒ = Α'Β', ΑΓ = Α'Γ' και A= A΄ (σχ.11). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο Α'Β'Γ', ώστε το σημείο Α' να ταυτιστεί με το Α και η ημιευθεία Α'Β' να ταυτιστεί με την ΑΒ. Επειδή A= A΄ και η ημιευθεία Α'Γ' θα ταυτισθεί με την ΑΓ. Τότε, αφού ΑΒ = Α'Β' και ΑΓ = Α'Γ', το σημείο Β' ταυτίζεται με το Β και το Γ' με το Γ. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν, άρα είναι ίσα.

ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΟΡΙΣΜΑ Ι

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:
• Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες.
• Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος.

Απόδειξη

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ (σχ.12). Φέρουμε τη διχοτόμο του ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ έχουν ΑΒ = ΑΓ, ΑΔ κοινή και A₁ = A₂ (ΠΓΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε B = Γ.
Από την ίδια ισότητα τριγώνων προκύπτει ότι ΒΔ = ΔΓ, οπότε η ΑΔ είναι διάμεσος και Δ₁ = Δ₂. Από την τελευταία ισότητα και επειδή Δ₁ + Δ₂ = 180° προκύπτει ότι Δ₁ = Δ₂ = 90°, οπότε συμπεραίνουμε ότι το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου.

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ

Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες.

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙΙ

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.

Απόδειξη

Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ (σχ.13) και Μ ένα σημείο της. Τα τρίγωνα ΜΚΑ και ΜΚΒ έχουν ΚΑ=ΚΒ, ΜΚ κοινή και Κ₁ = Κ₂ = 90° (ΠΓΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε ΜΑ= ΜΒ.

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙV

Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες.

Απόδειξη

Έστω ΑΒ και ΓΔ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ο,ρ) (σχ.14). Τότε είναι ΑÔΒ = ΓÔΔ. Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ έχουν ΟΑ = ΟΓ(= ρ), ΟΒ = ΟΔ(= ρ) και ΑÔΒ = ΓÔΔ. Επομένως είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΓΔ.

Σχήμα 12

Σχήμα 13

Σχήμα 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, η μεσοκάθετός του ε και σημείο Μ της ε (σχ.15). Στις προεκτάσεις των ΑΜ και ΒΜ ρος το Μ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Γ, Δ, ώστε ΜΓ = ΜΔ. Να αποδείξετε ότι:
(i)MΑB = MΒA,
(ii) ΑΔ = ΒΓ.

Λύση

Σχήμα 15

(i) Επειδή το Μ είναι σημείο της μεσοκαθέτου ε του ΑΒ είναι ΜΑ= ΜΒ, επομένως το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές, οπότε MΑB = MΒA.
(ii) Τα τρίγωνα ΜΑΔ και ΜΒΓ έχουν ΜΑ = ΜΒ, ΜΓ = ΜΔ (υπόθεση) και Μ₁ = Μ₂ (κατακορυφήν), άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα, οπότε ΑΔ = ΒΓ.

ΣΧΟΛΙΟ
H ισότητα τριγώνων είναι η βασική μέθοδος για την απόδειξη της ισότητας τμημάτων ή γωνιών.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1.Στο εξωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα ΑΑ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ, ώστε ΒΑΔ = ΓΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΑ.
2.Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και στις προεκτάσεις τους θεωρούμε τμήματα ΒΚ = ΓΛ = ΑΜ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.
3.Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι.
4.Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της Α στην οποία θεωρούμε τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΑΓΕ = ΑΖΒ.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Κ σημείο εξωτερικό του τριγώνου. Αν στις προεκτάσεις των ΑΚ, ΒΚ, ΓΚ θεωρήσουμε τμήματα ΚΔ = ΑΚ, ΚΕ = ΒΚ, ΚΖ = ΓΚ, να αποδείξετε ότι
ΕΔΖ = ΒΑΓ.
2.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ, ΓΑ θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΑ, ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΑΕ είναι ισοσκελές.
3.Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή του ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο της άκρα, κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι
ΟΓΑ = ΟΔΒ.

ΤΡΙΓΩΝΑ

3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Με τη βοήθεια του 1ου κριτηρίου αποδεικνύουμε το 2ο και 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων.

Θεώρημα (2ο Κριτήριο – ΓΠΠ )

Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Απόδειξη

Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' (σχ.16) έχουν ΒΓ = Β'Γ', B= B' και Γ= Γ'.
Θα αποδείξουμε ότι έχουν και ΑΒ = Α'Β'. Έστω ότι AB ≠ Α'Β', π.χ. ΑΒ > Α'Β'. Τότε υπάρχει σημείο Δ στην ΑΒ, ώστε να είναι ΒΔ = Β'Α'. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και Α'Β'Γ' έχουν ΒΓ = Β'Γ', ΒΔ = Β'Α' και B= B', επομένως (ΠΓΠ) είναι ίσα, οπότε ΒΓΔ = Γ'.
Αλλά Γ' = Γ, οπότε ΒΓΔ=Γ που είναι άτοπο, γιατί το Δ είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας ΑΓΒ και επομένως
ΒΓΔ < Γ. Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι
ΑΒ ≠ Α'Β', άρα ΑΒ =Α'Β'. Τα τρίγωνα, λοιπόν, ΑΒΓ και Α'Β'Γ έχουν ΒΓ = Β'Γ', ΑΒ = Α'Β' και B = B', άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα.

* Σημείωση: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί και με τη μέθοδο της μετατόπισης, όπως το θεώρημα I (σελ. 36).

3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Θεώρημα (3ο Κριτήριο – ΠΠΠ )

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Απόδειξη

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' με ΑΒ = Α'Β', ΒΓ = Β'Γ', ΓΑ = Γ'Α' (σχ.17). Αρκεί να αποδείξουμε ότι A= A΄. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια. Θεωρούμε την ημιευθεία Βx, ώστε ΓBx = B' (σχ.17) και σημείο της Δ, ώστε ΒΔ = Α'Β'. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και Α'Β'Γ' είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = Β'Γ', ΒΔ = Α'Β' και ΓBΔ= B'. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΓΔ = Γ'Α' και Δ = A΄.

ΣΧΟΛΙΟ
Η συντομογραφία ΓΠΠ σημαίνει γωνία, πλευρά, πλευρά.

Σχήμα 16

ΣΧΟΛΙΟ
Η συντομογραφία ΠΠΠ σημαίνει πλευρά, πλευρά, πλευρά.

Σχήμα 17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σχήμα 18

Σχήμα 19

Επειδή ΒΔ = Α'Β' και Α'Β' = ΑΒ, το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές, οπότε
A₁=Δ₁ (1).
Επίσης, αφού ΓΔ = Α'Γ' και Α'Γ' = ΑΓ, προκύπτει ότι
A₂= Δ₂ (2).
Επειδή τα τρίγωνα είναι οξυγώνια το τμήμα ΑΔ βρίσκεται στο εσωτερικό των γωνιών A και Δ, οπότε με πρόσθεση των (1) και (2) προκύπτει ότι A= Δ. Επειδή
Δ = A΄, έχουμε A= A΄, που είναι το ζητούμενο.

Δραστηριότητα

Εξετάστε τις άλλες δύο περιπτώσεις της απόδειξης του 3ου Κριτηρίου:

i) Β > 90° και Β'> 90°.
ii) Β= 90° και Β' = 90°.

Με τη βοήθεια του κριτηρίου ΠΠΠ αποδεικνύονται τα επόμενα πορίσματα.

ΠΟΡΙΣΜΑ I

H διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος.

Απόδειξη

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ η διάμεσός του (σχ.18). Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ, ΑΔ κοινή και ΒΔ=ΔΓ, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα, οπότε A₁ = A₂, και Δ₁ = Δ₂. Από τις ισότητες αυτές προκύπτει αντίστοιχα ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος και ύψος.

ΠΟΡΙΣΜΑ II

Κάθε σημείο πού ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του.

Απόδειξη

Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (σχ.19), Μ ένα σημείο, ώστε ΜΑ = ΜΒ και Κ το μέσο του ΑΒ. Τότε το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές και η ΜΚ διάμεσός του, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα, η ΜΚ θα είναι και ύψος δηλαδή η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ.

ΤΡΙΓΩΝΑ

Από το παραπάνω πόρισμα και το πόρισμα IΙI του θεωρήματος I (§3.2) προκύπτει ότι η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Δραστηριότητα

Να βρεθεί σημείο που ισαπέχει από τις κορυφές ενός τριγώνου

ΠΟΡΙΣΜΑ III

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα

Απόδειξη

Έστω δύο τόξα ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου (Ο,ρ) μικρότερα του ημικυκλίου, με ΑΒ = ΓΔ. Τότε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ (σχ.20) έχουν: ΟΑ= ΟΓ (= ρ), ΟΒ = ΟΔ (= ρ) και ΑΒ = ΓΔ, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα. Επομένως, ΑΟΒ = ΓΟΔ, οπότε ΑΒ = ΓΔ.

ΠΟΡΙΣΜΑ IV

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα.

Σχήμα 20

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Από τα πορίσματα III και IV προκύπτει ότι για να κατασκευάσουμε ίσα τόξα πάνω σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους αρκεί να πάρουμε, με το διαβήτη, ίσες χορδές.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Όλες οι παραπάνω περιπτώσεις ισότητας τριγώνων διατυπώνονται συνοπτικά ως εξής:
Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
• δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ),

• μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ),

• και τις τρεις πλευρές ίσες μία προς μία (ΠΠΠ).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η

Θεωρούμε γωνία xÔy και δύο κύκλους (Ο,ρ), (Ο,R) με ρ<Κ (σχ.21). Αν ο πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές Οx, Oy στα Α, Β, ο δεύτερος στα Γ, Δ και Μ είναι το σημείο τομής των ΑΔ, ΒΓ, να αποδειχθεί ότι:
(i) τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ είναι ίσα,
(ii) τα τρίγωνα ΜΑΓ και ΜΒΔ είναι ίσα,
(iii) τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσα,
(iv) η OM είναι η διχοτόμος της xÔy.

Σχήμα 21

Απόδειξη

(i) Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ έχουν ΟΑ = ΟΒ (= ρ), ΟΓ = ΟΔ(= R) και Ο κοινή (ΠΓΠ),
επομένως είναι ίσα.

(ii) Από την προηγούμενη ισότητα προκύπτει ότι Α₁ = Β₁ ή 180 ° - Α₂ = 180 ° - Β₂ ή
Α₂ = Β₂ και Γ₁ = Δ₁ Επομένως, τα τρίγωνα ΜΑΓ και ΜΒΔ έχουν ΑΓ = ΒΔ, Α₂ = Β₂ και
Γ₁ = Δ₁ (ΓΠΓ), άρα είναι ίσα.

(iii)Από το (ii) προκύπτει ότι ΜΑ=ΜΒ, οπότε τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ έχουν ΟΑ = ΟΒ,
ΜΑ = ΜΒ και ΟΜ κοινή (ΠΠΠ), άρα είναι ίσα.

(iv) Επειδή τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσα, έχουμε ότι Ô₁ = Ô₂ , δηλαδή η ΟΜ είναι
η διχοτόμος της xÔy.

ΣΧΟΛΙΟ
Η εφαρμογή 1 δίνει έναν τρόπο κατασκευής της διχοτόμου μιας γωνίας.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' έχουν β = β', γ = γ' και μ_β = μ_β'. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

Απόδειξη

Εξετάζουμε πρώτα τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α'Β'Μ' (σχ.22). Αυτά έχουν ΑΒ = Α'Β', ΒΜ= Β'Μ' (από την υπόθεση) και ΑΜ =Α'Μ', ως μισά των ίσων πλευρών ΑΓ και Α'Γ'. Άρα, τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α'Β'Μ' είναι ίσα (ΠΠΠ), οπότε Α = Α'. Επομένως, τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β 'Γ' έχουν β = β', γ = γ' και Α =Α', άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα.

Σχήμα 22

ΤΡΙΓΩΝΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις:
i) Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν μία γωνία του είναι οξεία. Σ Λ
ii) Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο πλευρές του είναι άνισες. Σ Λ
2. Διατυπώστε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.
3. Συμπληρώστε τα κενά:
i) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ..................................................................
ii) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι .............................................................
iii) Ένα σημείο Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός τμήματος ΑΒ, όταν ...........................................................................
iv) Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν .........................
............................................................................................

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' έχουν β = β', γ = γ' και
Α = Α'. Αν I είναι το σημείο τομής των διχοτόμων ΑΔ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ και I' το σημείο τομής των διχοτόμων
Α 'Δ ' και ΒΈ' του Α'Β'Γ' να αποδείξετε ότι:
i) ΑΔ = Α'Δ' και ΒΕ = Β'Ε'
ii) ΑΙ = ΑΙ' και ΒI = Β'Ι'.
2. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' έχουν β = β', Α = Α' και
δα = δα'. Να αποδείξετε ότι:
Γ = Γ', α = α' και γ = γ'.
3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι ίσα.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
2. Αν ΑΑ', ΒΒ' και ΓΓ' είναι τρεις διάμετροι κύκλου (βλ. σχήμα), να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι ίσα.

3. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = ΓΔ και
Β= Γ. Να αποδείξετε ότι Α = Δ.

Σύνθετα θέματα

1. Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ'. Η διάμεσος ΑΜ και η διχοτόμος ΒΔ του ΑΒΓ τέμνονται στο Θ, ενώ η αντίστοιχη διάμεσος Α'Μ' και η αντίστοιχη διχοτόμος Β'Δ' του Α'Β'Γ' τέμνονται στο Θ'. Να αποδείξετε ότι: i) ΒΔ = Β'Δ', ii) ΒΑΜ = Β'Α'Μ', iii) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και Α'Β'Θ' είναι ίσα, iv) ΑΘ = ΑΘ' και ΘΔ = Θ'Δ'.
2. Δύο τμήματα ΑΒ και ΓΔ έχουν την ίδια μεσοκάθετο ε. Αν η ε και η μεσοκάθετος του ΑΓ τέμνονται, να απο- δείξετε ότι από το σημείο τομής τους διέρχεται και η μεσοκάθετος του ΒΔ.
3. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ τέμνει την προέκταση της ΓΒ στο Δ. Προεκτείνουμε τη ΔΑ κατά τμήμα ΑΕ = ΔΒ. Να αποδείξετε ότι:
i) το τρίγωνο ΔΑΓ είναι ισοσκελές,
ii) το τρίγωνο ΓΔΕ είναι επίσης ισοσκελές.

3.5 Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου

Στο 2o κεφάλαιο αναφερθήκαμε στην κάθετη που φέρεται από σημείο σε ευθεία. Στην παρούσα παράγραφο θα μελετήσουμε τη μοναδικότητα και την ύπαρξή της

Θεώρημα

Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σχήμα 23

Σχήμα 24

Σχήμα 25

Σχήμα 26

Απόδειξη

Έστω ευθεία x'x, σημείο Α εκτός αυτής και σημείο Μ της x'x (σχ.23). Αν η ΑΜ είναι κάθετη στην x'x, τότε το θεώρημα ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η ΑΜ δεν είναι κάθετη στην x'x. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η x'x και δεν περιέχει το Α θεωρούμε την ημιευθεία Μy ώστε να είναι xΜy = AM x και πάνω σε αυτή σημείο Β, ώστε ΜΑ = ΜΒ. Επειδή τα σημεία Α,Β είναι εκατέρωθεν της x'x, η x'x τέμνει την ΑΒ σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω Κ. Αφού ΜΑ = ΜΒ και Μ₁ = Μ₂, η ΜΚ είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο ΜΑΒ, άρα είναι και ύψος και επομένως ΑΒ ⊥x'x.
Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία ΑΛ κάθετη στην x'x . Τότε τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΒΜΛ είναι ίσα, γιατί έχουν ΜΛ κοινή, ΜΑ = ΜΒ και Μ₁ = Μ₂, οπότε θα είναι και
Λ₁ = Λ₂. Όμως Λ₁= 90°, άρα και Λ₂ = 90°, οπότε Λ₁ + Λ₂ = 180° το οποίο σημαίνει ότι τα σημεία Α,Λ,Β είναι συνευθειακά, δηλαδή η ΑΛ ταυτίζεται με την ΑΚ, που είναι άτοπο.

3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Επειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την ορθή, από το 1ο (ΠΓΠ) και 2ο (ΓΠΓ) κριτήριο ισότητας τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι:
• Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα (σχ.24).
• Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, είναι ίσα (σχ.25).
Η ισότητα ορθογώνιων τριγώνων εξασφαλίζεται ακόμη και από τα επόμενα θεωρήματα.

Θεώρημα I

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα

Απόδειξη

Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' με A = A' = 90°,
ΒΓ = Β'Γ' και B = B' (σχ.26). Θα αποδείξουμε ότι είναι και ΑΒ = Α'Β'. Έστω ότι ΑΒ ≠ Α'Β' , π.χ. ΑΒ > Α'Β'. Τότε στην πλευρά ΒΑ υπάρχει σημείο Δ, ώστε ΒΔ = Α'Β'.

ΤΡΙΓΩΝΑ

Τα τρίγωνα ΔΒΓ και Α'Β'Γ' έχουν ΒΓ = Β'Γ', ΔΒ = Α'Β' και Β = Β', επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι Δ = Α' = 90°, δηλαδή ΓΔ ⊥ ΑΒ. Έτσι έχουμε ΓΛ ⊥ ΑΒ και ΓΔ ⊥ ΑΒ που είναι άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ Α'Β'. Άρα ΑΒ = Α'Β', οπότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = Β'Γ', ΒΑ = Β'Α' και Β = Β' (ΠΓΠ).

Θεώρημα II

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα

Απόδειξη

Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' (σχ.27) με A = A' = 90°, ΒΓ = Β'Γ' και ΑΒ = Α'Β'. Θα αποδείξουμε ότι και B = B'. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και Β'Α' θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Δ και Δ', ώστε να είναι ΑΔ = ΑΒ και Α'Δ' = Α'Β'. Τότε η ΓΑ είναι μεσοκάθετος του ΔΒ και η Γ'Α' μεσοκάθετος του Δ'Β'. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ΓΔ = ΓΒ και Γ'Δ' = Γ'Β'. Από τις τελευταίες ισότητες και την ΒΓ = Β'Γ' προκύπτει ότι ΓΔ = Γ'Δ'. Έτσι τα τρίγωνα ΓΔΒ και Γ'Δ'Β' έχουν ΓΔ = Γ'Δ', ΒΓ = Β'Γ' και ΔΒ = Δ'Β' (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ΑΒ και Α'Β'), επομένως είναι ίσα, οπότε B = B'. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΓΠ).

ΠΟΡΙΣΜΑ I

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής.

ΠΟΡΙΣΜΑ II

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της.

Απόδειξη

Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο (Ο,ρ), μια χορδή του ΑΒ και την κάθετη ΟΚ της ΑΒ, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ (σχ.28). Επειδή το τμήμα ΟΚ είναι ύψος στο ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ= ΟΒ = ρ), σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα είναι διάμεσος και διχοτόμος, δηλαδή το Κ είναι μέσο του ΑΒ και Ô₁ = Ô₂. Αφού Ô₁ = Ô₂ προκύπτει ότι ΑΜ = ΜΒ.

Σχήμα 27

Σχήμα 28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Όλες οι παραπάνω περιπτώσεις ισότητας ορθογώνιων τριγώνων διατυπώνονται συνοπτικά ως εξής:
Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν:

• Δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία.

• Μία πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία.

Σχήμα 29

Σχήμα 30

Θεώρημα ΙΙI

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη

'Εστω οι ίσες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου (Ο,ρ) και ΟΚ, ΟΛ τα αποστήματά τους αντίστοιχα (σχ.29). Τα τρίγωνα ΚΟΑ και ΛΟΓ, έχουν Κ = Λ = 90°,
ΟΑ = ΟΓ (= ρ) και ΑΚ = ΓΛ (αφού ΑΒ = ΓΔ). Επομένως είναι ίσα, οπότε ΟΚ = ΟΛ.
Αντίστροφα. Έστω ότι τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ είναι ίσα. Τότε τα τρίγωνα ΚΟΑ και ΛΟΓ έχουν Κ = Λ = 90°, ΟΑ = ΟΓ και ΟΚ = ΟΛ, επομένως είναι ίσα, οπότε

AK = ΓΛ ή AB2 = ΓΔ2 ή ΑΒ = ΓΔ.

Θεώρημα ΙV

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου

Απόδειξη

Έστω μια γωνία xÔy και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ (σχ.30). Φέρουμε MA⊥Ox και MB⊥Oy. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ και ΒΟΜ είναι ίσα γιατί έχουν A = B = 90°, ΟΜ κοινή και ΜÔΑ = ΜÔΒ, επομένως ΜΑ = ΜΒ.
Αντίστροφα. Έστω Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας. Φέρουμε MA⊥Ox και MB⊥Oy και υποθέτουμε ότι ΜΑ = ΜΒ. Τότε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΒΟΜ είναι πάλι ίσα, αφού A = B = 90°, ΟΜ κοινή και ΜΑ=ΜΒ και επομένως ΜÔΑ = ΜÔΒ, οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ.

ΤΡΙΓΩΝΑ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι:
Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της.

Με τη βοήθεια του συμπεράσματος αυτού αντιμετωπίζεται η επόμενη δραστηριότητα.

Δραστηριότητα

Να βρεθεί σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές ενός τριγώνου.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ (σχ.31) παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της ΑΓ παίρνουμε σημείο Ζ, ώστε ΓΖ=ΑΓ. Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου και ΕΗ, ΖΘ τα κάθετα τμήματα προς την ευθεία ΒΓ, τότε:
(i) να συγκριθούν τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΗ, καθώς και τα ΑΓΔ και ΖΓΘ,
(ii) να αποδειχθεί ότι ΕΗ = ΖΘ.

Σχήμα 31

Λύση

(i) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΗ είναι ορθογώνια (Δ = Η = 90°) και έχουν ΑΒ = ΒΕ (από υπόθεση) και Β₁ = Β₂ (κατακορυφήν). Άρα, είναι ίσα. Όμοια και τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΖΓΘ είναι ίσα γιατί έχουν Δ = Θ = 90°, ΑΓ = ΓΖ και Γ₁ = Γ₂.
(ii) Από την ισότητα των τριγώνων ΑΒΔ και ΕΒΗ προκύπτει ότι ΕΗ=ΑΔ. Όμοια από την άλλη ισότητα των τριγώνων προκύπτει ΖΘ = ΑΔ. Επομένως ΕΗ = ΖΘ.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η

Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους με κέντρα Κ, Λ και από το μέσο Μ του ΚΛ ευθεία ε που τέμνει τους κύκλους (σχ.32) στα σημεία Α, Β και Γ, Δ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΑΒ = ΓΔ.

Απόδειξη

Επειδή τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι χορδές ίσων κύκλων, για να είναι ΑΒ = ΓΔ αρκεί τα αποστήματά τους ΚΕ και ΛΖ, αντίστοιχα, να είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΕΜΚ και ΖΜΛ είναι ορθογώνια (Ε = Ζ = 90°) και έχουν ΚΜ = ΜΛ, γιατί το Μ είναι μέσο του ΚΛ και
Μ₁= Μ₂ ως κατακορυφήν. Άρα είναι ίσα, οπότε ΚΕ = ΛΖ.

Σχήμα 32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1.Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Αν ΑΒ ⊥ ε και ΑΓ ⊥ ε (Β, Γ σημεία της ε) τότε:
i) Β = Γ   Σ      Λ
ii) Β ≠ Γ  Σ      Λ
iii) ΑΒ = ΑΓ   Σ      Λ
Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

2. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), Α σημείο της βάσης και οι προτάσεις:
π₁: Το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου.
π₂: Το ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου.
π₃: Το ΑΔ είναι διχοτόμος του τριγώνου. Αν για το ΑΑ ισχύει μία από τις π₁, π₂, π₃, τότε ισχύουν οι άλλες δύο προτάσεις;

3. Διατυπώστε τις δύο ανακεφαλαιωτικές περιπτώσεις ισότητας ορθογώνιων τριγώνων.

4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε σχεδιάσει οκτώ ορθογώνια τρίγωνα. Καθένα από αυτά είναι ίσο με ένα από τα υπόλοιπα. Να βρείτε τα ζεύγη των ίσων τριγώνων και να αναφέρετε το λόγο για τον οποίο είναι ίσα.

5. Συμπληρώστε τα κενά στην επόμενη πρόταση:
Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής είναι μεσοκάθετος της ............................. και διχοτομεί ...............................

6. Αν ΑΒ, ΓΑ είναι χορδές ενός κύκλου (Κ) και ΚΕ, ΚΖ είναι αντίστοιχα τα αποστήματά τους τότε:

α. ΑΒ = ΓΔ <=> ΚΕ = 12 ΚΖ,

β. ΑΒ = ΓΔ <=> ΚΕ > ΚΖ,

γ. ΑΒ = ΓΔ <=> ΚΕ = ΚΖ,

δ. ΑΒ = ΓΔ <=> 12 ΚΕ = 13 ΚΖ,

ε. ΑΒ = ΓΔ <=> ΚΕ < ΚΖ.
Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας.

7. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας;

8. Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες είναι πάντοτε ίσα; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1.Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.

2. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν:
i) από τη βάση,
ii) από τις ίσες πλευρές.

3. Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τμήματος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το μέσο του.

4. Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, να αποδείξετε ότι και τα ύψη τους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της βάσης του ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου, η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές μεταξύ τους.

2. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι α=α', υα =υα και μα =μα , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

3. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο οξυγώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι α = α', υ_β = υ_β' και υ_γ = υ_γ', τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 1∟) και η διχοτόμος του ΒΑ. Από το Α φέρουμε ΑΕ ⊥ ΒΓ, που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ισοσκελές.

5. Δίνεται κύκλος (Ο, R), οι ίσες χορδές του ΑΒ, ΓΑ και τα αποστήματά τους ΟΚ και ΟΑ αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των ΒΑ και ΑΓ τέμνονται στο Μ, να αποδείξετε ότι:
τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΑ είναι ίσα, ΜΑ = ΜΓ και ΜΒ = ΜΑ.

Σύνθετα Θέματα

1. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει τη μεσοκάθετο της ΒΓ στο σημείο Α. Έστω Ε και Ζ οι προβολές του Α στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
i) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΖ.
ii) Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα θεωρώντας την εξωτερική διχοτόμο της Α, η οποία τέμνει τη μεσοκάθετο της ΒΓ στο σημείο Α΄, με προβολές τα σημεία Ε', Ζ' στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
iii) Να αποδείξετε ότι ΕΕ' = ΑΓ και ΖΖ' = ΑΒ.

2. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, Α'Β'Γ' έχουν μία κάθετη πλευρά ίση και η περίμετρος του ενός είναι ίση με την περίμετρο του άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

ΤΡΙΓΩΝΑ

Βασικοί γεωμετρικοί τόποι

3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος

Όπως έχουμε αναφέρει, γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων, που έχουν μια (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα.
Επομένως:
• ο κύκλος (σχ.33) είναι ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία του και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να απέχουν μια ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό σημείο.
• η μεσοκάθετος ενός τμήματος (σχ.34) είναι επίσης ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
• η διχοτόμος μιας γωνίας (σχ.35) είναι ένας άλλος γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά (από τα σημεία της γωνίας) ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.
Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου απαιτεί μια ιδιαίτερη διαδικασία η οποία παρουσιάζεται στο επόμενο παράδειγμα.

Σχήμα 33
Σχήμα 34

Σχήμα 34

Σχήμα 35

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, που διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β.

Λύση

Έστω Μ ένα σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, δηλαδή το κέντρο ενός κύκλου που διέρχεται από τα Α,Β (σχ.36). Τότε ΜΑ=ΜΒ, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου και επομένως το Μ ανήκει στη μεσοκάθετο ε του τμήματος ΑΒ.
Αντίστροφα. Έστω Ν ένα σημείο της μεσοκαθέτου ε του ΑΒ. Τότε θα είναι ΝΑ=ΝΒ, οπότε ο κύκλος (Ν,ΝΑ) διέρχεται και από το Β.
Επομένως κάθε σημείο της ε είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τα Α,Β.
Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος ε του τμήματος ΑΒ.

Σχήμα 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΣΧΟΛΙΟ
Από το προηγούμενο παράδειγμα γίνεται φανερό ότι η λύση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου ακολουθεί τα εξής στάδια:
Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Μ του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και με βάση τη χαρακτηριστική ιδιότητα που έχει, προσδιορίζουμε τη γραμμή Γ πάνω στην οποία βρίσκεται.
Στη συνέχεια κατασκευάζουμε με τον κανόνα και το διαβήτη τη γραμμή αυτή και εξετάζουμε αν το τυχαίο σημείο Ν της γραμμής αυτής ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Αν αυτό συμβαίνει, τότε η γραμμή Γ είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προτάσεις.
i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι .................................
ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι .....................................

Aσκήσεις Εμπέδωσης

1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών Α των τριγώνων ΑΒΓ, που έχουν σταθερή την πλευρά ΒΓ=α και τη διάμεσο ΑΜ με γνωστό μήκος.

2. Δίνεται κύκλος (Ο,R). Αν Ν τυχαίο σημείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέκταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν διαγράφει τον κύκλο.

Σχήμα 37

Σχήμα 38

Σχήμα 39

Συμμετρικά σχήματα

3.8 Κεντρική συμμετρία

Στην §2.10 είδαμε πότε δύο σημεία Α,Α' λέγονται συμμετρικά ως προς κέντρο ένα σημείο Ο (σχ.37).

Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο (σχ.38), αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς το Ο σχήματα Σ και Σ'. Δηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Α', ως προς το Ο, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία.

Aν στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο (σχ.39), κατά 180^ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα που θα συμπίπτει με το αρχικό.

ΤΡΙΓΩΝΑ

Από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα:

• Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του (σχ.40α).
• Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της (σχ.40β).
• Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.40γ).

Σχήμα 40

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φορέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό.

Απόδειξη

Έστω ένα τμήμα ΑΒ (σχ.41), σημείο Ο που δεν ανήκει στην ευθεία ΑΒ και Α', Β' τα συμμετρικά των Α,Β ως προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή ΟΑ' = ΟΑ, OB' = OB και Α'ÔΒ' =ΑÔΒ, τα τρίγωνα ΑΟΒ και Α'ΟΒ' είναι ίσα, οπότε Α'Β' = ΑΒ.

Σχήμα 41

Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα ΑΒ και Α'Β' είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο Μ του ΑΒ και Μ' η τομή της ΜΟ με το Α'Β'. Από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι Α = Α', οπότε τα τρίγωνα ΑΟΜ και Α'ΟΜ' είναι ίσα γιατί έχουν ΟΑ' = ΟΑ, Α = Α' και Ô1 = Ô2. Επομένως ΟΜ' = ΟΜ, που σημαίνει ότι το Μ' είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου Μ' του Α'Β' είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, Α'Β' είναι συμμετρικά ως προς το Ο.

3.9 Αξονική συμμετρία

Στην §2.14 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Α' λέγονται συμμετρικά ως προς (άξονα) την ευθεία ε (σχ.42).

Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σ' (σχ.43) λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντίστροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήματος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σ'. Δηλαδή μια ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Α', ως προς την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Αν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει

Σχήμα 42

Σχήμα 43

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σχήμα 44

το σχήμα (σχ.44) σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο, ώστε, αν διπλώσουμε το φύλλο σχεδίασης κατά μήκος της ε, τα μέρη αυτά θα ταυτιστούν.

Από τα γνωστά μας σχήματα
• Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει άξονες συμμετρίας τη μεσοκάθετό του μ και τον φορέα του ε (σχ.45α).
• Η ευθεία x'x έχει άξονα συμμετρίας κάθε ευθεία
ε ⊥ x'x και την ίδια τη x'x (σχ.45β).
• Ο κύκλος έχει άξονα συμμετρίας το φορέα δ κάθε διαμέτρου του ΑΒ (σχ.45γ).
• Το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) έχει άξονα συμμετρίας το φορέα μ του ύψους ΑΔ (σχ.45δ).
• Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει άξονα συμμετρίας τους φορείς των τριών υψών του (σχ.45ε).

Σχήμα 45

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Έστω μια ευθεία ε και ένα τμήμα ΑΒ του οποίου το ένα άκρο Α είναι σημείο της ε. Να αποδειχθεί ότι το συμμετρικό του ΑΒ ως προς την ε είναι το τμήμα ΑΒ' ίσο με το ΑΒ, όπου Β' το συμμετρικό του Β ως προς την ε.

Απόδειξη

Το συμμετρικό του Α ως προς την ε είναι το ίδιο το Α, αφού το Α είναι σημείο της ε. Επειδή η ε είναι μεσοκάθετος του ΒΒ', είναι ΑΒ' = ΑΒ. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΒ' η ΑΔ είναι ύψος και διάμεσος, άρα είναι και διχοτόμος, δηλαδή Α₁ = Α₂.

Σχήμα 46

'Εστω σημείο Μ του ΑΒ. Φέρουμε ΜΚ ⊥ ε η οποία όταν προεκταθεί τέμνει το ΑΒ' στο Μ'. Στο τρίγωνο ΑΜΜ' η ΑΚ είναι ύψος και διχοτόμος (αφού Α₁ = Α₂), άρα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΜ' = ΚΜ, οπότε το Μ' είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια αποδεικνύεται ότι το συμμετρικό κάθε σημείου του ΑΒ' είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, ΑΒ' είναι συμμετρικά ως προς την ε.

ΤΡΙΓΩΝΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των γραμμάτων: Α, Β, Δ, Η, Θ, Τ, Χ, Ψ.
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο. Αν Α', Β', Γ' είναι τα συμμετρικά των Α, Β, Γ ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, Α'Β'Γ' είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα.
3. Αν x'Α 'y' είναι η συμμετρική της γωνίας xΑy, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα σημείο Ο, εξωτερικό της xΑy, τότε να αποδειχθεί ότι x'Α'y' = xΑy.

4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τριγώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΒΓ είναι τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ.
5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της.
6. Έστω ε, ε' δύο κάθετοι που τέμνονται στο Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. Αν Μ' είναι το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μ" το συμμετρικό του Μ' ως προς ε', τότε να αποδείξετε ότι:
i) ΟΜ = ΟΜ",
ii) τα σημεία Μ, Ο, Μ" είναι συνευθειακά.

Ανισοτικές σχέσεις

Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε την ανισοτική σχέση που ισχύει μεταξύ μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου και των απέναντι γωνιών του και την ανισοτική σχέση πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου. Επίσης, παρουσιάζουμε την τριγωνική ανισότητα

3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας

Θεώρημα

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΒΔ (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το Δ, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε ΔΕ = ΒΔ. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας ΓAx έχουμε ΓAΕ Ax = A_εξ. Όμως τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΕΔΑ είναι ίσα γιατί έχουν: ΒΔ = ΔΕ, ΑΔ = ΔΓ και Δ₁ = Δ₂, οπότε Γ = ΓΑΕ. Από την τελευταία ισότητα και την
ΓAΕ A_εξ προκύπτει ότι A_εξ >Γ. Όμοια αποδεικνύεται ότι και A_εξ> B.

ΠΟΡΙΣΜΑTA

(i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία.
(ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 180°.

Σχήμα 47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σχήμα 48

ΣΧΟΛΙΟ
Το διπλανό πόρισμα (ii) είναι το αντίστροφο του πορίσματος I της § 3.2. Τα δύο αυτά πορίσματα συνοψίζονται στο εξής: ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες.

3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών

Θεώρημα

Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ=ΑΒ. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με βάση ΒΔ και επομένως B₁ = Δ₁ = ω. Επειδή η ΒΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας B, είναι B > B₁ ενώ η Δ₁ ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΓ είναι μεγαλύτερη από τη Γ, δηλαδή Δ₁> Γ. Έτσι έχουμε B > ω και ω > Γ, επομένως B > Γ. Αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με B > Γ. Τότε θα είναι και β>γ, γιατί αν ήταν β = γ ή βB = Γ ή
B Γ αντίστοιχα, που είναι άτοπο.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

(i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου.
(ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές.
(iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο.

3.12 Τριγωνική ανισότητα

Γνωρίζουμε ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Αυτό εκφράζεται από το επόμενο θεώρημα.

Θεώρημα

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

ΤΡΙΓΩΝΑ

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ
(σχ.49). Γι' αυτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α,
κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές και η ΓΑ εσωτερική ημιευθεία της ΒΓΔ, οπότε έχουμε αντίστοιχα Δ = Γ₁ και Γ₁< ΒΓΔ. Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι Δ < ΒΓΔ, από την οποία σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα συμπεραίνουμε ότι ΒΓ < ΒΔ ή
α < β + γ.
Όμοια προκύπτει ότι β < γ + α και γ < α + β. Από τις ανισότητες αυτές, αντίστοιχα προκύπτει ότι α > β - γ,
αν β ≥ γ ή α > γ - β, αν γ ≥ β, δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις ισχύει το ζητούμενο. Επομένως:

ΠΟΡΙΣΜΑ

Κάθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.

Σχήμα 49

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η

Αν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι:

i) ΒΜΓ > Α

ii) ΜΒ + ΜΓ

Σχήμα 50

Απόδειξη

(i) Έστω Δ (σχ.50) το σημείο τομής της προέκτασης του ΒΜ με την ΑΓ. Η γωνία ΒΜΓ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΜΔΓ και επομένως ΒΜΓ > Δ₁. Αλλά η Δ₁ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΒΔ, οπότε θα είναι Δ₁ > Α. Άρα θα είναι και ΒΜΓ > Α.
(ii) Με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΜΓΔ προκύπτουν αντίστοιχα οι ανισότητες

ΜΒ + ΜΔ

Προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε:

ΜΒ + ΜΔ + ΜΓ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ. Αν ισχύουν δύο από τις επόμενες προτάσεις:
(i) το τμήμα ΑΔ είναι διάμεσος,
(ii) το τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος,
(iii) το τμήμα ΑΔ είναι ύψος, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ.

Λύση

Έστω ΑΔ διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ (σχ.51).

Σχήμα 51

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Προεκτείνουμε το ΑΔ κατά ίσο τμήμα ΔΕ. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΓΕ είναι ίσα (ΒΔ = ΔΓ, ΑΔ = ΔΕ, Δ₁= Δ₂ ως κατακορυφήν). Άρα ΑΒ = ΓΕ (1) και Α₁ = Ε. Από την Α₁ = Ε προκύπτει ΑΓ = ΓΕ (2), αφού ΑΔ διχοτόμος, οπότε Α₁ = Α₂= Ε. Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ΑΒ=ΑΓ. Αν ΑΔ είναι ύψος και διάμεσος ή ύψος και διχοτόμος τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΑΓ.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3η

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές θα είναι όμοια άνισες και αντίστροφα.

Απόδειξη

Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' με ΑΒ = Α'Β', ΑΓ = Α'Γ' και Α > Α' (σχ.55). Θα αποδείξουμε ότι BΓ > Β'Γ'. Αφού Α > Α', υπάρχει εσωτερική ημιευθεία Ax της Α τέτοια, ώστε ΒΑx = Α'. Πάνω στην Αx θεωρούμε σημείο Δ, ώστε ΑΔ = Α'Γ'. Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α'Β'Γ' είναι ίσα (ΠΓΠ). Άρα, ΒΔ = Β'Γ'. Φέρουμε κατόπιν τη διχοτόμο ΑΕ της γωνίας ΔΑΓ, οπότε σχηματίζονται δύο ίσα τρίγωνα τα ΑΔΕ και ΑΓΕ, άρα ΕΔ = ΕΓ. Στο τρίγωνο ΒΔΕ, έχουμε από την τριγωνική ανισότητα ότι

Σχήμα 52

ΒΔ

Αντίστροφα. Ας θεωρήσουμε ότι στα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι ΑΒ = Α'Γ', ΑΓ = Α'Γ' και ΒΓ > Β'Γ'. Αν ήταν Α =Α', τότε θα είχαμε ότι ΒΓ = Β'Γ', ενώ αν ήταν ΑΑ', θα είχαμε ότι Β'Γ' Α > Α'.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4η

Δίνεται μια ευθεία ε, δύο σημεία Α,Β προς το ίδιο μέρος της και το συμμετρικό Α' του Α ως προς την ε (Σχ.53α).
(i) Για οποιοδήποτε σημείο Μ της ε, να αποδειχθεί ότι
ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ' + ΜΒ ≥ Α'Β. Πότε το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ παίρνει τη μικρότερή του τιμή;
(ii) Στα σημεία Α, Β, Γ (σχ.53β) βρίσκονται τρεις κωμοπόλεις. Κοντά σε αυτές διέρχεται σιδηροδρομική γραμμή, πάνω στην οποία πρόκειται να κατασκευασθεί σταθμός Σ. Σε ποιο σημείο πρέπει να κατασκευασθεί ο σταθμός, ώστε ο δρόμος ΑΣΓΒ να είναι ο ελάχιστος δυνατός;

Λύση

(i) Επειδή το Α' είναι συμμετρικό του Α ως προς την ε, η ε είναι μεσοκάθετος του ΑΑ', οπότε ΜΑ = ΜΑ' και επομένως Σχήμα 53 ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ' + ΜΒ (1).

Σχήμα 53

Αν το Μ δεν είναι σημείο του τμήματος Α'Β από το τρίγωνο ΜΑ'Β, έχουμε ΜΑ' + ΜΒ > Α'Β (2), ενώ αν το Μ είναι σημείο του Α'Β' έχουμε ΜΑ' + ΜΒ = Α'Β (3). Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ' + ΜΒ ≥ Α'Β και ότι το ΜΑ + ΜΒ παίρνει τη μικρότερή του τιμή Α'Β, όταν Μ = Μ₀, όπου Μ₀ το σημείο τομής της ε με το Α'Β.
(ii) Όμοια με το (i).

ΤΡΙΓΩΝΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις:
i) Η εξωτερική γωνία Α_εξ τριγώνου ΑΒΓ
είναι μεγαλύτερη από τη Γ.   Σ       Λ
ii) Η εξωτερική γωνία Β_εξ τριγώνου ΑΒΓ
είναι μικρότερη από τη Γ.  Σ       Λ
iii) Το άθροισμα δύο γωνιών ενός
τριγώνου είναι 180°.  Σ       Λ
iv) Αν β > γ (σε τρίγωνο ΑΒΓ),
τότε Β = Γ και αντίστροφα.   Σ       Λ
ν) Αν β = γ (σε τρίγωνο ΑΒΓ),
τότε Β = Γκαι αντίστροφα.   Σ       Λ
2. Για το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος ισχύει:
α. α = 7 β. α=1 γ. 1<α7 ε. 0<α Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας.
Εικόνα
3. Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με α = γ3 και β = 3γ5 ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ασκήσεις Εμπέδωσης

Στο παρακάτω σχήμα είναι Β₁> Γ₁ . Να αποδείξετε ότι
Β₁> 90°.
Εικόνα

2. Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύουν ΑΒ = ΒΓ και Α= Γ, να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΓΔ. Τι συμπεραίνετε για τη ΒΔ;
3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β = Γ. i) Τι είδους γωνία είναι η Β; ii) Να αποδείξετε ότι το ύψος από την κορυφή Α τέμνει την ευθεία ΒΓ, σε εσωτερικό σημείο της πλευράς ΒΓ.
4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ημιευθείας Βχ που περιέχει το Α. Να αποδείξετε ότι η γωνία ΒΔ Γ είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη της γωνίας ΒΑΓ, αν το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ των Β και Α, ταυτίζεται με το Α ή βρίσκεται μετά το Α, αντίστοιχα.
5. Αν Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΜ .
6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°), η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ
7. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Οι ΒΟ και ΓΟ τέμνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι ΒΟ = ΓΟ και ΟΛ = ΟΜ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι αν οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο σημείο Δ, τότε το τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισοσκελές.
9. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και I το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β, Γ. Να αποδείξετε ότι:
i) το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές,
ii) η ΑΙ είναι διχοτόμος της Α.
10. Οι κωμοπόλεις Κ₁, Κ₂, Κ₃ απέχουν από τη πόλη Π (παρακάτω σχήμα), αποστάσεις 7, 6 και 10 km αντίστοιχα. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την κωμόπολη Κ₁ και ακολουθώντας τη διαδρομή Κ₁Κ₂Κ₃Κ₁ επιστρέφει στην Κ₁. Ο χιλιομετρητής του γράφει ότι για αυτή τη διαδρομή διήνυσε απόσταση 48 km. Είναι αυτό δυνατόν; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει μ_α < α2, να αποδείξετε ότι A > Β + Γ. Τι ισχύει όταν μ_α = AB2 ή μ_α > α2;

2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ ΜΓ > ΑΜΒ.
3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ
i) ΜΑΒ > ΜΑΓ,

ii) β - γ2 < μ_α < β + γ2;

iii) μ_α+ μ_β+ μ_γ
4. Έστω κύκλος (Ο,R) διαμέτρου ΑΒ και σημείο Σ της ημιευθείας ΟΑ. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου να αποδειχθεί ότι ΣΑ ≤ ΣΜ ≤ ΣΒ. (Το τμήμα ΣΑ λέγεται απόσταση του Σ από τον κύκλο).
5. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η διχοτόμος δ_α τέμνει κάθετα τη διάμεσο μ_β, να αποδείξετε ότι:
i) ΑΓ = 2ΑΒ,
ii) ΑΒ

6. Έστω κύκλος (Ο,R) και δύο τόξα ΑΒ, ΓΔ. Αν
ΑΒ=2ΓΔνα αποδείξετε ότι ΑΒ 7. Σε δύο άνισα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν χορδές όμοια άνισες και αντίστροφα.

Σύνθετα Θέματα

1. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ο εσωτερικό σημείο του.
i) Να αποδείξετε ότι

OA + OB + OΓ + ΟΔ > AB + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ2 .

ii) Για ποια θέση του Ο το άθροισμα
ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ γίνεται ελάχιστο;
2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ i) το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές,
ii) η διχοτόμος της ΒΜΕ διέρχεται από το σημείο Α.
3. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι:
i) κάθε διαγώνιος είναι μικρότερη της ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου,
ii) ΑΓ+ΒΔ>ΑΒ+ΓΔ και ΑΓ+ΒΔ>ΑΔ +ΒΓ,
iii) το άθροισμα των διαγωνίων είναι μεγαλύτερο της ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου και μικρότερο της περιμέτρου του τετραπλεύρου.
4. Στο εσωτερικό ορθής γωνίας xÔy θεωρούμε σημείο Γ και στις πλευρές της Οχ, Oy τα σημεία Α, Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη από 2ΟΓ.

Σχήμα 54

3.13 Κάθετες και πλάγιες

Έστω μια ευθεία ε (σχ.54) και ένα σημείο Α εκτός αυτής. Από το Α φέρουμε προς την ε την κάθετο δ και μια πλάγια ζ. Οι ευθείες δ και ζ τέμνουν την ε στα Κ και Β αντίστοιχα. Το Κ, όπως είναι γνωστό, λέγεται προβολή του Α πάνω στην ε ή ίχνος της καθέτου δ πάνω στην ε. Το Β λέγεται ίχνος της ευθείας ζ ή του τμήματος ΑΒ πάνω στην ε.

ΤΡΙΓΩΝΑ

Θεώρημα I

Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα

Απόδειξη

Έστω ΑΒ και ΑΓ δύο ίσα πλάγια τμήματα και ΑΚ το κάθετο τμήμα (σχ.55). To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και το ΑΚ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΒ = ΚΓ.
Αντίστροφα. Έστω ότι ΚΒ = ΚΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΚ είναι ύψος και διάμεσος, άρα (εφαρμογή §3.12) το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή ΑΒ = ΑΓ.

Θεώρημα IΙ

Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε:
(i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο.
(ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα.

Απόδειξη

(i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΒ (σχ.56), η γωνία Κ είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά ΑΒ είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, ΑΒ > ΑΚ.
(ii) Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο ΑΚ στην ε και δύο πλάγια τμήματα ΑΒ, ΑΓ, όπου Β, Γ σημεία της ε (σχ.57).
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη Β, Γ των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ.
Ας υποθέσουμε ότι ΚΓ > ΚΒ (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αφού το Β είναι μεταξύ των Κ, Γ, η ΑBΓ είναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου ΚΑΒ, επομένως
ΑBΓ > Κ = 1∟,δηλαδή η ΑΒΓ είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΓ βρίσκεται απέναντι από την ΑΒΓ, συνεπώς είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή ΑΓ>ΑΒ.
Αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αν ήταν ΚΓ = ΚΒ, τότε θα είχαμε ΑΓ = ΑΒ, που είναι άτοπο. Αν
ΚΓ ΚΒ.

Σχήμα 55

ΣΧΟΛΙΟ
Την ιδιότητα (i) του Θεωρήματος II, που έχει το κάθετο τμήμα συνήθως εκφράζουμε και ως: η απόσταση ενός σημείου Α από μία ευθεία ε είναι μικρότερη από την απόσταση του Α από τυχόν σημείο της ευθείας.

Σχήμα 56

Σχήμα 57

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

Αν ΑΒ, ΑΓ πλάγια τμήματα ως προς μια ευθεία ε και ΑΚ το κάθετο τμήμα, τότε:
1. Συμπληρώστε τις παρακάτω ισοδυναμίες
i) ΑΒ=ΑΓ <=> ...................................................
ii) ΑΒ>ΑΓ <=> ...................................................
2. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Α) καθεμία από τις παρακάτω σχέσεις και αιτιολογήστε την απάντησή σας.
i) ΑΒ>ΑΚ   Σ       Λ
ii) ΑΒ=ΑΚ   Σ       Λ
iii) ΑΒ<ΑΚ   Σ       Λ

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Στις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ορθογώνιου τριγώνου
ΑΒΓ θεωρούμε τα σημεία Α, Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
i) ΔΕ < ΕΒ,
ii) ΔΕ < ΒΓ

2. Στο παρακάτω σχήμα το ΑΗ είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. Να συγκρίνετε τα τμήματα ΑΒ,
ΑΓ και ΑΑ.
Εικόνα

3. Δίνεται τμήμα ΑΒ, σημείο Ρ της μεσοκαθέτου του και μία ευθεία ε που διέρχεται από το Α.
i) Να συγκρίνετε τις αποστάσεις του Ρ από την ευθεία ε και το σημείο Β.
ii) Ποια πρέπει να είναι η θέση της ευθείας ε, ώστε οι αποστάσεις αυτές να είναι ίσες;

Σχήμα 58

Ευθεία και κύκλος

3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου

Θεωρούμε έναν κύκλο (Ο,R) μια ευθεία x'x και την απόσταση δ = ΟΑ του κέντρου Ο από την x'x (σχ.58). Μεταξύ των δ και R ισχύει μία από τις σχέσεις: δ > R,
δ = R και δ • Έστω δ > R (σχ.58α). Τότε το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, οπότε και κάθε άλλο σημείο Μ της ευθείας είναι εξωτερικό, αφού OM > OA > R. Επομένως, η x'x δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εξωτερική ευθεία του κύκλου.
• Έστω δ = R (σχ.58β). Τότε το Α είναι κοινό σημείο της ευθείας με τον κύκλο, ενώ κάθε άλλο σημείο Μ της x'x είναι εξωτερικό σημείο του (Ο,R), αφού ΟΜ > ΟΑ= R. Επομένως, η x'x έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Επίσης, στην πε- ρίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία x'x εφάπτεται του κύκλου (Ο,R) στο σημείο Α. Είναι φανερό ότι:

ΤΡΙΓΩΝΑ

Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη
στην εφαπτομένη.
Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική.
• Έστω δ < R (σχ.58γ). Τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο του
κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία Αx θεωρούμε ένα σημείο Μ,
ώστε ΑΜ = R. Τότε το Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού ΟΜ > ΑΜ = R. Έτσι η ημιευθεία Αx, αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το Α, και ένα εξωτερικό, το Μ, είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοινό σημείο με τον κύκλο, το Β. Όμοια και η ημιευθεία Αx' έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το Β'.
Επομένως, η x'x έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην
περίπτωση αυτή η ευθεία x'x, λέγεται τέμνουσα του κύκλου
και τα κοινά της σημεία με το κύκλο λέγονται σημεία τομής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο.

Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε:
• Αν δ>R, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο.
• Αν δ=R, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο.
• Αν δ<R, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο.
Με την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. Με την ίδια επίσης μέθοδο αποδεικνύεται και το επόμενο θεώρημα.

Θεώρημα I

Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία και αντίστροφα.

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο,ρ) έχουν τρία κοινά σημεία, τα Α, Β, Γ (σχ. 59). Επειδή ΟΑ= ΟΒ (= ρ) και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ,ζ των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε δύο διαφορετικές κάθετες στην ε τις ξ, ζ, που είναι άτοπο.

ΣΧΟΛΙΟ
Από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι τρία οποιαδήποτε σημεία
ενός κύκλου δεν είναι συνευθειακά. Στην § 4.5 θα δούμε ότι από τρία μη
συνευθειακά σημεία διέρχεται ένας κύκλος, που είναι και μοναδικός.

Σχήμα 59

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σχήμα 60

3.15 Εφαπτόμενα τμήματα

Έστω ένας κύκλος (Ο, ρ) και ένα εξωτερικό του σημείο Ρ. Στην § 6.7 θα δούμε ότι από το Ρ φέρονται δύο εφαπτόμενες του κύκλου. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής αυτών με τον κύκλο (σχ.60), τότε τα τμήματα ΡΑ και ΡΒ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Ρ και η ευθεία ΡΟ διακεντρική ευθεία του σημείου Ρ. Ισχύει το εξής θεώρημα:

Θεώρημα ΙΙ

Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους

Απόδειξη

Τα τρίγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ (σχ.60) έχουν A = Β = 90°, ΟΡ κοινή και ΟΑ = ΟΒ (= ρ), άρα είναι ίσα, οπότε ΡΑ = ΡΒ.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Αν Ρ είναι ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου, τότε η διακεντρική ευθεία του:
(i) είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής,
(ii) διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Πότε μια ευθεία έχει δύο, ένα ή κανένα κοινό σημείο με έναν κύκλο;
2. Είναι δυνατόν στο παρακάτω σχήμα να είναι ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Εικόνα
3. Στο παρακάτω σχήμα τα ΡΑ, ΡΒ είναι εφαπτόμενα τμήματα, η ΡΚ διχοτόμος της ΑΡΒ, τα Α, Ν μέσα των τόξων ΑΛΒ, ΑΝΒ. αντίστοιχα και το Μ μέσο της χορδής

ΑΒ. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Α) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:
Εικόνα
i) ΡΑ = ΡΒ.                                                       Σ       Λ
ii) Η ΡΚ διέρχεται από το Ο.                            Σ       Λ
iii) Η ΟΜ διέρχεται από τα Ρ, Α, Ν.                 Σ       Λ
iv) Η προέκταση του ΑΜ διχοτομεί τις γωνίες ΑΡΒ, ΑΟΒ και το τόξο ΑΝΒ.                                                   Σ       Λ

ΤΡΙΓΩΝΑ

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Αν έχουμε δύο ομόκεντρους κύκλους, να εξηγήσετε γιατί όλες οι χορδές του μεγάλου κύκλου που εφάπτονται στο μικρό κύκλο είναι ίσες.
2. Δίνεται κύκλος (Ο,ρ), μία διάμετρός του ΑΒ και οι εφαπτόμενες ε₁ , ε₂ του κύκλου στα Α,Β. Αν μια τρίτη εφαπτομένη ε τέμνει τις ε₁ , ε₂ στα Γ, Δ, να αποδείξετε ότι ΓÔΔ = 90°.
3. Από εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Μία τρίτη εφαπτομένη στο σημείο Ε του κύκλου τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Γ,Δ αντίστοιχα. Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΡΓΔ ως συνάρτηση των εφαπτόμενων τμημάτων ΡΑ και ΡΒ.

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Να αποδείξετε ότι δύο σημεία μίας εφαπτομένης κύκλου, τα οποία ισαπέχουν από το σημείο επαφής, απέχουν ίση απόσταση από τον κύκλο.
2. Από σημείο Μ εξωτερικό του κύκλου (Ο,R) φέρουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ, ΜΒ του κύκλου. Προεκτείνουμε το ΟΒ κατά ίσο τμήμα ΒΓ. Να αποδείξετε ότι η γωνία
ΑMΓ είναι τριπλάσια της ΒMΓ.
3. Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου κέντρου Ο, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ να αποδείξετε ότι ΜΑΡ= ΜΒΡ

3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων

Θεωρούμε δύο κύκλους (Κ, R) και (Λ, ρ) με R > ρ. Οι σχετικές τους θέσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήμα (σχ.61α).

Σχήμα 61a

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων και συμβολίζεται με δ (σχ. 61β). Οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων εξαρτώνται από τη σχέση της διακέντρου με το άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
• Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία
(i) Ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), αν

Σχήμα 61β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σχήμα 62

Σχήμα 63

Σχήμα 63

Σχήμα 64

Σχήμα 65

και μόνο αν δ (σχ.62α).
(ii) Οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρίσκεται ο ένας στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ > R + ρ (σχ.62ε).

• Εφαπόμενοι κύκλοι
(i) Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), αν και μόνο αν δ = R - ρ (σχ.62β).
(ii) Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ = R + ρ (σχ.62δ). Το κοινό σημείο δύο εφαπτόμενων κύκλων λέγεται σημείο επαφής και είναι σημείο της διακέντρου.
Πράγματι, αν το σημείο επαφής Α (σχ.63) δεν είναι σημείο της διακέντρου, τότε από το τρίγωνο ΑΚΛ έχουμε ΚΛ δ

• Τεμνόμενοι κύκλοι
Οι κύκλοι τέμνονται, δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία, αν και μόνο αν R - ρ (σχ.62γ). Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που ενώνει τα κοινά σημεία λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων. Ισχύει το επόμενο θεώρημα

Θεώρημα

Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους.

Απόδειξη

Έστω οι κύκλοι (KR) και (Λ,ρ) του σχ.64 και Α, Β τα σημεία τομής τους. Επειδή ΚΑ = ΚΒ = R, το σημείο Κ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Όμοια από την ΛΑ = ΛΒ = ρ προκύπτει ότι και το Λ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Άρα, η ΚΛ είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής ΑΒ του κύκλου.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Στην περίπτωση που οι τεμνόμενοι κύκλοι (Κ, R) και (Α, ρ) (σχ.65) είναι ίσοι, δηλαδή έχουν R = ρ, τότε και η κοινή χορδή είναι μεσοκάθετος της διακέντρου.
Πράγματι, επειδή R = ρ, θα είναι ΑΚ = ΑΛ και ΒΚ = ΒΛ. Άρα τα Α και Β είναι σημεία της μεσοκαθέτου του ΚΑ και επομένως η κοινή χορδή ΑΒ είναι μεσοκάθετος της διακέντρου ΚΛ.

ΤΡΙΓΩΝΑ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο Α (σχ.66). Μία ευθεία ε εφάπτεται και στους δύο κύκλους στα Β, Γ αντί- στοιχα, όπως στο σχ.66. Να αποδειχθεί ότι:
(i) Η εφαπτομένη ζ του ενός κύκλου στο Α είναι και εφαπτομένη του άλλου.
(ii) Η ευθεία ζ διχοτομεί το τμήμα ΒΓ.

Απόδειξη

Σχήμα 66

(i) Έστω ότι η ζ εφάπτεται στον κύκλο (Κ) στο Α. Τότε ζ ⊥ ΚΑ(1). Σχήμα 66
Επειδή όμως οι κύκλοι εφάπτονται, το Α είναι σημείο της διακέντρου ΚΛ, οπότε από την (1) προκύπτει ότι ζ ⊥ ΑΛ, επομένως η ευθεία ζ είναι και εφαπτομένη του κύκλου (Λ).
(ii) Έστω Μ το σημείο τομής της ζ με την ε. Τότε ΜΑ = ΜΒ, ως εφαπτόμενα τμήματα του (Κ) και ΜΑ = ΜΓ, ως εφαπτόμενα τμήματα του (Λ). Από τις ισότητες αυτές προκύπτει ότι ΜΒ = ΜΓ.

ΣΧΟΛΙΟ
Η ευθεία ε του παραπάνω σχήματος, που εφάπτεται και στους δύο κύκλους και τους αφήνει προς το ίδιο μέρος της λέγεται κοινή εξωτερική εφαπτομένη, ενώ η ευθεία ζ που έχει τους κύκλους στους οποίους εφάπτεται εκατέρωθεν αυτής λέγεται κοινή εσωτερική εφαπτομένη.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Αν (Κ, R) και (Λ, ρ) είναι δύο κύκλοι που έχουν διαφορετικά κέντρα και R > ρ, ΚΛ = δ, να αντιστοιχίσετε κάθε φράση της πρώτης στήλης με την αντίστοιχη σχέση στη δεύτερη στήλη.

Στήλη Α

Στήλη Β

α. Ο κύκλος (Λ,ρ) είναι εσωτερικός του (Κ,R).

β. Ο κύκλος (Λ,ρ) εφάπτεται εσωτερικά του (Κ,R).

γ. Οι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) τέμνονται.

δ. Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

ε. Κάθε κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου.

1. δ > R+ρ

2. δ = R+ρ

3. δ = R-ρ

4. δ < R-ρ

5. 2δ= R-ρ

6. ρ < δ < R

7. 2δ=Rρ

8. R-ρ < R+ρ

2. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις και αιτιολογήστε την απάντησή σας.
i) Η διάκεντρος δύο κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής.  Σ       Λ
ii) Η κοινή χορδή δύο ίσων κύκλων είναι μεσοκάθετος της διακέντρου.  Σ       Λ
iii) Το σημείο επαφής δύο εφαπτόμενων κύκλων είναι σημείο της διακέντρου.   Σ       Λ

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Να προσδιορισθούν οι σχετικές θέσεις των κύκλων (K, ρ) και (Λ, 2ρ) αν
i) ΚΛ = ρ / 2,
ii) ΚΛ = ρ,
iii) ΚΛ = 2ρ,
iv) ΚΛ = 3ρ,
ν) ΚΛ = 4ρ.
2. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και μια ακτίνα του ΟΑ. Γράφουμε κύκλο με διάμετρο ΟΑ. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο κύκλων;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

3. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Ο. Γράφουμε τον κύκλο (Α, ΑΟ) και τον κύκλο με διάμετρο ΟΒ. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο κύκλων;

Αποδεικτικές Ασκήσεις

1. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και εξωτερικό σημείο του Ρ, ώστε ΟΡ i) ο κύκλος (O,2R) τέμνει τον κύκλο (Ρ, ΡΟ) σε δύο σημεία Γ και Α,
ii) τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΓ και ΟΑ τέμνουν τον κύκλο (Ο, R) στα σημεία Α και Β,
iii) τα ΡΑ και ΡΒ εφάπτονται στον (Ο, R).
2. Δίνονται δύο κύκλοι (Ο₁, R₁) και (Ο₂, R₂) με Ο₁Ο₂ > R₁+R₂ >2R₂.

i) Nα αποδείξετε ότι ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου.
ii) Εστω ότι η διάκεντρος τέμνει τον (Ο₁) στα σημεία Μ, Μ' και τον (Ο₂) στα σημεία Ν, Ν' αντίστοιχα με τα Μ, Ν μεταξύ των Μ', Ν'. Να αποδείξετε ότι ΜΝ ≤ ΑΒ ≤ Μ'Ν', όπου Α, Β τυχαία σημεία των κύκλων (Ο₁) και (Ο₂) αντίστοιχα. 3.
3. Ένας κύκλος κέντρου Κ είναι εξωτερικός ενός άλλου κύκλου κέντρου Α. Μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη και μια κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι ΚΡΛ = 90°.
4. Μπορείτε να ζωγραφίσετε 12 κύκλους, ώστε ο καθένας από αυτούς να εφάπτεται σε 5 ακριβώς από τους δοσμένους κύκλους;

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
Οι γεωμετρικές κατασκευές
Τα πρώτα προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών απαντώνται στα «Στοιχεία.» του Ευκλείδη. Οι μαθηματικές προτάσεις διαιρούνται σε «θεωρήματα», όπου ζητείται να αποδειχθεί ότι ένα αντικείμενο έχει μια ορισμένη ιδιότητα και σε «προβλήματα», όπου ζητείται να κατασκευασθεί κάποιο αντικείμενο που να έχει ορισμένη ιδιότητα. Στα «Στοιχεία» οι κατασκευές στηρίζονται στα τρία πρώτα αιτήματα του Βιβλίου I (βλ. Τα μη επιλύσιμα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας).
Ως τα τέλη του 4ου αι. πρέπει να είχε εδραιωθεί η πεποίθηση ότι ορισμένα προβλήματα, όπως π.χ. το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου δεν είναι επιλύσιμο με τα επιτρεπτά τότε κατασκευαστικά εργαλεία. Έτσι εμφανίζεται η πρώτη ιεράρχηση των προβλημάτων με βάση τα επιτρεπτά κατασκευαστικά εργαλεία επιλυσιμότητάς τους. Ως επίπεδα προβλήματα θεωρούνται αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη, στερεά προβλήματα είναι εκείνα που λύνονται με τη βοήθεια κωνικών τομών, και γραμμικά προβλήματα είναι όλα τα υπόλοιπα. Ο Πάππος μάλιστα θεωρούσε σοβαρό λάθος τη λύση ενός επίπεδου προβλήματος με τη βοήθεια κωνικών τομών.

Γεωμετρικές κατασκευές

Στην § 2.7 αναφέραμε την έννοια της γεωμετρικής κατασκευής. Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος κατασκευής ακολουθεί τα εξής στάδια: την κατασκευή (ή σύνθεση), την απόδειξη και τη διερεύνηση.

• Η κατασκευή είναι όλες εκείνες οι ενέργειες που οδηγούν στη σχεδίαση του σχήματος.

• Η απόδειξη είναι η επιβεβαίωση ότι το σχήμα που κατασκευάστηκε έχει ως στοιχεία τα δοσμένα.

• Η διερεύνηση είναι η αναγραφή όλων εκείνων των συνθηκών, που πρέπει να ικανοποιούν τα δεδομένα, ώστε το πρόβλημα να έχει λύση. Στη διερεύνηση εξετάζεται επίσης και το πλήθος των λύσεων του προβλήματος.

ΣΧΟΛΙΟ
Όταν η κατασκευή του ζητούμενου σχήματος δεν είναι άμεσα φανερή, τότε, πριν από την κατασκευή κάνουμε, ως βοηθητικό βήμα, και τη λεγόμενη ανάλυση. Σε προβλήματα επόμενων κεφαλαίων θα χρησιμοποιήσουμε και την ανάλυση.

ΤΡΙΓΩΝΑ

3.17 Απλές γεωμετρικές κατασκευές

Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουμε ορισμένες γεωμετρικές κατασκευές με τις οποίες
κατοχυρώνουμε κατασκευαστικά στοιχειώδη γεωμετρικά αντικείμενα και διαδικασίες.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Δίνεται γωνία xÔy και η ημιευθεία Ο'x'. Να κατασκευασθεί γωνία ίση με τη xÔy η οποία έχει ως μια πλευρά, την Ο'x' και κορυφή το Ο'.

• Κατασκευή

Καθιστούμε τη γωνία xÔy (σχ.67) επίκεντρη γράφοντας κύκλο με κέντρο Ο και τυχαία ακτίνα ρ. Έστω ΑΒ το αντίστοιχο τόξο της. Με κέντρο Ο' και ακτίνα την ίδια, γράφουμε άλλον κύκλο που τέμνει την Ο'x' στο Α'. Ακολούθως γράφουμε τον κύκλο (Α', ΑΒ) του οποίου ένα κοινό σημείο με τον (Ο',ρ) είναι το Β'. Φέρουμε την ημιευθεία Ο'Β'. Η γωνία x'O'Β', δηλαδή η x'O'y' είναι η ζητούμενη.

Σχήμα 67

• Απόδειξη

Οι γωνίες xÔy και x'Ô'y' είναι ίσες, γιατί είναι επίκεντρες στους ίσους κύκλους (Ο,ρ), (Ο',ρ) και βαίνουν στα ίσα τόξα ΑΒ και Α'Β' αντίστοιχα. (§ 2.18)

• Διερεύνηση

Για να έχει το πρόβλημα λύση, θα πρέπει οι κύκλοι (Ο',ρ) και (Α', ΑΒ) να τέμνονται. Αυτό όμως, συμβαίνει πάντοτε, επειδή για τη διάκεντρό τους Ο'Α' = ρ ισχύει: ρ - ΑΒ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Να κατασκευασθεί η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος.

• Κατασκευή

Έστω τμήμα ΑΒ (σχ.68). Με κέντρα τα άκρα του Α, Β και ακτίνα γράφουμε δύο ίσους κύκλους. Αν Γ, Δ είναι τα κοινά σημεία των κύκλων αυτών, η ευθεία ε που ορίζουν είναι η ζητούμενη.

Σχήμα 68

• Απόδειξη

Η ευθεία ε είναι κοινή χορδή ίσων κύκλων, επομένως είναι κάθετη στη διάκεντρο ΑΒ (§3.16)

• Διερεύνηση

Για να έχει το πρόβλημα λύση θα πρέπει οι κύκλοι (Α, ρ) και (Β, ρ) να τέμνονται. Αυτό όμως ισχύει, αφού η διάκεντρό τους ΑΒ ικανοποιεί την ρ - ρ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Με την παραπάνω κατασκευή βρίσκουμε και το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Αρκετές φορές τα παραπάνω βήματα: κατασκευή, απόδειξη, διερεύνηση μπορεί να παρουσιάζονται ενοποιημμένα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Δίνεται ευθεία ε και σημείο Α. Να κατασκευασθεί ευθεία που να διέρχεται από το Α κάθετη στην ε, όταν:
(i) το Α είναι σημείο της ευθείας ε,
(ii) το Α δεν είναι σημείο της ε.

Λύση

(i) Με κέντρο το Α (σχ.69) και τυχαία ακτίνα γράφουμε κύκλο, ο οποίος τέμνει την ε στα σημεία Β και Γ. Έτσι το Α έγινε μέσο του τμήματος ΒΓ και επομένως η ζητούμενη κάθετος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ (προηγούμενη κατασκευή).

(ii) Με κέντρο το Α (σχ.70) και κατάλληλη ακτίνα γράφουμε κύκλο που τέμνει την ευθεία ε στα Β και Γ. Η μεσοκάθετος ζ του τμήματος ΒΓ, που κατασκευάζεται όπως προηγουμένως, είναι η ζητούμενη κάθετος.
Πράγματι, επειδή ΑΒ = ΑΓ, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου, η μεσοκάθετος της χορδής ΒΓ διέρχεται από το Α.

Σχήμα 69

Σχήμα 70

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4

Να κατασκευασθεί η διχοτόμος μιας γωνίας.

Λύση

Έστω γωνία xÔy (σχ.71). Με κέντρο το Ο και τυχαία ακτίνα, γράφουμε κύκλο, που τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα Α, Β αντίστοιχα. Φέρουμε τη μεσοκάθετο δ (Πρόβλημα 2) της χορδής ΑΒ που είναι και η ζητούμενη διχοτόμος.
Πράγματι η ευθεία δ, ως μεσοκάθετος χορδής κύκλου, διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο ΑΒ της γωνίας xÔy (§ 3.6). Επομένως είναι διχοτόμος της.

Σχήμα 71

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Να κατασκευασθεί η εφαπτομένη ενός κύκλου (Ο,ρ) σε ένα σημείο του Α.

Λύση

Στην προέκταση της ακτίνας ΟΑ (σχ.72) παίρνουμε το σημείο Β, ώστε να είναι ΑΒ = ΟΑ. Στη συνέχεια φέρουμε τη μεσοκάθετο του ΟΒ που είναι η εφαπτομένη του κύκλου, γιατί είναι κάθετη στην ακτίνα στο άκρο της Α.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Για την κατασκευή των εφαπτομένων από σημείο εκτός κύκλου βλέπε σελ 137.

Σχήμα 72

ΤΡΙΓΩΝΑ

3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων

Σε αντιστοιχία με τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων (§3.2-3.4) έχουμε τις επόμενες γεωμετρικές κατασκευές

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου δίνονται οι πλευρές ΑΒ = γ, ΑΓ = β και ηπεριεχόμενη γωνία A= ω.

Λύση

Με πλευρά μια ημιευθεία Αx κατασκευάζουμε (§ 3.17) γωνία xAy = ω (σχ.73). Στις πλευρές Αx, Ay παίρνουμε, με το διαβήτη, τα σημεία Β, Γ

Σχήμα 73

αντίστοιχα, ώστε ΑΒ = γ και ΑΓ = β. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. Πράγματι, από την κατασκευή, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΓ = γ, ΑΓ = β και A = ω. Με τον περιορισμό 0°

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου δίνεται η πλευρά ΒΓ=α και οι προσκείμενες σε αυτή γωνίες B= ω και Γ = φ.

Λύση

Θεωρούμε τμήμα ΒΓ = α και με κορυφές τα Β, Γ (σχ.74) κατασκευάζουμε, προς το ίδιο μέρος της ΒΓ, γωνίες ΓΒx = ω και ΒΓy = φ. Οι πλευρές Bx,

Σχήμα 74

Γy των γωνιών αυτών τέμνονται στο σημείο Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. Πράγματι, από την κατασκευή, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΒΓ = α, Β = ω και Γ = φ. Με τον περιορισμό 0° ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου δίνονται οι πλευρές ΒΓ = α, ΑΓ = β και ΑΒ = γ.

Λύση

Θεωρούμε τμήμα ΒΓ = α (σχ.75) και γράφουμε τους κύκλους (Β,γ) και (Γ,β). Αν οι κύκλοι τέμνονται και Α είναι το ένα από τα σημεία τομής τους, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο.

Σχήμα 75

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Πράγματι το τρίγωνο ΑΒΓ, από την κατασκευή, έχει ΒΓ = α, ΑΒ = γ ως ακτίνα του (Β,γ) και ΑΓ = β ως ακτίνα του (Γ, β).
Για να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει οι κύκλοι (Β,γ) και (Γ,β) να τέμνονται, το οποίο συμβαίνει (§3.16) όταν β - γ γ). Αν Α' είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων (Β, γ) και (Γ, β), το τρίγωνο Α'ΒΓ είναι ίσο με το ΑΒΓ, επομένως δεν αποτελεί νέα λύση του προβλήματος, αφού τα τρίγωνα είναι ίσα.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Από την παραπάνω κατασκευή προκύπτει ότι τρία τμήματα α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνον αν
ισχύει β-γ<α<β+γ (β ≥ γ). Αν υποθέσουμε ότι α>β και α>γ, η τελευταία διπλή ισότητα είναι ισοδύναμη με
την α<β+γ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Πώς θα χωρισθεί με κανόνα και διαβήτη ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τέσσερα ίσα τμήματα;
2. Πώς θα βρεθεί με κανόνα και διαβήτη το μέσο ενός τόξου δοσμένου κύκλου;
3. Πώς θα βρεθεί το κέντρο ενός κύκλου που έχει γραφεί με ένα νόμισμα;
4. Τα τμήματα α, β, γ με α > β και α > γ είναι πλευρές τριγώνου όταν:
α. α= β+γ β. α>β+γ γ. α>β+γ δ. α ε. Τίποτε από τα προηγούμενα.
Kυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Ασκήσεις Εμπέδωσης

1. Να κατασκευάσετε γεωμετρικά γωνία 45°.
2. Να χωρίσετε δοσμένη γωνία σε τέσσερις ίσες γωνίες.
3. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά γνωστό τμήμα α.
4. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο του οποίου δίνονται η βάση α και το αντίστοιχο σε αυτήν ύψος υ.
5. Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A = 90°, όταν δίνονται:
i) ΑΒ = γ και ΑΓ = β,
ii) ΑΒ = γ και ΒΓ = α,
όπου α, β, γ γνωστά τμήματα.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Έστω τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' τέτοια, ώστε ΑΓ = Α'Γ', Γ = Γ' και Β + Β' = 2∟. i) Να αποδείξετε ότι ΑΒ = Α'Β', ii) Διατυπώστε λεκτικά την άσκηση αυτή.
2. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και με πλευρές τις ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ κατασκευάζουμε εξωτερικά του ΑΒΓ τρία ισόπλευρα τρίγωνα Α'ΒΓ, ΑΒ'Γ και ΑΒΓ'. Να αποδείξετε ότι ΑΑ' = ΒΒ' = ΓΓ'.
3. Αν ΟΚ, ΟΛ είναι αντίστοιχα τα αποστήματα των χορδών ΑΒ, ΓΑ κύκλου (O,R), να αποδείξετε ότι ΑΒ ΟΛ.
4. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Α, Ε, Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα, ώστε ΑΑ = ΒΕ = ΓΖ. Αν Κ, Λ, Μ τα σημεία τομής των ΑΕ, ΓΔ και ΒΖ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β

Γ = A2.

6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΒΓ2 και Γ = B2. Να αποδείξετε ότι ΑΒ = 1∟.
7. Να αποδείξετε ότι δύο τρίγωνα τα οποία έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες διαμέσους που περιέχονται στις πλευρές αυτές ίσες μία προς μία είναι ίσα.
8. Δίνεται μια γωνία xΟy και δύο εσωτερικά της ση- μεία Α και Β. Έστω Α' το συμμετρικό του Α ως προς την Ox και Β' το συμμετρικό του Β ως προς την Oy. Αν Μ, Ν είναι τυχαία σημεία των Ox, Oy αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΑΜ+ΜΝ+ΝΒ =Α'Μ+ΜΝ+ΝΒ'.
Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής να βρείτε τις θέσεις των Μ, Ν, για τις οποίες το άθροισμα ΑΜ + ΜΝ + ΝΒ είναι το μικρότερο δυνατό.

ΤΡΙΓΩΝΑ

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Τα τρίγωνα ταξινομούνται σε
• σκαληνά, ισοσκελή και ισόπλευρα , ως προς τις πλευρές τους.
• οξυγώνια, ορθογώνια και αμβλυγώνια, ως προς τις γωνίες τους.

Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του, ενώ οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη του λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
• Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ).
• Μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ).
• Και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία (ΠΠΠ).

Ειδικότερα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
• Δύο οποιεσδήποτε ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία.
• Μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία αντίστοιχα, ίσες μία προς μία.

Στο ισοσκελές τρίγωνο:

• Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες.
• Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος.
• Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι ύψος και διχοτόμος.
• Το ύψος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι διχοτόμος και διάμεσος.

Στον κύκλο:
• Αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες και αντίστροφα.
• Δύο χορδές είναι ίσες, αν και μόνον αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.
• Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής:
- διέρχεται από το κέντρο του κύκλου,
- είναι μεσοκάθετος της χορδής,
- διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο της χορδής.

Βασικοί γεωμετρικοί τόποι είναι: ο κύκλος, η μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος και η διχοτόμος γωνίας.
• Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, που ισαπέχουν από τα άκρα του.
• Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίας, που ισαπέχουν από τις πλευρές της.

Δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο ή μια ευθεία ε, όταν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ, ως προς το Ο ή την ε και αντίστροφα.

Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο:
• Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου.
• Απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες.
• Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Βασική συνέπεια:
• Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι B = Γ, τότε θα είναι και β = γ.
• Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της βάσης ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διχοτόμος και διάμεσος ή διχοτόμος και ύψος ή διάμεσος και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

Εικόνα

Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Σχέση χορδών και αποστημάτων

Βασικοί γεωμετρικοί τόποι:

• κύκλος
• μεσοκάθετος
• διχοτόμος

Συμμετρία ως προς κέντρο και άξονα

Ανισοτικές σχέσεις - Κάθετες και πλάγιες

Σχετικές θέσεις:

• ευθείας και κύκλου
• δύο κύκλων

Απλές γεωμετρικές κατασκευές - Βασικές κατασκευές τριγώνων