Άλγεβρα (Α Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή
Κεφάλαιο 7: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων Υποδείξεις - Απαντήσεις Ασκήσεων Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

1.
  1. Να αποδείξετε την ταυτότητα
    α2 + β2 + γ2 - αβ - βγ - γα = 1/2 [(α - β)2 + (β - γ)2 + (γ - α)2].
  2. Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ∈ℝ ισχύει

α2 + β2 + γ2≥ αβ + βγ + γα.

Πότε ισχύει ισότητα;
2.

Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (β, γ, α) είναι πυθαγόρεια τριάδα όταν β2 + γ2 = α2 , δηλαδή όταν οι β, γ, α είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.

i. Αν (β, γ, α) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και κ είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (κβ, κγ, κα) είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα.
ii. Αν μ και ν θετικοί ακέραιοι με μ>ν, να δείξετε ότι η τριάδα (μ2 - ν2, 2μν, μ2 + ν2) είναι πυθαγόρεια τριάδα. Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις πυθαγόρειες τριάδες που αντιστοιχούν στις τιμές των μ και ν που δίνονται στις δυο πρώτες στήλες: triangle
  table
3.

A) Να αποδείξετε ότι type. Τι σημαίνει η ανισότητα αυτή για ένα ορθογώνιο με διαστάσεις α και β ; Πότε ισχύει η ισότητα;

B) Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας (ή και με άλλο τρόπο), να αποδείξετε ότι:

  1. Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο P το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδό.
  2. Από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδό E το τετράγωνο έχει την ελάχιστη περίμετρο.
4.

Δίνεται η εξίσωση 3(x + 1) - αx = 4, α ER

  1. Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του α ER.
  2. Για ποιες τιμές του α ER η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του 1;
5.

Δίνεται η εξίσωση λ2(χ - 1) + 3λ = χ + 2, λ ER

  1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα:
    (λ − 1)(λ + 1) χ = (λ − 1)(λ − 2).
  2. Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του λ ER.
  3. Να βρείτε τις τιμές του λ ER για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 1/4 .
6. Από τη φυσική γνωρίζουμε ότι στην κατακόρυφη βολή ενός σώματος με αρχική ταχύτητα ν0 το ύψος h του σώματος συναρτήσει του χρόνου t της κίνησης του δίνεται από τον τύπο type, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
A) Αν v0 = 60m/sec και g=10m/sec2 :
  1. Να βρείτε πότε το σώμα θα φθάσει σε ύψος h =180 μέτρα.
  2. Να βρείτε πότε το σώμα θα βρεθεί σε ύψος h =100 μέτρα.

Ποια είναι η ερμηνεία των προηγούμενων απαντήσεων;
B) Στη γενική περίπτωση όπου type, με τα v0 και g σταθερά, να βρείτε τη συνθήκη που πρέπει να ισχύει, ώστε το σώμα να φθάσει σε δεδομένο ύψος h0 .
7. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις
type

και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείε- ται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g.
8.
A) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
type

και με τη βοήθεια αυτών να βρείτε τις λύσεις της ανίσωσης
type.
B) Στη συνέχεια να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα.
9.
A) Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
type
B) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος
type

για τις διάφορες τιμές του α ER.
10. Σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy.
  1. Να δείξετε ότι η εξίσωση y2 − x2 = 0 παριστάνει τις διχοτόμους δ1 και δ2 των γωνιών των αξόνων τις οποίες και να σχεδιάσετε.
  2. Ποια είναι η απόσταση ενός σημείου M (x, y) του επιπέδου από το σημείο K (α, 0) του άξονα x′x ; Να δείξετε ότι η εξίσωση (x − α)2 + y2 = 1, α ER παριστάνει στο επίπεδο κύκλο C με κέντρο K και ακτίνα 1. Σχεδιάστε τον κύκλο για μια τιμή του α.
  3. Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος
    type

    για τις διάφορες τιμές του α ER .
11.
Στο διπλανό σχήμα τα C1 και C2 είναι ημικύκλια με κέντρα Κ και Λ και ακτίνες R1 = 6cm και R2 = 3cm αντιστοίχως, ενώ το Μ είναι ένα σημείο της διακέντρου ΚΛ και η ΜΔ είναι κάθετη στην ΚΛ. Να βρείτε το μήκος x του τμήματος ΛΜ, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Γ είναι μέσο του ΜΔ. shape
12. Θεωρούμε έναν άξονα x'x και παίρνουμε πάνω σ' αυτόν τα σταθερά σημεία Α(−1) , Β(1) και ένα μεταβλητό σημείο Μ( x) . Θέτουμε
type

  1. Να αποδείξετε ότι:
    type
  2. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f και g.
  3. Να βρείτε με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή (εφόσον υπάρχουν) των συναρτήσεων f και g, καθώς και τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζονται.
13. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
type

  1. Από τις γραφικές παραστάσεις να βρείτε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων f, g, h, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών.
  2. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα.
14.
A) Δίνεται η συνάρτηση type
  1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
  2. Να αποδείξετε ότι αν το σημείο M(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, το σημείο M '(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g (x) = x2 .
  3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε πρώτα τη γραφική παρά- σταση της συνάρτησης g και στη συνέχεια, με τη βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Ποιο είναι το είδος της μονοτονίας και ποιο το ακρότατο της συνάρτησης f;
B) Να δείξετε ότι η συνάρτηση type είναι άρτια και στη συνέχεια να χαράξετε τη γραφική της παράσταση.
Γ) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της type.
graph

Αν Α', Β', Γ ' , …, Μ ', Ν ' είναι τα σημεία της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες 1, 2, 3,…, ν, ν +1 αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΑ'Β', ΓΒ'Γ', ΝΜ'Ν' είναι ισοσκελή.
15.
Μία γέφυρα έχει ένα παραβολικό τόξο του οποίου το πλάτος είναι 8m και ύψος είναι 5,6m. Κάτω από τη γέφυρα θέλει να περάσει γεωργικό μηχάνημα του οποίου η καρότσα έχει πλάτος 6m και ύψος 2m. Μπορεί το μηχάνημα να περάσει; shape
16. Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 20cm και το μέσον Ο της ΑΔ . Ένα κινητό σημείο Μ ξεκινά από το Α και, διαγράφοντας την πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ , καταλήγει στο Δ .
type

Αν με x συμβολίσουμε το μήκος της διαδρομής που έκανε το κινητό Μ και με f(x) το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου,
  1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης f.
  2. Να παραστήσετε γραφικά την f.
  3. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ισχύει f(x) = 120 cm2.
17.
Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς 2 μ. και το M είναι ένα σημείο της διαγωνίου ΑΓ με (ΑΡ) = x . Συμβολίζουμε με
f( x) το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ και με
g (x) το εμβαδόν του τραπεζίου ΜΓΔΣ .		 shape
  1. Να αποδείξετε ότι
    type

  2. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες τα δύο εμβαδά είναι ίσα.
  3. Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις συναρτήσεις f και g και να βρείτε, με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, με προσέγγιση την τιμή του x για την οποία τα δύο εμβαδά είναι ίσα.
18.
Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, το Μ είναι τυχαίο σημείο της ΟΑ και ΜΝ//ΟΒ. Αν (ΟΑ)=4, (ΟΒ)=3 και (ΟΜ)=x, και Ε(x) είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΒΜΝ, shape
  1. Να αποδείξετε ότι
    type

  2. Να βρείτε τη θέση του Μ για την οποία το εμβαδόν E(x) μεγιστοποιείται. Ποια είναι η μέγιστη τιμή του E(x).
19.
Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία A(0,4) και B(2,2) , καθώς και το σημείο M(x,0) που κινείται κατά μήκος του άξονα x ' x . shape
  1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ στο οποίο τέμνει η ευθεία ΑΒ τον άξονα x ' x .
  2. Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου shape συναρτήσει της τετμημένης x του σημείου Μ και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή.
20.

Σε ένα τμήμα ΑΒ = 10km μιας λεωφόρου πέφτει συνεχώς χιόνι και το ύψος του χιονιού αυξάνεται 1cm την ώρα. Όταν αρχίζει η χιονόπτωση ένα εκχιονιστικό μηχάνημα αρχίζει από το άκρο Α να καθαρίζει το χιόνι κινούμενο κατά μήκος του δρόμου με ταχύτητα 10km/h . Μόλις φτάσει στο Β γυρίζει και καθαρίζει το δρόμο αντιστρόφως από το Β προς το Α και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο.

  1. Να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα για το ύψος του χιονιού στο Α , παραβλέποντας το χρόνο στροφής στα Α και Β.
  2. Να κάνετε το ίδιο για το ύψος του χιονιού στο μέσο Μ του ΑΒ.
21. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {0, 1, 2, 3,..., 100}. Δίνονται και οι πιθανότητες shapeκ = 1, 2,..., 100. Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(0).
22. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α, Β υποσύνολα του Ω. Υποθέτουμε ότι P(A')≤0,28 και P(B')≤0,71. Να αποδείξετε ότι i) P(A∩B)≥1,01− P(A∪B) και ii) A∩B≠∅.