§ 1.1

A′ ΟΜΑΔΑΣ

Μέγιστο το 2 και ελάχιστο το -2. Η περίοδος ισούται με 4π.

Μέγιστο το 2 και ελάχιστο το -2. Η περίοδος ισούται με 4π.

B′ ΟΜΑΔΑΣ

i) y = ημx,      y = ημ x2,     y = ημ3x

ii) y = ημx,     y = 3ημx,      y = 0,5ημx,      y = -2,5ημx

i) Υψηλότερη 3m, χαμηλότερη -3m, διαφορά 6m

i) 23 m           ii) εφ2π23

i) 0,1

§ 1.2

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) x = λπ, λ ∈ Z

ii) x = 2κπ + π4   ή   x = 2κπ + 3π2, κ ∈ Z

iii) x = λπ + π2, λ ∈ Z

iv) x = 2κπ ± π4, κ ∈ Z

i) x = 2κπ - π6   ή   x = 2κπ + 7π6, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ - π2, κ ∈ Z

iii) x = 2κπ ± 3π4, κ ∈ Z

iv) x = 2κπ + π, κ ∈ Z

i) x = κπ, κ ∈ Z

ii) x = κπ + π6, κ ∈ Z

iii) x = κπ + π4, κ ∈ Z

iv) x = κπ + π6, κ ∈ Z

i) x = κπ - π6, κ ∈ Z

ii) x = κπ - π3, κ ∈ Z

i) x = 2κπ + π2   ή   x = 2κπ + π3   ή   x = 2κπ + 2π3, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ - π4   ή   x = 2κπ + 5π4   ή   x = 2κπ, κ ∈ Z

i) x = κπ - π3   ή   x = κπ + π4, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ ± 2π3   ή   x = κπ ± π3   ή   x = κπ + π2, κ ∈ Z

i) x = 2κπ + 2π5   ή   x = 2κπ + 3π5, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ ± 4π5, κ ∈ Z

iii) x = κπ + 22π45, κ ∈ Z

i) x = 6κπ + π9   ή   x = 6κπ + 2π9, κ ∈ Z

ii) x = 10κπ + 5π, κ ∈ Z            iii) x = 42κπ + 7π12, κ ∈ Z

i) x = 2κπ - 5π6, κ ∈ Z

ii) x = 24κπ + 7π36   ή   x = 24κπ - π36, κ ∈ Z

iii) x = -12κπ - π60, κ ∈ Z

i) ω = 2κπ - π2   ή   ω = 2κπ + π6   ή   ω = 2κπ - 5π6, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ ± π3, κ ∈ Z            iii) t = κπ - π6, κ ∈ Z

i) x = 2κπ ± π3   ή   x = 2κπ ± 2π3, κ ∈ Z            ii) Αδύνατη

i) Μέγιστο για x = π το 3 και ελάχιστο για x = 0 το -3.

ii) Μέγιστο για x = π2, το g(π2) = 7 και ελάχιστο για x = 3π2, το g(3π2) = -7.

i) Ιανουάριος - Μάιος            ii) Μάρτιος

B′ ΟΜΑΔΑΣ

i) x = κπ - π8, κ ∈ Z            ii) x = κπ5 + π30, κ ∈ Z

i) x = κπ + π4, κ ∈ Z           ii) x = κπ - π4   ή   x = κπ + 2π5, κ ∈ Z

13π4

π2,   π

π12,   7π12,   13π12,   19π12

§ 1.3

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 12

ii) - 12

iii) 1

iv) 0

i) συνx

ii) √22

i) 1

ii) 1

iii) √3

iv) 0

i) ημ3x

ii) 12

iii) -εφx

iv) -σφx

ημ105^o = √2(1 + √3)4,   συν105^o = √2(1 - √3)4,   εφ105^o = -2 - √3,

σφ105^o = -2 + √3,   ημ195^o = √2(1 - √3)4,   συν195^o = -√2(1 + √3)4,

εφ195^o = 2 - √3,   σφ195^o = 2 + √3

i) ημ(α + β) = 3365,   συν(α + β) = -5665,   εφ(α + β) = -3356,   σφ(α + β) = -5633

i) x = κπ + π6, κ ∈ Z           ii) x = κπ ± π3, κ ∈ Z           iii) x = κπ + π4, κ ∈ Z

B′ ΟΜΑΔΑΣ

Είναι     ημ(α - β)συνασυνβ = εφα - αφβ κτλ.

ημ(α + 2β) = ημ((α + β) + β) = …

x = π4   ή   x = 5π4

Είναι   β = π4 - α,   οπότε   εφβ = εφ(π4 - α) = …

x = π6   ή   x = 2π3

§ 1.4

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) -1

ii) √32

iii) 0

iv) - √33

i) ημ4α

ii) ημ2α

iii) εφ6α

i) ημ2α = 2425,

συν2α = 725,

εφ2α = 247,

σφ2α = 724

εφ(α + 2β) = 1613

i) x = 2κπ   ή   x = 2κπ + π, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ ± 2π3   ή   x = 2κπ + π3, κ ∈ Z

,   ,  

i) ,

,

εφ α2 = 23,

σφ α2 = 32

ii) ,

,

εφ α2 = - 12,

σφ α2 = -2

i) x = 2κπ ± π2   ή   x = 2κπ ± 2π3, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ ± π3, κ ∈ Z

iii) x = 2κπ ± π2, κ ∈ Z

iv) x = 2κπ + π, κ ∈ Z

B′ ΟΜΑΔΑΣ

Είναι π8 + 3π8 = π2, οπότε συν(3π8) = ημ(π8) = …

i) x = 2κπ ± π2   ή   x = 2κπ + π6   ή   x = 2κπ + 5π6, κ ∈ Z

ii) x = κπ + π3   ή   x = 2κπ - π3, κ ∈ Z

§ 1.5

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 14

ii) √3 + 24

iii) - 14

iv) 14

i) ημ3x - ημx

ii) συν2x - συν6x

iii) συν2x + συν8x

iv) 12 (ημ8x - ημ4x)

v) 12 συν2x

i) x = κπ3   ή   x = 2κπ + π10, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ + π8   ή   x = 2κπ - π2, κ ∈ Z

i) √62

ii) - √22

iii) 0

i) 2ημ3xσυνx

ii) -2ημ4xημx

iii) 2συν2x2συνx

iv) 2ημ²(π4 + x2)

v) 2συν²x2

i) x = κπ ± π4   ή   x = 2κπ + π6   ή   x = 2κπ + 5π6, κ ∈ Z

ii) x = κπ - π12   ή   x = κπ + 7π12   ή   x = κπ3, κ ∈ Z

iii) x = κπ6   ή   x = 6κπ + 2π9   ή   x = 6κπ - 2π9, κ ∈ Z

B′ ΟΜΑΔΑΣ

Μετασχηματίζουμε τα γινόμενα σε αθροίσματα.

Μετασχηματίζουμε τα αθροίσματα σε γινόμενα.

Είναι   Α + Β + Γ = π   οπότε …

§ 1.6

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 2π,   2,   2

ii) 2π,   1,   -1

i) f(x) = 2ημ(x + 11π6)

ii) f(x) = √2ημ(x + 3π4)

iii) f(x) = 2ημ(x + 4π3)

ii) f(x) = √2ημ(x - π4)

i) x = 2κπ - 4π3, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ - π2   ή   x = 2κπ, κ ∈ Z

iii) x = 2κπ - 7π12   ή   x = 2κπ + 11π12, κ ∈ Z

B′ ΟΜΑΔΑΣ

ω = π12   ή   ω = 5π12

i) (ΟΑ) + (ΟΒ) = 2√2ημ(θ + π4)

ii) θ = π4, μέγιστη τιμή (ΟΑ) + (ΟΒ) = 2√2

i) 16,   -10

ii) 2√2 + 2,   -2√2 + 2

x = κπ + π24   ή   x = κπ + 7π24, κ ∈ Z

ii) θ = π4, ελάχιστη τιμή του h = 40(√2 - 1)

ii) θ = π8, μέγιστη τιμή του P = 1 + √2

§ 1.7

A′ ΟΜΑΔΑΣ

ΑΒ ≈ 284 m

ΒΔ ≈ 1,58 m

θ ≈ 115^o

AB ≈ 51,2 m

θ ≈ 60,25^o

B′ ΟΜΑΔΑΣ

Εφαρμόζουμε το νόμο των ημιτόνων.

Εφαρμόζουμε το νόμο των συνημιτόνων.

Εφαρμόζουμε τον τύπο   Ε = 12 βγημΑ.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αρκεί να δείξετε ότι (ΜΚ) = 2.

i) x = 2κπ ± π3, κ ∈ Z

ii) x = 2κπ + π6   ή   x = 2κπ + επ2, κ ∈ Z

13π3

i) (10 + 2√2)m,   14m,   (10 - 2√2)m

ii) 10 + 4ημ(π(t + 1)4)

√6 - √24,   √22,   - √6 + √24

x = 2κπ + π4   ή   x = 2κπ3 + π4, κ ∈ Z

ii) S = 200√2ημ(2θ + π4) + 200            ii) θ = π8,   S_max = 200(√2 + 1)

Β = 60^o,   Γ = 45^o

§ 2.1

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) Ναι

ii) Ναι

iii) Όχι

iv) Όχι

Πράξεις

μ = 12

α = 1

i) -1 ρίζα

ii) -1, 1 ρίζες

k = 6

α = 1   ή   α = 2

B′ ΟΜΑΔΑΣ

α = 3,   β = -10,   γ = 5

α = -2,   β = -19

λ = -3,   μ = -5

Εξετάζουμε τις περιπτώσεις

i) λ ≠ 0, 23, - 23

ii) λ = 0

iii) λ = 23

iv) λ = - 23

P(x) = x² - 5x + 1

§ 2.2

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) π(x) = 3x² - 3x - 8,

υ(x) = 44

ii) π(x) = x³ + 3x² + 9x + 27,

υ(x) = 0

iii) π(x) = 4x³ - 166,

υ(x) = - 53

iv) π(x) = 2x² + 1,

υ(x) = x + 1

v) π(x) = x + 3,

υ(x) = 6x² - 8x + 3

vi) π(x) = x²,

υ(x) = x² + 7

υ = 14

k = 1   ή   k = -4

i) π(x) = -x² + 10x - 25,

υ = 0

ii) π(x) = x² - 8x + 64,

υ = 0

iii) π(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1,

υ = 2

iv) π(x) = -3x³ - 6x² - 6x² -12x - 24,

υ = -48

v) π(x) = 4x² + 14x - 30,

υ = 0

P(-11) = 4840

Εργαζόμαστε με σχήμα Horner.

Αν P(x) = x^ν - y^ν αποδείξτε ότι P(-y) = 0.

Παρατηρούμε ότι   P(ρ) > 0   ενώ   Q(ρ) < 0.

Για   P(x) = x^ν + 1   είναι   P(-1) = 0.

Θεωρούμε το διαιρετέο και το διαιρέτη ως πολυώνυμα του x.

B′ ΟΜΑΔΑΣ

Γράφουμε x^μ - α^μ = x^ρν - α^ρν κτλ.

i) Γράφουμε P(x) = (αx + β)π(x) + υ.

ii) β = 0   ή   α = β   ή   α = -β

Σχήμα Horner διαδοχικά με   x - 1   και   x - 2.

Είναι   P(0) = 0,   P(-1) = 0,   P(- 12) = 0.

α = ν,   β = -1 - ν

§ 2.3

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 0, ,

ii) -2, 3, -3

iii) 0, 1, -1, - 53

iv) 2, -2

v) 1

vi) 1, 2, -3

vii) -2

viii) - 23, 1, - 1322

ix) -2, 9 + 4√5, 9 - 4√5

x) √2, -√2, 1, 2

i) 2

ii) 1, -4

iii) -2

iv) -1

i) Οι ±1, ±2 δεν είναι ρίζες.

ii) Οι ±1, ±5 δεν είναι ρίζες.

i) x > -2

ii) x = 1

iii) x < -2

iv) x ≤ -1   ή   x ≥ 2

i) (2,0)

ii) (1,0),   (- 12,0)

2 - √5 < x < 0   ή   1 < x < 2 + √5

i) 2, -2

ii) 2, 3

iii) - 35, 2

B′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 1, -2, -4

ii) 3, 2, -15

-1, 2, -2, -3

-3, 1, -7, -11

Οι διαιρέτες του 2 για λ ∈ Z δεν επαληθεύουν την ςξίσωση.

1,   -1,   ,  

3, 7, 1

t ≈ 4,6,   c ≈ 0,45

x = 3m

ν = 20 ημέρες

t = 3sec

y + 4x ≤ 108   και   x²y = 11664,   x = 18cm,   y = 36cm

i) y = 5x - 3

iii) x₁ = 1 διπλή,   x₂ = -3 και Γ(-3, -18)

§ 2.4

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) x = -3

ii) -√2,   √2

x ≤ 1   ή   x > 0

x = 2κπ + π6   ή   x = (2κ + 1)π - π6, κ ∈ Z

i) 0,   16

ii) 6

iii) αδύνατη

iv) 69,   -59

i) -1,   2

ii) 36

iii) 4,   16

iv) 0,   4

B′ ΟΜΑΔΑΣ

i) - 32 ≤ x < - 25

ii) περιπτώσεις   x - 5 < 0,   x - 5 ≥ 0

i) 4

ii) 8

i) -3, 2

ii) 5

i) περιπτώσεις   α < 0,   α ≥ 0

ii) περιπτώσεις   x < λ2,   x ≥ λ2

x = 2κπ + π2   ή   x = 2κπ + π6   ή   x = (2κ + 1)π - π6, κ ∈ Z

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να θεωρήσετε τη διαφορά P(x) - (x² + x + 1) = x^3ν - 1 + x^3μ+1 - x + x^3ρ+2 - x.

i) Γράψτε   f(x) 

= vx^ν(x - 1) - (x^ν - 1) = … =

= (x - 1)P(x) και P(x) = (x - 1)π(x)

ii) Γράψτε   g(x) = (x - 1)P(x) και P(x) = (x - 1)Q(x) και Q(x) = (x - 1)π(x).

Να διαιρέσετε με x² και μετά να θέσετε   x + 1x = y.

Να διαιρέσετε με x² και να θέσετε στην

i) x - 2x = y,

ii) x - 1x = y.

Να θέσετε   x² + 2x - 1 = y,   οπότε   x² + 2x + 3 = y + 4.

Στην ταυτότητα της διαίρεσης να θέσετε x = √2.

i) Με σχήμα Horner βρίσκουμε ότι P(11) = 10.

ii) Γράψτε το   P(x) = x¹⁷ - 1 - 12x·x¹⁶ - 1x + 1   κτλ.

i) x = 1 εκατομ. χρόνια

ii) αρχίζει σε 3 εκατομ. χρόνια και διαρκεί 3 εκατομ. χρόνια.

§ 3.1

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 3, 5, 7, 9, 11

ii) 2, 4, 8, 16, 32

iii) 2, 6, 12, 20, 30

iv) 0, 1, 2, 3, 4

v) 1, -0,1, 0,01, -0,001, 0,0001

vi) 32, 34, 98, 1516, 3332

vii) 4, 3, 2, 1, 0

viii) √22, 1, √22, 0, - √22

ix) 2, 1, 89, 1, 3332

x) 1, - 12, 13, - 14, 15

xi) 1, -1, 1, -1, 1

i) 2, 12, 2, 12, 2

ii) 0, 1, 2, 5, 26

iii) 3, 4, 6, 10, 18

i) α₁ = 6 και α_ν+1 = 1 + α_ν

ii) α₁ = 2 και α_ν+1 = 2α_ν

iii) α₁ = 1 και α_ν+1 = 2α_ν + 1

iv) α₁ = 8 και α_ν+1 = 5 + α_ν

i) α_ν = 2ν - 1

ii) α_ν = 3·5^ν-1

B′ ΟΜΑΔΑΣ

α_ν = 2ημ πν

α_ν = 2ν + 32

i) Ευθύγραμμο τμήμα ίσο με τη διαφορά των ευθύγραμμων τμημάτων με μήκη 1ν και    1   ν + 1.

ii) Πάρτε τη διαφορά α_ν+1 - α_ν.

α_ν = ν!

5.    α₄ = 2,645752

i) S_ν = 3·4^ν-1

ii) U_ν = 3·(43)^ν-1

§ 3.2

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) α_ν = 3ν + 4

ii) α_ν = 2ν + 9

iii) α_ν = -3ν + 8

iv) α_ν = 12 ν + 32

v) α_ν = -3ν - 3

i) α₁₅ = 68

ii) α₂₀ = 144

iii) α₃₀ = 323

iv) α₃₅ = 289

v) α₅₀ = 1013

vi) α₄₇ = 35

i) α₁ = 7, ω = 1

ii) α₁ = 2, ω = 4

iii) α₁ = 14, ω = 3

i) α₅₀ = 8,5

ii) α₁₈ = 121

i) Ο 20^ος όρος

ii) Ο 60^ος όρος

i) -15

ii) x = 16

20 και 30

i) 1840

ii) 1560

iiι) 3360

iv) 3620

i) -9320

ii) 2080

i) 4950

ii) 1386

iii) -2030

i) 9 όρους

ii) 8 όρους

53,585

B′ ΟΜΑΔΑΣ

Πάρτε τη διαφορά   α_ν+1 - α_ν,   α₁ = 8,   ω = -4.

Χρησιμοποιείστε την ιδιότητα του αριθμητικού μέσου.

Αντικαταστήστε στο σύστημα x = -1, y = 2.

i) 40000

ii) 90300

iii) 36036

i) 3900

ii) 6615

i) 2205

ii) -4220

S = (1 + 2 + … + 200) - (4 + 8 + … + 200) - (9 + 18 + … + 198) + (36 + 72 + … + 180) = 13263

Aπαιτουνται τουλάχιστον 20 πρώτοι όροι.

i) α_ν = S_ν - S_ν-1 = 8ν - 7

Άρα α₁ = 1, ω = 8

ii) α₁ = - 34, ω = 12

1η γραμμή 10, 780

2η γραμμή 4, 1539

3η γραμμή 1, 34

4η γραμμή -38, -368

78 το 12/ωρο και άρα 156 το 24/ωρο.

81840, 2480

Συμβολίστε τους όρους με α₁ - 3ω, α₁ - ω, α₁ + ω, α₁ + 3ω

10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73

ν + 12

16.    40m βάθος

§ 3.3

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) α_ν = 3·2^ν-1

ii) α_ν = 2·3^ν-2

iii) α_ν = 3^ν+1

iv) α_ν =  1 2^ν+1

v) α_ν =  1 2^ν-5

vi) α_ν =  2 3^ν-3

vii) α_ν = (0,4)^ν-1

viii) α_ν = (-2)^ν

ix) α_ν = (-3)^ν

i) α₉ = 64

ii) α₇ = 1458

iii) α₈ = 13

iv) α₁₁ = 34

v) α₁₀ = -512

vi) α₈ = - 2187128

vii) α₁₀ =    1   39366

viii) α₉ = (32)⁵

i) α₁ = 13

ii) α₁ = 1

i) λ = 2

ii) λ = 23

i) α₁₅ = 20·(1,05)¹⁴

ii) α₁₄ = 10008192

iii) α₂₁ = 16√2

9 όροι

i) Ο 10^ος όρος

ii) Ο 11^ος όρος

i) 10,1

ii) x = 3

i) 1023

ii) 8572

iii) 1364

i) ≈ 242,7

ii) ≈ 1,33

i) 10922

ii) ≈ 8

iii) 171

12288

13.    ≈ 0,74 m

B′ ΟΜΑΔΑΣ

Πάρτε τον λόγο α_ν+1α_ν.

Χρησιμοποιήστε την ιδιότητα του γεωμετρικού μέσου.

i) Πάρτε το 2ο μέλος, κάντε τις πράξεις και χρησιμοποιήστε την ιδιότητα του γεωμετρικού μέσου.

ii) Πάρτε το 1ο μέλος, κάντε τις πράξεις και χρησιμοποιήστε την ιδιότητα του γεωμετρικού μέσου.

ν = 14

i) Σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με 1^ο όρο α₁² και λόγο λ².

ii) Σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με 1^ο όρο α_κ² και λόγο λ^κ.

i) α₁ = 3, λ = 2

ii) α₁ = √3, λ = √3   ή   α₁ = -(3 + 2√3), λ = -√3

1023

i) α^ν - 1α - 1

ii) 1 - α^ν

iii) x^ν - y^ν

2^{ν(ν + 1)2}

-1, -3, -9   ή   -9, -3, -1

i) α_ν = S_ν - S_ν-1 = 2^ν-1 = 1·2^ν-1, άρα α₁ = 1 και λ = 2

ii) α₁ = 2, λ = 3

iii) α₁ = 3, λ = 2

666…6 = 6·10⁰ + 6·10¹ + 6·10² + … + 6·10^ν-1 = 6·10^ν - 1ν - 1 = 23 (10^ν - 1) κτλ. ν ψηφία

α_ν+1 = 1,02·α_ν,

≈ 109,8 εκατομμύρια

I_ν+1 = 0,9·I_ν,

≈ 0,35 I₀

i) ,

ii)

i) D_ν+1 = 0,9D_ν

ii) ≈ 20,87 lt

9,223·10¹¹ τόννοι

i) r_ν+1 = 3r_ν

ii) 3⁷

iii) 7381 π

§ 3.4

A′ ΟΜΑΔΑΣ

6381,4 ευρώ

2.    37.204,87 ευρώ

3.    5%

27342,05 ευρώ

5.    900 ευρώ

Β′ ΟΜΑΔΑΣ

76896,75 ευρώ

2.    34719,09 ευρώ

3.    70 χρόνια

25345 ευρώ

5.    6,4 δις

6.    888,52 ευρώ

§ 3.5

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 4

ii) 40,5

iii) 3

iv) 7,5

v) 32

vi) 6,75

vii) - 163

viii) 353

i) 4(2 + √2)

ii) -(1 + √55)

i) 49

ii) 2699

iii) 16

iv) 509990

x - 2x - 1

Β′ ΟΜΑΔΑΣ

α₁ = 6, λ = 13

i) x > 0,   Σ =  (α + x)³ 4αx(α - x)

ii) x ≠ 0,   Σ = 1 + 1x²

i) P_ν+1 = 12 P_ν,   E_ν+1 = 14 E_ν

ii) 6α,   α²√33

i) I_ν+1 = I_ν·√22,   I_ν = α(√22)^ν

ii) α(√2 + 1)

iii) α²

i) d_ν+1 =  1 100 d_ν

ii) Ο Αχιλλέας θα φθάσει τη χελώνα όταν διανύσει 1 199 στάδια.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

i) Χρησιμοποιήστε τον τύπο του γενικού όρου αριθμητικής προόδου.

ii) Χρησιμοποιήστε τον τύπο του γενικού όρου γεωμετρικής προόδου.

i) Χρησιμοποιήστε τον τύπο του αθροίσματος αριθμητικής προόδου.

ii) Χρησιμοποιήστε τον τύπο του αθροίσματος γεωμετρικής προόδου.

32 (34)^ν - ν + 34

4.    49, 49, 49   ή   196, 49, -98

i) Χρησιμοποιήστε τη σχέση   1  α_κα_κ+1 = (1α_κ -  1 α_κ+1)·1ω.

ii) Χρησιμοποιήστε τη σχέση       1      √α_κ-1 + √α_κ = √α_κ-1 - √α_κ-ω.

20^o

Να ξεκινήσετε από τη σχέση ημ(γ + α - β) - ημ(β + γ - α) = ημ(α + β - γ) - ημ(γ + α - β).

2ν + (x^2ν+2 + 1)(x^2ν + 1)(x² - 1)x^2ν

Το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων είναι α²√3 = (ΕΒ)².

1, 2, 4, 8, 16, …   ή   8, 4, 2, 1, 12, …

§ 4.1

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) x = 6

ii) x = 3

iii) x = -2

iv) x = 4

v) x = -3

vi) x = 15

vii) x = 49

viii) x = 2   ή   x = -1

i) x = 1

ii) x = -1   ή   x = 1

iii) x = 2

i) 2 < x < 3

ii) x > 5

iii) x < 5

i) x = 0 και y = 0

ii) x = 2 και y = 1

Β′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 12 < α < 1

ii) 1 < α < 2

iii) 12 < α < 2 με α ≠ 1

i) x = 0   ή   x = 2

ii) x = 1

iii) x = -1

iv) x = 32

v) x = 32

i) (x = 1 και y = 1)   ή   (x = 3 και y = 2)

ii) x = 1 και y = 3

i) Q(t) = 5·(0,8)^t

iii) 0,0000132

ii) 3,86 gr

iii) 0,001

i) T(t) = 40·(0,85)^t, 0 ≤ t ≤ 6

ii) 15085 ευρώ

i) 1,   0,606,   0,368,   0,223,   0,135,   0,082

ii) α) x = 0     β) x = 5

i) 1,   0,135,   0,018,   0,002

ii) α) t = 1     β) t = 0

ii) α) t = k·RC, όπου k = 1, 2, 3, …     β) t = k·RC, όπου k = 3, 4, 5, …

§ 4.2

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) -3

ii) - 12

iii) -5

iv) 14

v) 8

vi) -3

i) 1000

ii) 12

iii)

i) 2

ii) 4

iii)

6^h·46^min

i) -0,000126

ii) 89308 Pascal

i) m = 5

ii) 100 φορές

i) -0,16

ii) 55070 μονάδες

Β′ ΟΜΑΔΑΣ

i) 43

ii) 2

Είναι log_αβ = logβlogα κτλ.

Να χρησιμοποιήσετε τον τύπο αλλαγής βάσης με νέα βάση το 10.

§ 4.3

A′ ΟΜΑΔΑΣ

i) f(x) = 2^x και

ii) g(x) = log_1√2x, ενώ η f δεν ορίζεται

iii) f(x) = (12)^x, ενώ η g δεν ορίζεται

iv) Δεν ορίζονται οι f, g.

i) x = √3

ii) x = 2

iii) x = 1 ή x = 100

iv) x = 1

i) x = log2

ii) x ≈ 4,4190

Όξινο αν pH < 7 και βασικό αν pH > 7.

Β′ ΟΜΑΔΑΣ

x = 4

i) x = 1   ή   x = 10000

ii) x = e^±1   ή   x = ^±2

x = 10

i) (x = 2 και y = 8)   ή   (x = 8 και y = 2)

ii) x = 2 και y = 4

iii) x = 12 και y = 1

i) 1 < x < 100

ii) 2 < x < 4

          iii) 0 < x < 0,1   ή   x > 10

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

x = 0,   ή   x = 3,   ή   x = 53,   ή   x = 1

x = 0,   ή   x = 1,   ή   x = -3,   ή   x = -1

x = 0,1   ή   x = 5

6.    x = π4

x = π4

8.    x > 0