ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο

Πρόοδοι

3.1 Ακολουθίες

Η έννοια της ακολουθίας

Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που θα αποδώσει το κεφάλαιο προστίθενται σε αυτό και το ποσό που προκύπτει ξανατοκίζεται για τον επόμενο χρόνο με το ίδιο επιτόκιο. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί όσα χρόνια θέλουμε. Επομένως, το κεφάλαιο των 10000 ευρώ θα γίνει:

Σε 1 χρόνο:

10000 + 0,02·10000 = 10000·(1 + 0,02) = 10200 ευρώ.

Σε 2 χρόνια:

10000·1,02 + 0,02·(10000·1,02) = 10000·1,02·(1 + 0,02)

= 10000·(1,02)²

= 10404 ευρώ.

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι το ποσό των 10000 ευρώ θα γίνει:

Σε 3 χρόνια 10000·(1,02)³ ευρώ, σε 4 χρόνια 10000·(1,02)⁴ ευρώ κτλ. και σε ν χρόνια θα γίνει 10000·(1,02)^ν ευρώ.

Έτσι έχουμε τον πίνακα:

Χρόνια: ν

…

Κεφάλαιο σε ν χρόνια

10000·1,02

10000·(1,02)²

10000·(1,02)³

…

10000·(1,02)^ν

…

Παρατηρούμε ότι κάθε θετικός ακέραιος ν αντιστοιχίζεται στον πραγματικό αριθμό 10000·(1,02)^ν.

Ορίζεται με τον τρόπο αυτό μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακεραίων. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι μια ακολουθία.

Γενικότερα ορίζουμε ότι:

Ακολουθία λέγεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο N^∗ των θετικών ακεραίων.

Αν και μια ακολουθία είναι συνάρτηση, ωστόσο χρησιμοποιούμε για αυτήν ιδιαίτερο συμβολισμό. Έτσι, μια ακολουθία συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα α και η τιμή της στο ν, δηλαδή το α(ν), συμβολίζεται με α_ν που διαβάζεται «α με δείκτη ν». Λέμε τότε ότι έχουμε την ακολουθία (α_ν). Οι τιμές α₁, α₂, α₃ κτλ. λέγονται κατά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κτλ. της ακολουθίας. Ο α_ν λέγεται νιοστός ή γενικός όρος της ακολουθίας. Για πρακτικούς λόγους μια ακολουθία παριστάνεται και με άλλους τρόπους.

Έστω π.χ. η ακολουθία α με α_ν = ν². Τότε είναι α₁ = 1², α₂ = 2², α₃ = 3², …, και γενικά α_ν = ν². Μπορούμε λοιπόν να λέμε:

έστω «η ακολουθία 1², 2², 3², …, ν², …», ή ακόμα

έστω «η ακολουθία α_ν = ν²».

Ακολουθίες που ορίζονται αναδρομικά

Στην ακολουθία 1², 2², 3², …, ν², … ο γενικός της όρος α_ν = ν² μας επιτρέπει να βρούμε τον οποιονδήποτε όρο της. Είναι π.χ. α₂₀ = 20² = 400, α₁₀₀ = 100² = 10000 κτλ.

Υπάρχουν όμως και ακολουθίες που για το γενικό τους όρο είναι δύσκολο να βρεθεί ένας μαθηματικός τύπος.

Ας θεωρήσουμε π.χ. την ακολουθία (α_ν), της οποίας ο πρώτος όρος είναι το 1, ο δεύτερος όρος είναι επίσης το 1 και κάθε άλλος όρος, από τον τρίτο και μετά, είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων όρων:

α₁ = 1, α₂ = 1, α_ν+2 = α_ν+1 + α_ν

Έχουμε:

α₃ = 1 + 1 = 2, α₄ = 2 + 1 = 3, α₅ = 3 + 2 = 5, α₆ = 5 + 3 = 8, κτλ.

Παρατηρούμε ότι μπορούμε με διαδοχικά βήματα να βρούμε τον οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία (α_ν) είναι τελείως ορισμένη.

Λέμε ότι η ακολουθία (α_ν) ορίζεται αναδρομικά και η ισότητα α_ν+2 = α_ν+1 + α_ν λέγεται αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Γενικότερα, για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε:

(i)

Τον αναδρομικό της τύπο και

(ii)

Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους.

Σχόλιο. Υπάρχουν ακολουθίες, για τις οποίες μέχρι τώρα δε γνωρίζουμε ούτε έναν τύπο για το γενικό τους όρο ούτε έναν αναδρομικό τύπο. Μια τέτοια ακολουθία είναι π.χ. η ακολουθία των πρώτων αριθμών:

2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Γραφική παράσταση ακολουθίας

Όπως μια συνάρτηση έτσι και μια ακολουθία μπορεί να παρασταθεί γραφικά σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Βέβαια, αφού το πεδίο ορισμού μιας ακολουθίας είναι το N^∗ η γραφική της παράσταση αποτελείται από σημεία με τετμημένες θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Για παράδειγμα, στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μερικά σημεία της γραφικής παράστασης της ακολουθίας α_ν = 2ν - 1. Τα σημεία αυτά είναι προφανώς εκείνα τα σημεία της ευθείας y = 2x - 1 που έχουν τετμημένες ακέραιους θετικούς αριθμούς.

Ομοίως, στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μερικά σημεία της γραφικής παράστασης της ακολουθίας α_ν = 4ν. Τα σημεία αυτά είναι εκείνα τα σημεία της υπερβολής y = 4x που έχουν τετμημένες ακέραιους θετικούς αριθμούς.

Εικόνα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1ο

Να γράψετε τους τέσσερις πρώτους όρους και τους 20^ους όρους των ακολουθιών:

i) α_ν = 2ν² - 3 ii) β_ν = (-1)^ν 2ν - 1

ΛΥΣΗ

Έχουμε

και

α₁ = 2·1² - 3 = -1,

α₃ = 2·3² - 3 = 15,

α₂₀ = 2·20² - 3 = 797

α₂ = 2·2² - 3 = 5

α₄ = 2·4² - 3 = 29

ii)

Έχουμε

και

β₁ = (-1)¹ 2·1 - 1 = -1,

β₃ = (-1)³ 2·3 - 1 = - 15,

β₂₀ = (-1)²⁰ 2·20 - 1 = 139

β₂ = (-1)² 2·2 - 1 = 13

β₄ = (-1)⁴ 2·4 - 1 = 17

2ο

Δίνεται η ακολουθία με α₁ = 2 και α_ν+1 = α_ν² + 1. Να βρεθούν οι πρώτοι τέσσερις όροι της ακολουθίας.

ΛΥΣΗ

Έχουμε

α₁ = 2

α₂ = α₁² + 1 = 2² + 1 = 5

α₃ = α₂² + 1 = 5² + 1 = 26

α₄ = α₃² + 1 = 26² + 1 = 667

3ο

Δίνεται η ακολουθία α_ν = 3ν+5. Να οριστεί η ακολουθία αυτή και αναδρομικά.

ΛΥΣΗ

Έχουμε α_ν+1 - α_ν

= [3(ν + 1) + 5] - (3ν + 5)

= 3ν + 3 + 5 - 3ν - 5

= 3

Άρα α_ν+1 = 3 + α_ν που είναι ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας.

Επειδή α₁ = 3·1 + 5 = 8, η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής:

α₁ = 8 και α_ν+1 = 3 + α_ν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών:
	i) α_ν = 2ν + 1	ii) α_ν = 2^ν	iii) α_ν = ν² + ν	iv) α_ν = ν² - 1ν + 1
	v) α_ν = (- 110)^ν-1	vi) α_ν = 1 - (- 12)^ν	vii) α_ν = \|5 - ν\|	viii) α_ν = ημ νπ4
	ix) α_ν = 2^νν²	x) α_ν = (-1)^ν+1·1ν	xi) α_ν = (-1)^ν+1
2.	Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών:
	i) α₁ = 2, α_ν+1 = 1α^ν	ii) α₁ = 0, α_ν+1 = α_ν² + 1	iii) α₁ = 3, α_ν+1 = 2(α_ν - 1)
3.	Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες:
	i) α_ν = ν + 5	ii) α_ν = 2^ν	iii) α_ν = 2^ν - 1	iv) α_ν = 5ν + 3

4.	Να βρείτε το ν^o όρο των ακολουθιών:
	i) α₁ = 1, α_ν+1 = α_ν + 2	ii) α₁ = 3, α_ν+1 = 5α_ν
5.	Να παραστήσετε γραφικά τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών:
	i) α_ν = 5ν ν + 2	ii) α_ν = (-1)^ν-1·12ν	iii) α_ν = ημ νπ12
B′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Το σημείο Μ_ν κινείται στο ημικύκλιο κέντρου Ο και ακτίνας, 1 έτσι, ώστε , όπου ν θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας. Να βρείτε το γενικό όρο της ακολουθίας (α_ν), της οποίας κάθε όρος εκφράζει το μήκος του ΑΜ_ν.
2.	Θεωρούμε την ευθεία y = x + 1 και την ακολουθία (α_ν), της οποίας ο όρος α_ν εκφράζει το γραμμοσκιασμένο εμβαδό. Να βρείτε το α_ν.
3.	Θεωρούμε την ακολουθία α_ν = 1ν - 1 ν + 1.
	i) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1x, x > 0 και να εξηγήσετε στο σχήμα τι παριστάνει η ακολουθία (α_ν). ii) Να αποδείξετε ότι για την ακολουθία αυτή ισχύει α_ν+1 < α_ν.
4.	Να βρείτε το ν^ο όρο της ακολουθίας με α₁ = 1 και α_ν = ν·α_ν-1.
5.	Αν δοθεί ένας αριθμός Α > 0, τότε αποδεικνύεται ότι οι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας α₁ = A2, α_ν+1 = 12 (α_ν + Aα_ν) προσεγγίζουν όλο και περισσότερο την √A, καθώς το ν μεγαλώνει. Να βρείτε μια προσέγγιση της √7, υπολογίζοντας τον α₄. (Να συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την τιμή της √7 που δίνουν οι πίνακες).

Κάθε πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου χωρίζεται σε τρία ίσα τμήματα. Το μεσαίο τμήμα κάθε πλευράς αντικαθίσταται από τις δυο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου. Στο σχήμα με μορφή αστεριού που προκύπτει αντικαθιστούμε πάλι το μεσαίο 13 κάθε πλευράς με δυο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου. Με ανάλογο τρόπο συνεχίζουμε για κάθε σχήμα που προκύπτει από τη διαδικασία αυτή.

Εικόνα

Να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο και το γενικό όρο της ακολουθίας (S_v) που εκφράζει το πλήθος των πλευρών κάθε σχήματος.

ii)

Να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο και το γενικό όρο της ακολουθίας (U_v) που εκφράζει την περίμετρο κάθε σχήματος, αν το αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά ίση με 1.