Άλγεβρα (Β ΕΠΑ.Λ.): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

3.3 Γεωμετρική πρόοδος

- Στην ακολουθία 3, 6, 12, 24, … κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί 2. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

α_ν+1 = α_ν·2 ή α_ν+1α_ν = 2

Η ακολουθία (α_ν) λέγεται γεωμετρική πρόοδος με λόγο 2.

- Στην ακολουθία 27, -9, 3, -1, … κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί - 13. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:

α_ν+1 = α_ν(- 13) ή α_ν+1α_ν = - 13

Όπως και προηγουμένως, η ακολουθία (α_ν) λέγεται γεωμετρική πρόοδος με λόγο - 12.

Γενικότερα ορίζουμε ότι:

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.

Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου.

Σε μια γεωμετρική πρόοδο (α_ν) υποθέτουμε πάντα ότι α₁ ≠ 0, οπότε, αφού είναι και λ ≠ 0, ισχύει α_ν ≠ 0 για κάθε v ∈ N^∗. Επομένως, η ακολουθία (α_ν) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, αν και μόνο αν ισχύει:

α_ν+1 = α_ν·λ

α_ν+1α_ν = λ

Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της α₁ και το λόγο της λ, τότε ο αναδρομικός της τύπος α_ν+1 = α_ν·λ μας επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε όρο της. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε κατευθείαν το ν^o όρο α_ν μιας γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση των α₁, λ και ν ως εξής:

Από τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε:

α₁ = α₁

α₂ = α₁λ

α₃ = α₂λ

α₄ = α₃λ

………………

α_ν-1 = α_ν-2λ

α_ν = α_ν-1λ

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ν αυτές ισότητες και εφαρμόζοντας την ιδιότητα της της διαγραφής, βρίσκουμε α_ν = α₁λ^ν-1.

Επομένως

Ο ν^ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α₁ και λόγο λ είναι

α_ν = α₁·λ^ν-1

Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, -6, 12, -24, … η οποία έχει α₁ = 3 και λ = -63 = -2, ο ν^ος όρος της είναι α_ν = 3·(-2)^ν-1. Επομένως ο 5^ος όρος της είναι α₅ = 3·(-2)⁴ = 48, ο δέκατος όρος της είναι α₁₀ = 3·(-2)⁹ = -1536 κτλ.

Γεωμετρικός μέσος

Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει:

βα = λ και γβ = λ, επομένως βα = γβ ή β² = αγ.

Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠ 0 ισχύει β² = αγ, τότε έχουμε βα = γβ, που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός √αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β² = αγ

Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου

Ας θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27, … στην οποία είναι α₁ = 1 και λ = 3, και ας βρούμε το άθροισμα S₇ των 7 πρώτων όρων της. Έχουμε

(1)

S₇ = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729

Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ = 3 και έχουμε

(2)

3S₇ = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

3S₇ - S₇ = 2187 - 1

2S₇ = 2186

S₇ = 1093

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα αποδείξουμε ότι:

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρική προόδου (α_ν) με λόγο λ ≠ 1 είναι

S_ν = α₁·λ^ν - 1λ - 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ^∗

Έστω

(1)

S_ν = α₁ + α₁λ + α₁λ² + … + α₁λ^ν-2 + α₁λ^ν-1

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ και έχουμε

(2)

λS_ν = α₁λ + α₁λ² + α₁λ³ + … + α₁λ^ν-1 + α₁λ^ν

Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε:

λS_ν - S_ν = α₁λ^ν - α₁

(λ - 1)S_ν = α₁(λ^ν - 1)

Επομένως, αφού λ ≠ 1, έχουμε:

S_ν = α₁(λ^ν - 1)λ - 1

Παρατήρηση: Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είναι λ = 1, τότε το άθροισμα των όρων της είναι S_v = ν·α₁ αφού όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με α₁.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1ο

Να βρεθεί ο ν^ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 4^ος όρος είνα 34 και ο 9^ος όρος της είναι - 3 128.

ΛΥΣΗ

Έστω α₁, ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου και λ ο λόγος της. Τότε έχουμε:

α₁λ^4-1 = α₁λ³ = 34 και α₁λ^9-1 = α₁λ⁸ = - 3 128

Επομένως

α₁λ⁸α₁λ³ = (- 3 128) : 34 ή λ⁵ = - 132 ,

από την οποία προκύπτει ότι

Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του λ στην α₁λ³ = 34 και έχουμε

α₁(- 12)³ = 34 ή α₁ = -6

Άρα ο ν^ος όρος της γεωμετρικής προόδου, σύμφωνα με τον τύπο α_ν = α₁λ^ν-1, είναι α_ν = (-6)(- 12)^ν-1.

2ο

Να υπολογιστεί το άθροισμα 1 + 12 + 14 + … + 1 256.

ΛΥΣΗ

Πρόκειται για το άθροισμα διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου με α₁ = 1 και λ = 12.

Για να εφαρμόσουμε τον τύπο S_ν = α₁·λ^ν - 1λ - 1, πρέπει να ξέρουμε το πλήθος ν των όρων.

Από τον τύπο όμως του ν^ου όρου α_ν = α₁λ^ν-1 έχουμε 1 256 = 1·(12)^ν-1 ή (12)⁸ = (12)^ν-1 και επομένως ν - 1 = 8 ή ν = 9.

Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι:

Εικόνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να βρείτε το ν^ο όρο των γεωμετρικών προόδων:
	i) 3, 6, 12, …	ii) 23, 2, 6, …	iii) 9, 27, 81, …
	iv) 14, 18, 116, …	v) 16, 8, 4, …	vi) 18, 6, 2, …
	vii) 1, 0,4, 0,16, …	viii) -2, 4, -8, …	ix) -3, 9, -27, …

2.	Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμιά από τις γεωμετρικές προόδους:
	i) Τον α₉ της 14, 12, 1, …	ii) Τον α₇ της 2, 6, 18, …
	iii) Τον α₈ της 729, 243, …	iv) Τον α₁₁ της 768, 384, 192, …
	v) Τον α₁₀ της 1, -2, 4, …	vi) Τον α₈ της -1, - 32, - 94, …
	vii) Τον α₁₀ της 12, 16, 118, …	viii) Τον α₉ της 827, 49, 23, …
3.	i) Να βρείτε τον 1^o όρο μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο 5^ος όρος είναι 323 και ο λόγος 2. ii) Ομοίως, αν ο 4^ος όρος είναι 27128 και ο λόγος 34.
4.	i) Να βρείτε το λόγο μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 3^ος όρος είναι 12 και ο 6^ος όρος είναι 96. ii) Ομοίως, αν ο 2^ος όρος είναι 83 και ο 5^ος όρος είναι 6481.
5.	Να βρείτε:
	i) τον α₁₅ μιας γεωμετρικής προόδου με α₁ = 20 και ω = 1,05, ii) τον α₁₄ μιας γεωμετρικής προόδου με α₄ = 125 και α₁₀ = 12564, iii) τον α₂₁ μιας γεωμετρικής προόδου με α₁₃ = √2 και α₂₃ = 32√2.
6.	Έστω η γεωμετρική πρόοδος 3, 6, 12, … Να βρείτε το πλήθος των όρων της μέχρι και τον όρο που ισούται με 768.
7.	i) Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 4, 8, 16, … που υπερβαίνει το 2000. ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 128, 64, 32, … που είναι μικρότερος του 0,25.
8.	i) Να βρείτε το γεωμετρικό μέσο των αριθμών 5 και 20, καθώς και των 1 √3 και √3. ii) Να βρείτε τον x ώστε οι αριθμοί x - 4, x + 1, x - 19 να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
9.	Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων των γεωμετρικών προόδων
	i) 1, 2, 4, …	ii) 3, 9, 27, …	iii) -4, 8, -16, …

10.	Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 8 όρων των γεωμετρικών προόδων:
	i) 9, 12, 16, …	ii) 1, 14, 116, …
11.	Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:
	i) 2 + 8 + 32 + … + 8192	ii) 4 + 2 + 1 + … + 1 512	iii) 1 + (-2) + 4 + … + 256
12.	Μια κοινωνία βακτηριδίων διπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα. Αν αρχικά υπάρχουν 3 βακτηρίδια, πόσα βακτηρίδια θα υπάρχουν ύστερα από 12 ώρες;
13.	Μια μπάλα πέφτει από ύψος 60 μέτρων και αναπηδά σε έδαφος φθάνοντας κάθε φορά στο 13 του ύψους της προηγούμενης αναπήδησης. Να βρείτε σε τι ύψος θα φθάσει στην 4η αναπήδηση.
B′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Ο ν^ος όρος μιας ακολουθίας είναι α^ν = 2^ν· 1 3^ν+1. Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους α₁ και λ.
2.	i) Αν ισχύει α α + β = α - βα - γ, να δείξετε ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. ii) Αν οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, να δείξετε ότι (α + β)²(β + γ)² = αγ.
3.	i) Αν οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, να δείξετε ότι α² + β² + γ² = (α + β + γ)(α - β + γ). ii) Αν οι α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου να δείξετε ότι (α - γ)² + (β - γ)² + (β - δ)² = (α - δ)².
4.	Για ποια τιμή του ν οι αριθμοί √ν - 5, , √ν + 2 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου;
5.	Να δείξετε ότι:
	i) Tα τετράγωνα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου σχηματίζουν επίσης γεωμετρική πρόοδο. ii) Αν υψώσουμε κάθε όρο μιας γεωμετρικής προόδου στην k, τότε προκύπτει πάλι γεωμετρική πρόοδος.
6.	Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο, της οποίας:
	i) ο 4^ος όρος είναι 24 και το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της είναι 21, ii) το άθροισμα των δυο πρώτων όρων της είναι 3 + √3 και το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι 4(3 + √3)

7.	Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων δέκα όρων της γεωμετρικής προόδου, στην οποία είναι α₂ + α₆ = 34 και α₃ + α₇ = 68.
8.	i) Να βρείτε το άθροισμα 1 + α + α² + … + α^ν-1 ii) Να υπολογίσετε το γινόμενο (1 - α)(1 + α + α² + … + α^ν-1) iii) Να δείξετε ότι x^ν - y^ν = (x - y)(x^ν-1 + x^ν-2y + … + y^ν-1)
9.	Να υπολογίσετε το γινόμενο των πρώτων ν όρων της γεωμετρικής προόδου 2, 4, 8, …
10.	Αν το άθροισμα των πρώτων τριών όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι -13 και το γινόμενο τους είναι -27, να βρείτε τους όρους αυτούς.
^∗11.	i) Είναι γνωστό ότι, για κάθε ν ∈N^∗, το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας ακολουθίας (α_ν) είναι S_v = 2ν - 1. Να δείξετε ότι η (α_ν) είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους α₁ και λ.
	ii) Ομοίως, αν S_v = 3^ν - 1	iii) Ομοίως, αν S_v = 3(2^ν - 1)
^∗12.	Να αποδείξετε ότι
13.	Ο πληθυσμός μιας χώρας είναι 90 εκατομμύρια και παρουσιάζει ετήσια αύξηση 2%. Αν α_ν είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από ν χρόνια, να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο, καθώς και το γενικό όρο της ακολουθίας (α_ν). - Ποιός θα είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από 10 χρόνια; [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].
14.	Η ένταση του φωτός μειώνεται κατά 10%, όταν αυτό διέρχεται από ένα φίλτρο. Αν Ι_ν είναι η ένταση του φωτός, αφού διέλθει διαδοχικά μέσα από ν τέτοια φίλτρα, να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο, καθώς και το γενικό όρο της ακολουθίας (Ι_ν). - Ποια θα είναι η ένταση του φωτός, αν διέλθει μέσα από 10 τέτοια φίλτρα και η αρχική ένταση είναι Ι₀ ; [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].
15.	Σε ένα όργανο μουσικής ο τόνος C′ έχει συχνότητα 261 Hz και η οκτάβα του C″ έχει διπλάσια συχνότητα. Ανάμεσα στους C′ και C″ υπάρχουν 11 επιπλέον τόνοι, των οποίων οι συχνότητες σχηματίζουν με τις συχνότητες των C′ και C″ 13 διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Να υπολογίσετε:
	i) το λόγο της προόδου,	ii) τη συχνότητα του πέμπτου τόνου.

16.	Το ψυγείο ενός φορτηγού περιέχει 40 lt νερό. Αδειάζουμε 4 lt νερό και το αντικαθιστούμε με αντιπυκτικό. Ύστερα αδειάζουμε 4 lt του μείγματος και το αντικαθιστούμε με αντιπυκτικό κ.ο.κ. Αν D_v είναι η ποσότητα του νερού στο ψυγείο, αφού εφαρμοσθεί η διαδικασία ν φορές, να βρείτε:
	i) Έναν αναδρομικό τύπο της ακολουθίας (D_v). ii) Την ποσότητα του αντιπυκτικού στο ψυγείο, αφού εφαρμοσθεί η διαδικασία 7 φορές. [Χρησιμοποιήστε υπολογιστή τσέπης].
17.	Λέγεται ότι ο εφευρέτης του σκακιού παρακλήθηκε από έναν Ινδό βασιλιά να ζητήσει όποια αμοιβή ήθελε για τη σπουδαία ιδέα του. Ο εφευρέτης ζήτησε να πάρει το ρύζι που θα μαζευόταν ως εξής: Στο 1ο τετραγωνάκι του σκακιού να έβαζε κάποιος έναν κόκκο ρυζιού, στο 2ο τετραγωνάκι 2 κόκκους, στο 3ο τετραγωνάκι 4 κόκκους, στο 5ο τετραγωνάκι 8 κόκκους κτλ. Να βρείτε πόσοι τόνοι θα ήταν η ποσότητα αυτή του ρυζιού, αν 1 Kg ρυζιού έχει 20000 κόκκους.
18.	Στο εσωτερικό μιας γωνίας 60^o βρίσκονται κύκλοι C₁, C₂, C₃, … που εφάπτονται διαδοχικά και έχουν τις πλευρές της γωνίας ως κοινές εφαπτόμενες Αν r_v είναι η ακτίνα του κύκλου C_v και η ακτίνα του C, είναι 1 να βρείτε: i) Έναν αναδρομικό τύπο και το ν^o όρο της ακολουθίας (r_v) ii) Την ακτίνα του 8^ου κύκλου. iii) Το άθροισμα των εμβαδών των 5 πρώτων κύκλων.