ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαμβάνει την ύλη της Άλγεβρας και των Πιθανοτήτων που προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών της Α’ τάξης του Γενικού Λυκείου.

Το βιβλίο αυτό προήλθε από αναμόρφωση της Α’ έκδοσης (2010) του βιβλίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α’ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ, του οποίου τη συγγραφική ομάδα αποτελούν οι Σ. Ανδρεαδάκης, Β. Κατσαργύρης, Σ. Παπασταυρίδης, Γ. Πολύζος και Α. Σβέρκος. Προ­στέθηκαν επίσης δυο ακόμα κεφάλαια: το κεφάλαιο «Πιθανότητες» και το κεφάλαιο «Πρόοδοι».

Το κεφάλαιο «Πιθανότητες» είναι μέρος του αντίστοιχου κεφαλαίου από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ’ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (2010) του οποίου τη συγγραφική ομάδα αποτελούν οι Λ. Αδαμόπουλος, Χ. Δαμιανού και Α. Σβέρκος. Το κεφάλαιο «Πρόοδοι» είναι μέρος του αντίστοιχου κεφαλαίου από το βιβλίο ΑΛΓΕΒΡΑ Β’ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (2010), του οποίου τη συγγραφική ομάδα αποτελούν οι Σ. Ανδρεαδάκης, Β. Κατσαργύρης, Σ. Παπασταυρίδης, Γ. Πολύζος και Α. Σβέρκος.

Το περιεχόμενο του βιβλίου περιλαμβάνει σε γενικές γραμμές τα εξής:

Στο 1° Κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στη Θεωρία των Πιθανοτήτων. Η απόδειξη των ιδιοτήτων της πιθανότητας ενός ενδεχομένου γίνεται μόνο στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων ασχολείται με καταστάσεις όπου υπάρχει αβεβαιότητα, και αυτό την κάνει ιδιαίτερα σημαντική στις εφαρμογές της καθημερινής ζωής.

Στο 2° Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, συμπληρώνονται και επεκτείνονται οι βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.

Στο 3° Κεφάλαιο επαναλαμβάνονται, επεκτείνονται και εξετάζονται συστηματικά όσα είναι γνωστά από το Γυμνάσιο για τις εξισώσεις 1^ου και 2^ου βαθμού. Επίσης εξετάζονται εξισώσεις που, για να επιλυθούν, ανάγονται σε 1^ου και 2^ου βαθμού.

Στο 4° Κεφάλαιο παρουσιάζονται ανισώσεις 1^ου και 2^ου βαθμού καθώς και ανισώσεις που, για να επιλυθούν, ανάγονται σε 1^ου και 2^ου βαθμού.

Στο 5° Κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στην έννοια της ακολουθίας πραγματικών αριθμών, και εξετάζονται η αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος ως ειδικές περιπτώσεις κανονικότητας (pattern) σε ακολουθίες.

Στο 6° Κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της συνάρτησης. Η συνάρτηση είναι μια θεμελιώδης έννοια που διαπερνά όλους τους κλάδους των Μαθηματικών και έχει κεντρική σημασία για την περαιτέρω ανάπτυξη και εφαρμογή τους.

Στο 7° Κεφάλαιο γίνεται μελέτη των συναρτήσεων , και ƒ(x)=αx²+βx+γ . Η μελέτη της ƒ(x)=αx²+βx+γ είναι ο κεντρικός στόχος του κεφαλαίου αυτού.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Ε1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής

Ε2 Σύνολα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί

2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους

2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Εξισώσεις

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

3.2 Η ΕΞΙΣΩΣΗ x^ν = α

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2^ου ΒΑΘΜΟΥ

4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Πρόοδοι

5.1 Ακολουθίες

5.2 Αριθμητική πρόοδος

5.3 Γεωμετρική πρόοδος

5.4 Ανατοκισμός - Ίσες καταθέσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ƒ(x) = αx + β

6.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

6.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = αx²

7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ:

7.3 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = αx² + βx + γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κτλ. Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο.

Η συνεπαγωγή

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β. Είναι γνωστό ότι:

Αυτό σημαίνει ότι:

Αν ο ισχυρισμός « α = β » είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός « α² = β² » θα είναι αληθής.

Γι’ αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός « α = β » συνεπάγεται τον ισχυρισμό «α² = β²» και γράφουμε: α = β ⇒ α² = β² .

Γενικά:

Ο ισχυρισμός «P ⇒ Q » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής⁽¹⁾.

⁽¹⁾ Στην καθημερινή πράξη, συνήθως, δεν χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές με ψευδή υπόθεση. Αλλά και η μαθηματική επιστήμη δεν έχει ανάγκη τέτοιου είδους συνεπαγωγών. Όμως, για τεχνικούς λόγους που συνδέονται με την ευκολία της έκφρασης μαθηματικών ζητημάτων, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συνεπαγωγή « P ⇒ Q » να είναι αληθής και στην περίπτωση που η υπόθεση P είναι ψευδής. Έτσι, η συνεπαγωγή « P ⇒ Q » είναι ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση. Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίνεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρόντος βιβλίου δεν μπορούν να εξηγηθούν οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτή.

Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή

Ας θεωρήσουμε τις γνωστές μας από το Γυμνάσιο συνεπαγωγές:

α = β ⇒ α² = β²       (1)

α = β ⇒ α + γ = β + γ       (2),

• Για την πρώτη συνεπαγωγή, δεν ισχύει το αντίστροφο. Δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή

• Για τη δεύτερη, όμως, συνεπαγωγή ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει και η συνεπαγωγή:
  

α + γ = β + γ ⇒ α = β

Γι’ αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε:

α = β ⇔ α + γ = β + γ .

Γενικά:

Ο ισχυρισμός « P ⇔ Q » λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «P αν και μόνο αν Q».

Ο σύνδεσμος «ή»

Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι ίσος με το μηδέν.

α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0

Γενικά:

Ο ισχυρισμός «P ή Q» λέγεται διάζευξη των P και Q .
Για παράδειγμα η εξίσωση

(x² - x)(x² -1) = 0

αληθεύει, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες x² - x και x² - 1 είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει η διάζευξη:

x² - x = 0 ή x² - 1 = 0.

Παρατηρούμε εδώ ότι:

• Για x = 1 αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, ενώ

• Για x = 0 αληθεύει μόνο η πρώτη και για x = -1 αληθεύει μόνο η δεύτερη.

Ο σύνδεσμος «και»

«Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνον αν και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός».

α ≠ 0 και β ≠ 0

Έτσι, έχουμε την ισοδυναμία

α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0

Γενικά:

Ο ισχυρισμός «P και Q» λέγεται σύζευξη των P και Q .
Για παράδειγμα, ο ισχυρισμός

x(x -1) = 0 και (x -1)( x +1) = 0

αληθεύει για εκείνα τα x για τα οποία αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, δηλαδή για x = 1 .

Ε.2 ΣΥΝΟΛΑ

Η έννοια του συνόλου

Πολλοί άνθρωποι συνηθίζουν να συλλέγουν διάφορα πράγματα, όπως π.χ. γραμματόσημα, νομίσματα, πίνακες ζωγραφικής, εφημερίδες, βιβλία κτλ. Οι περισσότεροι συλλέκτες ταξινομούν τις συλλογές τους σε κατηγορίες, π.χ. «γραμματόσημα που προέρχονται από την ίδια χώρα», «νομίσματα του περασμένου αιώνα», «πίνακες της αναγέννησης» κτλ.
Επίσης από αρχαιοτάτων χρόνων οι άνθρωποι ενδιαφέρθηκαν για τους αριθμούς και τους ταξινόμησαν σε κατηγορίες, όπως είναι π. χ. «οι άρτιοι αριθμοί», «οι πρώτοι αριθμοί» κτλ.
Συλλογές ή κατηγορίες όπως οι παραπάνω ή ακόμη ομάδες αντικειμένων, ομοειδών ή όχι, που μπορούμε με κάποιο τρόπο να τα ξεχωρίσουμε, ονομάζονται στα Μαθηματικά σύνολα.
Σύμφωνα με τον μεγάλο μαθηματικό Cantor:

Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.

• με ℕ συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών,

• με ℤ το σύνολο των ακεραίων αριθμών,

• με ℚ το σύνολο των ρητών αριθμών και

• με ℝ το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Τα σύμβολα ∈ και ∉

Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε x ∈ Α και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α», ενώ για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε x ∉ Α και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Για παράδειγμα

Παράσταση συνόλου

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους:

α) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με το κόμμα. Έτσι π.χ., αν το σύνολο Α έχει ως στοιχεία τους αριθμούς 2, 4 και 6, γράφουμε:

Α = {2, 4, 6}

Πολλές φορές χρησιμοποιούμε έναν παρόμοιο συμβολισμό και για σύνολα που έχουν πολλά ή άπειρα στοιχεία, γράφοντας μερικά μόνο από αυτά και αποσιωπώντας τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι αυτά που παραλείπονται. Έτσι για παράδειγμα το σύνολο Β των ακεραίων από το 1 μέχρι το 100 συμβολίζεται ως εξής

Β = {1, 2, 3, ... , 100},

ενώ το σύνολο των κλασμάτων της μορφής , όπου ν θετικός ακέραιος, συμβολίζεται ως εξής:

Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου με αναγραφή των στοιχείων του».

β) Αν από το σύνολο των πραγματικών αριθμών επιλέξουμε εκείνους που έχουν την ιδιότητα να είναι θετικοί, τότε φτιάχνουμε το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με:

{x ∈ ℝ | x>0}

και διαβάζεται «Το σύνολο των x∈ ℝ , όπου x>0 ».
Ομοίως το σύνολο των άρτιων ακεραίων συμβολίζεται

{x ∈ℤ | x άρτιος}

Γενικά, αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι, τότε φτιάχνουμε ένα νέο σύνολο που συμβολίζεται με:

{x ∈ Ω | x έχει την ιδιότητα Ι}

και διαβάζεται «Το σύνολο των x ∈ Ω, όπου x έχει την ιδιότητα Ι». Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου με περιγραφή των στοιχείων του».

Ίσα σύνολα

Ας θεωρήσουμε τώρα τα σύνολα:

Α = {1, 2} και Β= {x∈ ℝ | (x - 1)(x - 2) = 0 }

Με άλλα λόγια:
«Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α».
Στην περίπτωση αυτή γράφουμε Α = Β.

Υποσύνολα συνόλου

Ας θεωρήσουμε τα σύνολα

Α={1, 2, 3, ... , 15}     και     Β={1, 2, 3, ... , 100}

Γενικά:

Στην περίπτωση αυτή γράφουμε Α ⊆ Β . Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι:
i) Α ⊆ Α, για κάθε σύνολο Α.
ii) Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ, τότε Α ⊆ Γ .
iii) Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Α, τότε Α = Β .

Το κενό σύνολο

Ας αναζητήσουμε τα στοιχεία του συνόλου Α = {x ∈ ℝ | x² = -1}. Είναι φανερό ότι τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν, αφού η εξίσωση x² = -1 είναι αδύνατη στο ℝ. Το σύνολο αυτό, που δεν έχει κανένα στοιχείο, λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με ∅΄ ή { }.

Δηλαδή:

Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

Διαγράμματα Venn

Μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων γίνεται με τα διαγράμματα Venn.

Το βασικό σύνολο συμβολίζεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου, ενώ κάθε υποσύνολο ενός βασικού συνόλου παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου.
Αν Α ⊆ Β, τότε το Α παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλης που παριστάνει το Β.

Πράξεις με σύνολα

Έστω Ω = {1, 2, 3, ...,10} ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του:

Α = {1, 2, 3, 4} και Β = {3, 4, 5, 6} .

• Το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6}, που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα μη κοινά στοιχεία των Α και Β, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα Α και Β λέγεται ένωση των συνόλων Α και Β.

Γενικά:

Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α∪Β .

Δηλαδή είναι:

Α∪Β = {x ∈ Ω| x ∈ Α ή x ∈ Β}

• Το σύνολο {3, 4} που έχει ως στοιχεία τα κοινά μόνο στοιχεία των Α και Β λέγεται τομή των Α και Β.

Γενικά:

Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α ∩ Β

Δηλαδή είναι:

Α ∩ Β = {x ∈ Ω| x ∈ Α και x ∈ Β}

• Το σύνολο {5, 6, 7, 8, 9, 10} που έχει ως στοιχεία τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α, λέγεται συμπλήρωμα του συνόλου Α.

Γενικά:

Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α΄.

Δηλαδή είναι:

Α΄ = {x ∈ Ω | x∉Α}