Πρόοδοι

5.1 Ακολουθίες

Η έννοια της ακολουθίας

Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που θα αποδώσει το κεφάλαιο προστίθενται σε αυτό και το ποσό που προκύπτει ξανατοκίζεται για τον επόμενο χρόνο με το ίδιο επιτόκιο. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί όσα χρόνια θέλουμε. Επομένως, το κεφάλαιο των 10000 ευρώ θα γίνει:

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι το ποσό των 10000 ευρώ θα γίνει:

Σε 3 χρόνια 10000 (1,02)³ ευρώ, σε 4 χρόνια 10000·(1,02)⁴ ευρώ κτλ. και σε ν χρόνια θα γίνει 10000(1,02 )^ν ευρώ.

Έτσι έχουμε τον πίνακα:

Παρατηρούμε ότι κάθε θετικός ακέραιος ν αντιστοιχίζεται στον πραγματικό αριθμό 10000·(1,02)^ν.

Η παραπάνω αντιστοίχιση ονομάζεται ακολουθία πραγματικών αριθμών.

Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,2,3,…,ν,… στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α₁, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α₂ κ.λ.π. Γενικά ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν καλείται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και το συμβολίζουμε συνήθως με α_ν. Δηλαδή, 1→ α₁, 2→ α₂, 3→α₃, …, ν→α_ν, … Την ακολουθία αυτή τη συμβολίζουμε (α_ν).

Παραδείγματα.

1. Η αντιστοίχιση 1→1², 2→2²,... ν→ν²,... είναι η ακολουθία (α_ν) πρώτο όρο α₁=1², δεύτερο όρο α₂=2² κλπ. και γενικό όρο α_ν=ν².
2. Η ακολουθία (α_ν) με γενικό όρο α_ν= (-1)^ν έχει όρους: α₁=-1, α₂=1, α₃= -1,…
3. 

Ακολουθίες που ορίζονται αναδρομικά

Στην ακολουθία 1², 2², 3², ..., ν²,... ο γενικός της όρος α_ν = ν² μας επιτρέπει να βρούμε τον οποιονδήποτε όρο της. Είναι π.χ. α₂₀ = 20² = 400, α₁₀₀ = 100² = 10000 κτλ.

Υπάρχουν όμως και ακολουθίες που για το γενικό τους όρο είναι δύσκολο να βρεθεί ένας μαθηματικός τύπος

Ας θεωρήσουμε π.χ. την ακολουθία (α_ν), της οποίας ο πρώτος όρος είναι το 1, ο δεύτερος όρος είναι επίσης το 1 και κάθε άλλος όρος, από τον τρίτο και μετά, είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων όρων:

α₁=1 , α₂=1 , α_ν+2= α_ν+1+α_ν

Έχουμε:

Παρατηρούμε ότι μπορούμε με διαδοχικά βήματα να βρούμε τον οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία (α_ν) είναι τελείως ορισμένη.

Λέμε ότι η ακολουθία (α_ν) ορίζεται αναδρομικά και η ισότητα α_ν+2 = α_ν+1+α_ν λέγεται αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Γενικότερα, για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε:

1. Τον αναδρομικό της τύπο και
2. Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους.

Σχόλιο: Υπάρχουν ακολουθίες, για τις οποίες μέχρι τώρα δε γνωρίζουμε ούτε έναν τύπο για το γενικό τους όρο ούτε έναν αναδρομικό τύπο. Μια τέτοια ακολουθία είναι π.χ. η ακολουθία των πρώτων αριθμών:

2, 3, 5, 7, 11, 13,...

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1^ο Να γράψετε τους τέσσερις πρώτους όρους και τους 20ους όρους των ακολουθιών

ΛΥΣΗ

2^ο Δίνεται η ακολουθία με α₁ = 2 και α_ν = α_ν² + 1. Να βρεθούν οι πρώτοι τέσσερις όροι της ακολουθίας

ΛΥΣΗ

3^ο Δίνεται η ακολουθία α_ν = 3ν+5. Να οριστεί η ακολουθία αυτή και αναδρομικά.

ΛΥΣΗ

Άρα α_ν+1= 3+α_ν που είναι ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Επειδή α₁ = 3 ·1+5 = 8, η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής:

α₁= 8 και α_ν+1= 3+α_ν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5.2 Αριθμητική πρόοδος

-Στην ακολουθία 1, 3, 5, 7,... των περιττών αριθμών, κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του αριθμού 2. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

α_ν+1 = α_ν + 2     ή     α_ν+1 - α_ν = 2

Η ακολουθία (α_ν) λέγεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2.

-Στην ακολουθία 15, 10, 5, 0, -5, -10,... κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του αριθμού -5. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

α_ν+1=α_ν-5     ή     α_ν+1-α_ν=-5

Όπως και προηγουμένως, η ακολουθία (α_ν) λέγεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά -5.

Γενικότερα ορίζουμε ότι:

Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου.

Επομένως, η ακολουθία (α_ν) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, αν και μόνο αν ισχύει:

Αν σε μια αριθμητική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της α₁ και τη διαφορά της ω τότε ο αναδρομικός της τύπος α_ν+1 = α_ν+ω μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε όρο της.

Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε κατευθείαν το ν_ο= όρο α_ν μιας αριθμητικής προόδου ως συνάρτηση των α₁ , ω και ν ως εξής: Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

Προσθέτοντας κατά μέλη της ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της διαγραφής βρίσκουμε α_ν = α₁ + (ν-1)ω

Επομένως

Έτσι π.χ. στην αριθμητική πρόοδο 3, 5, 7, 9 ................ η οποία έχει α₁ = 3 και ω=5-3=2, ο ν_ος όρος της είναι α_ν = 3+(ν-1) 2. Επομένως ο 20ος όρος της είναι α₂₀ = 3+19 · 2 = 41, ο 100ος όρος της είναι α₁₀₀ = 3+99·2 = 201 κτλ.

Αριθμητικός μέσος

Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, τότε ισχύει:

Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει τότε έχουμε

που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου

Ας θεωρήσουμε την αριθμητική πρόοδο 1, 2, 3, 4,... και ας βρούμε το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της

S₁₀₀=1+2+3+...+98+99+100

Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής:

Γράφουμε δυο φορές το παραπάνω άθροισμα, αλλά με αντίθετη τη σειρά των προσθετέων και προσθέτουμε τις δυο ισότητες κατά μέλη:

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, θα αποδείξουμε ότι:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ *

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1^ο Να βρεθεί το άθροισμα 7+10+13 +...+ 157

ΛΥΣΗ

Πρόκειται για το άθροισμα διαδοχικών όρων μιας αριθμητικής προόδου με α₁ = 7, α_ν = 157 και ω = 3. Για να το υπολογίσουμε, χρειαζόμαστε το πλήθος ν των προσθετέων. Από τον τύπο του ν_ου όρου α_ν = α₁+(ν-1)ω έχουμε

Επομένως το ζητούμενο άθροισμα είναι

2^ο Πόσοι όροι της αριθμητικής προόδου 52, 47, 42,... έχουν άθροισμα ίσο με 90;

ΛΥΣΗ

Επειδή όμως v∈ ℕ^*, συμπεραίνουμε ότι ν = 20. Άρα 20 όροι της δοθείσης αριθμητικής προόδου έχουν άθροισμα ίσο με 90.

3^ο Ο 10^ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι ο 42 και ο 19^ος όρος της είναι ο 87. Να υπολογισθεί το άθροισμα των πρώτων 100 όρων της προόδου αυτής.

ΛΥΣΗ

Από τον τύπο α_ν = α₁+(ν-1)ω έχουμε 42 =α₁+ 9ω και 87= α₁+ 18ω. Επομένως οι α και ω είναι οι λύσεις του συστήματος

Από την επίλυση του συστήματος αυτού βρίσκουμε ότι είναι α, = -3 και ω = 5.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να βρείτε το νo όρο των αριθμητικών προόδων:
2.	Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμιά από τις αριθμητικές προόδους:
3.	i) Αν ο 6ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 12 και ο 10ος όρος είναι 16, να βρείτε τον 1ο όρο και τη διαφορά της προόδου.
	Ομοίως, αν είναι α5 = 14 και α12 = 42 Ομοίως, αν είναι α3 = 20 και α7 = 32.
4.	Ο 5ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι -5 και ο 15ος όρος της είναι -2. Να βρείτε τον 50ο όρο της προόδου. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι α7 = 55 και α22 = 145, να βρείτε τον α18.
5.	Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με α1 = 2 και ω = 5 ισούται με 97; Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με α1 = 80 και ω = -3 ισούται με -97;
6.	Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των 10 και -40 Να βρείτε για ποια τιμή του x ο αριθμητικός μέσος των 5x+1 και 11 είναι ο 3x-2.
7.	Αν δυο αριθμοί διαφέρουν κατά 10 και ο αριθμητικός τους μέσος είναι ο 25, να βρείτε τους δυο αυτούς αριθμούς.
8.	Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 όρων των αριθμητικών προόδων:
	i)7,9,11,... ii) 0, 2, 4,.... iii) 6, 10, 14,... iv)-7,-2,+3,...
9.	Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 80 όρων των αριθμητικών προόδων:
10.	Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:
	i) 1+5+9 + .. + 197    ii) 9+12+15+ ... + 90    iii) -7-10-13-...-109
11.	Πόσους πρώτους όρους πρέπει να πάρουμε από καθεμιά από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους για να έχουν άθροισμα 180;
	i) 4, 8, 12,... ii) 5, 10, 15,...
12.	Μια στέγη σχήματος τραπεζίου έχει 15 σειρές κεραμίδια. Η πρώτη σειρά έχει 53 κεραμίδια και κάθε επόμενη σειρά έχει δυο κεραμίδια λιγότερα. Πόσα κεραμίδια έχει η 15η σειρά και πόσα κεραμίδια έχει συνολικά η στέγη;
B' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Ο νος όρος μιας ακολουθίας είναι αν = 12-4ν. Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να γράψετε τον πρώτο όρο της α1 και τη διαφορά της ω.
2.	Να βρείτε το άθροισμα: ί) των πρώτων 200 περιττών αριθμών, ii) των πρώτων 300 θετικών άρτιων iii) όλων των περιττών αριθμών μεταξύ 16 και 380.
3.	Να βρείτε το άθροισμα: των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ 1 και 199, των πολλαπλασίων του 3 μεταξύ 10 και 200
4.	Να βρείτε το άθροισμα: των πρώτων 30 όρων της ακολουθίας αν = 5ν-4, των πρώτων 40 όρων της ακολουθίας αν = -5ν-3.
5.	Να βρείτε το άθροισμα των ακεραίων από 1 μέχρι 200 που δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή του 9.
6.	Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου 1, 3, 5, 7,... που απαιτούνται, ώστε το άθροισμα του να ξεπερνάει το 4000.
7.	Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα, στον οποίο τα α1, ω, ν, αν και Sν ανήκουν σε κάθε γραμμή στην ίδια αριθμητική πρόοδο
8.	Ένα ρολόι χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγονται σε ένα 24/ωρο;
9.	Ένα στάδιο έχει 33 σειρές καθισμάτων. Στην κάτω-κάτω σειρά βρίσκονται 800 θέσεις και στην πάνω-πάνω σειρά βρίσκονται 4160 θέσεις. Το πλήθος των θέσεων αυξάνει από σειρά σε σειρά κατά τον ίδιο πάντα αριθμό θέσεων. Να βρείτε πόσες θέσεις έχει συνολικά το στάδιο και πόσες θέσεις έχει η μεσαία σειρά.
10.	Μεταξύ των αριθμών 3 και 80 θέλουμε να βρούμε άλλους 10 αριθμούς που όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. [Τέτοια προβλήματα λέγονται προβλήματα παρεμβολής όρων].
11.	Να υπολογίσετε το άθροισμα:
12.	Ένας αγρότης, για να κάνει μία γεώτρηση στο κτήμα του, συμφώνησε τα εξής με τον ιδιοκτήτη του γεωτρύπανου: Το 1 μέτρο θα κοστίσει 20 ευρώ και αυξανομένου του βάθους, θα αυξάνεται και η τιμή κάθε μέτρου κατά 5 ευρώ. Ο αγρότης διαθέτει 4700 ευρώ. Σε πόσο βάθος μπορεί να πάει η γεώτρηση στο κτήμα του;

5.3 Γεωμετρική πρόοδος

- Στην ακολουθία 3, 6, 12, 24,... κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί 2. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

Η ακολουθία (α_ν) λέγεται γεωμετρική πρόοδος με λόγο 2.

- Στην ακολουθία 27, -9, 3,-1, ... κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί .Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

Όπως και προηγουμένως, η ακολουθία (α_ν) λέγεται γεωμετρική πρόοδος με λόγο

Γενικότερα ορίζουμε ότι:

Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (α_ν) υποθέτουμε πάντα ότι α₁ # 0, οπότε, αφού είναι και λ ≠ 0, ισχύει α_ν ≠ 0 για κάθε v∈ ℕ^*. Επομένως, η ακολουθία (α_ν) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, αν και μόνο αν ισχύει:

Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της α. και το λόγο της λ, τότε ο αναδρομικός της τύπος α_ν+1=α_ν· λ μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε όρο της. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε κατευθείαν το ν° όρο α_ν μιας γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση των α₁, λ και ν ως εξής:

Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε:

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της της διαγραφής, βρίσκουμε α_ν=α₁λ^ν-1

Επομένως

Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, -6, 12, -24,... η οποία έχει α₁ = 3 και ο ν^ος όρος της είναι α_ν = 3 · (-2)^ν-1. Επομένως ο 5^ος όρος της είναι α₅=3(-2)⁴=48 ο δέκατος όρος της είναι α₁₀=3(-2)⁹=-1536 κτλ.

Γεωμετρικός μέσος

Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει

Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠0 ισχύει β² = αγ, τότε που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου

Ας θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27, ... στην οποία είναι α₁ = 1 και λ = 3, και ας βρούμε το άθροισμα S₇ των 7 πρώτων όρων της. Έχουμε

S₇=1+3+9+27+81+243+729         (1)

Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ=3 και έχουμε

3S₇=3+9+27+81+243+729+2187         (2)

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα αποδείξουμε ότι:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω (1)

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ και έχουμε

(2)

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

Επομένως, αφού λ ≠ 1, έχουμε:

Παρατήρηση: Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι λ-1, τότε το άθροισμα των όρων της είναι S_v = ν · α₁ αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με α₁.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1° Να βρεθεί ο ν όρος μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 4^ος όρος είναι και ο 9^ος

ΛΥΣΗ

Έστω α₁, ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου και λ ο λόγος της. Τότε έχουμε:

από την οποία προκύπτει ότι

Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του λ στην και έχουμε

Άρα ο ν όρος της γεωμετρικής προόδου, σύμφωνα με τον τύπο α_ν=α₁λ^ν-1 είναι

2° Να υπολογιστεί το άθροισμα

ΛΥΣΗ

Πρόκειται για το άθροισμα διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου με α₁ = 1 και

Για να εφαρμόσουμε τον τύπο , πρέπει να ξέρουμε το πλήθος ν των όρων. Από τον τύπο όμως του ν όρου α_ν=α₁λ^ν-1 έχουμε και επομένως ν- 1 = 8 ή ν=9.

Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να βρείτε το ν όρο των γεωμετρικών προόδων:
2.	Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμιά από τις γεωμετρικές προόδους:
3.	i) Να βρείτε τον 1ο όρο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο 5ος όρος είναι και ο λόγος 2.
	ii) Ομοίως, αν ο 4ος όρος είναι και ο λόγος
4.	i) Να βρείτε το λόγο μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 3ος όρος είναι 12 και ο 6ος όρος είναι 96.
	ii) Ομοίως, αν ο 2ος όρος είναι και ο 5ος όρος είναι
5.	Να βρείτε:
	i) τον α14 μιας γεωμετρικής προόδου με ii) τον α21 μιας γεωμετρικής προόδου με
6.	Έστω η γεωμετρική πρόοδος 3, 6, 12,.... Να βρείτε το πλήθος των όρων της μέχρι και τον όρο που ισούται με 768.
7.	i) Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 4, 8, 16,... που υπερβαίνει το 2000
	ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 128, 64, 32,..., που είναι μικρότερος του 0,25.
8.	i) Να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 5 και 20, καθώς και των και
	ii) Να βρείτε τον x ώστε οι αριθμοί x-4, x+1, x-19 να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
9.	Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων των γεωμετρικών προόδων
10.	Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 8 όρων των γεωμετρικών προόδων
11.	Μια κοινωνία βακτηριδίων διπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα. Αν αρχικά υπάρχουν 3 βακτηρίδια, πόσα βακτηρίδια θα υπάρχουν ύστερα από 12 ώρες;
12.	Μια μπάλα πέφτει από ύψος 60 μέτρων και αναπηδά σε έδαφος φθάνοντας κάθε φορά στο του ύψους της προηγούμενης αναπήδησης. Να βρείτε σε τι ύψος θα φθάσει στην 4η αναπήδηση
B' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Ο ν όρος μιας ακολουθίας είναι . Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους α1 και λ.
2.	Για ποια τιμή του ν οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου;
3.	Να δείξετε ότι:
	i) τα τετράγωνα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου σχηματίζουν επίσης γεωμετρική πρόοδο ii) Αν υψώσουμε κάθε όρο μιας γεωμετρικής προόδου στην k, τότε προκύπτει πάλι γεωμετρική πρόοδος.
4.	Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο, της οποίας: το άθροισμα των δυο πρώτων όρων της είναι και το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι
5.	Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων δέκα όρων της γεωμετρικής προόδου, στην οποία είναι α2+α6 =34 και α3+α7=68
6.	Ο πληθυσμός μιας χώρας είναι 90 εκατομμύρια και παρουσιάζει ετήσια αύξηση 2%. Αν αν είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από ν χρόνια, να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο, καθώς και το γενικό όρο της ακολουθίας (αν).
	- Ποιός θα είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από 10 χρόνια; [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].
7.	Η ένταση του φωτός μειώνεται κατά 10%, όταν αυτό διέρχεται από ένα φίλτρο. Αν Ιν είναι η ένταση του φωτός, αφού διέλθει διαδοχικά μέσα από ν τέτοια φίλτρα, να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο, καθώς και το γενικό όρο της ακολουθίας ( Ιν ).
	- Ποια θα είναι η ένταση του φωτός, αν διέλθει μέσα από 10 τέτοια φίλτρα και η αρχική ένταση είναι Ι0 ; [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].
8.	Σε ένα όργανο μουσικής ο τόνος C' έχει συχνότητα 261 Hz και η οκτάβα του C" έχει διπλάσια συχνότητα. Ανάμεσα στους C' και C" υπάρχουν 11 επιπλέον τόνοι, των οποίων οι συχνότητες σχηματίζουν με τις συχνότητες των C' και C" 13 διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Να υπολογίσετε:
	i) το λόγο της προόδου, ii) τη συχνότητα του πέμπτου τόνου.
9.	Το ψυγείο ενός φορτηγού περιέχει 40 It νερό. Αδειάζουμε 4 lt νερό και το αντικαθιστούμε με αντιπυκτικό. Ύστερα αδειάζουμε 4 It του μείγματος και το αντικαθιστούμε με αντιπυκτικό κ.ο.κ. Αν Dν είναι η ποσότητα του νερού στο ψυγείο, αφού εφαρμοσθεί η διαδικασία ν φορές, να βρείτε:
	i) Έναν αναδρομικό τύπο της ακολουθίας (Dν). ii) Την ποσότητα του αντιπυκτικού στο ψυγείο, αφού εφαρμοσθεί η διαδικασία 7 φορές. [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].
10.	Λέγεται ότι ο εφευρέτης του σκακιού παρακλήθηκε από έναν Ινδό βασιλιά να ζητήσει όποια αμοιβή ήθελε για τη σπουδαία ιδέα του. Ο εφευρέτης ζήτησε να πάρει το ρύζι που θα μαζευόταν ως εξής: Στο 1ο τετραγωνάκι του σκακιού να έβαζε κάποιος έναν κόκκο ρυζιού, στο 2ο τετραγωνάκι 2 κόκκους, στο 3ο τετραγωνάκι 4 κόκκους, στο 5ο τετραγωνάκι 8 κόκκους κτλ. Να βρείτε πόσοι τόνοι θα ήταν η ποσότητα αυτή του ρυζιού, αν 1 Kg ρυζιού έχει 20000 κόκκους.
11.	Κάθε πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου χωρίζεται σε τρία ίσα τμήματα. Το μεσαίο τμήμα κάθε πλευράς αντικαθίσταται από τις δυο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου. Στο σχήμα με μορφή αστεριού που προκύπτει αντικαθιστούμε πάλι το μεσαίο κάθε πλευράς με δυο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου. Με ανάλογο τρόπο συνεχίζουμε για κάθε σχήμα που προκύπτει από τη διαδικασία αυτή. Να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο και το γενικό όρο της ακολουθίας (Sv) που εκφράζει το πλήθος των πλευρών κάθε σχήματος. Να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο και το γενικό όρο της ακολουθίας (Uv) που εκφράζει την περίμετρο κάθε σχήματος, αν το αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά ίση με 1.

5.4 Ανατοκισμός - Ίσες καταθέσεις

Με τη βοήθεια των γεωμετρικών προόδων μπορούμε να λύσουμε προβλήματα οικονομικής φύσεως, που συχνά παρουσιάζονται στις συναλλαγές με πιστωτικούς οργανισμούς.

Ανατοκισμός

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του ν^ου χρόνου.
(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού).

ΛΥΣΗ

Στο τέλος του 1 χρόνου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο και μαζί με τον τόκο θα γίνει

Στο τέλος του 2ου χρόνου το κεφάλαιο α₁ θα δώσει τόκο και μαζί με τον τόκο θα γίνει

Στο τέλος του 3ου χρόνου το κεφάλαιο α₂ μαζί με τους τόκους θα γίνει

και γενικά στο τέλος του ν χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει

Παρατηρούμε ότι τα α₁ , α₂, α₃,...,α_ν είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου μεκαι

Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του ν όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του ν^ου χρόνου το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίνει

Αν θέσουμε που είναι ο τόκος του ενός ευρώ σε ένα χρόνο, έχουμε τον τύπο

που είναι γνωστός ως τύπος του ανατοκισμού.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Καταθέτουμε με ανατοκισμό κεφάλαιο 10000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 2%. Να βρεθεί τι ποσό θα εισπράξουμε ύστερα από 10 χρόνια.

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τον τύπο α_ν=α(1+τ)^ν, ύστερα από 10 χρόνια θα εισπράξουμε ποσό

Παρατήρηση. Τη δύναμη (1,02)¹⁰ την υπολογίζουμε με τη βοήθεια πινάκων ή με έναν υπολογιστή τσέπης.

Ίσες καταθέσεις

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Καταθέτουμε σε μια τράπεζα στην αρχή κάθε χρόνου α ευρώ με ανατοκισμό και επιτόκιο ε%. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από ν χρόνια;
(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα των ίσων καταθέσεων)

ΛΥΣΗ

Η 1^η κατάθεση θα ανατοκιστεί για ν χρόνια και επομένως, σύμφωνα με τον τύπο του ανατοκισμού, θα γίνει

Η 2^η κατάθεση θα ανατοκιστεί για ν-1 χρόνια και επομένως θα γίνει α(1+τ)^ν-1 κτλ. και η v κατάθεση θα τοκιστεί για 1 χρόνο και θα γίνει α(1+τ) . Συνεπώς ύστερα από ν χρόνια θα πάρουμε το ποσό

Επομένως,

Ο τύπος αυτός είναι γνωστός ως τύπος των ίσων καταθέσεων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Στην αρχή κάθε χρόνου καταθέτουμε στην τράπεζα ποσό 10000 ευρώ με ανατοκισμό και με επιτόκιο 2%. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από 10 χρόνια;

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τον τύπο ύστερα από 10 χρόνια θα πάρουμε ποσό

ΑΣΚΗΣΕΙΣ