Άλγεβρα (Β ΕΠΑ.Λ.): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

2.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις

Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων

αx + β = 0, αx² + βx + γ = 0 και αx⁴ + βx² + γ = 0, με α ≠ 0

Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις.

Συγκεκριμένα:

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής

α_vx^ν + α_v-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀ = 0, α_v ≠ 0

Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 2x³ - 5x² + x - 2 = 0 και -3x⁶ + 5x² + 1 = 0 είναι πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως.

Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου P(x) = α_vx^ν + α_v-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0.

Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, έτσι και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός τρόπος επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δεν υπάρχει. Για τους λόγους αυτούς, για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από 2, θα περιοριστούμε στην γνωστή μας παραγοντοποίηση.

Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία

P₁(x)·P₂(x)…P_k(x) = 0 ⇔ (P₁(x) = 0 ή P₂(x) = 0 ή … P_k(x) = 0)

Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) = 0, παραγοντοποιούμε το Ρ(x) και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού.

Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση x³ - 3x + 2 = 0. Αυτή γράφεται:

x³ - 3x + 2 = 0

⇔ x³ - x - 2x + 2 = 0

⇔ x(x² - 1) - 2(x + 1) = 0

⇔ (x - 1)[x(x + 1) - 2] = 0

⇔ (x - 1)(x² + x - 2) = 0

⇔ x - 1 = 0 ή x² + x - 2 = 0

⇔ x = 1 ή x = -2

Παράγοντας της μορφής x - ρ

Το θεώρημα που ακολουθεί μας βοηθά σε ορισμένες περιπτώσεις, στην εύρεση πρωτοβάθμιων παραγόντων.

ΘΕΩΡΗΜΑ

(ακέραιων ριζών) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α_vx^ν + α_v-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀ = 0, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α₀.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν o ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε

α_vρ^ν + α_v-1ρ^ν-1 + … + α₁ρ + α₀ = 0

⇔ α₀ = -α_vρ^ν - α_v-1ρ^ν-1 - … - α₁ρ

⇔ α₀ = ρ(-α_vρ^ν-1 - α_v-1ρ^ν-2 - … - α₁)

Επειδή οι ρ, α₁, α₂, …, α_ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και o -α_vρ^ν-1 - α_v-1ρ^ν-2 - … - α₁ είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε, ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α₀.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1ο

Να λυθεί η εξίσωση x³ - 3x² + x + 2 = 0.

ΛΥΣΗ

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες ±1, ±2 του σταθερού όρου. Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο P(x) = x³ - 3x² + x + 2

Έχουμε:

1	-3	1	2	ρ = 1
	1	-2	-1
1	-2	-1	1

P(1) = 1 ≠ 0

Άρα το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x)

1	-3	1	2	ρ = -1
	-1	4	-5
1	-4	5	-3

P(-1) = -3 ≠ 0

Άρα το -1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x)

1	-3	1	2	ρ = 2
	2	-2	-2
1	-1	-1	0

P(2) = 0

Άρα το 2 είναι ρίζα του Ρ(x)

Επομένως το x - 2 είναι παράγοντας του Ρ(x). Συγκεκριμένα από το τελευταίο σχήμα έχουμε

P(x) = (x - 2)(x² - x - 1)

οπότε η εξίσωση γράφεται (x - 2)(x² - x - 1) = 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς 2, 1 - √52 και 1 + √52.

Σχόλιο. Από το παραπάνω παράδειγμα συμπεραίνουμε ότι το αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει. Με άλλα λόγια μπορεί ένας ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α₀, χωρίς αυτός να είναι κατ' ανάγκη και ρίζα της εξίσωσης π.χ. ο ρ = 1.

2ο

Να λυθεί η εξίσωση x⁴ + 5x³ + 9x² + 8x + 4 = 0.

ΛΥΣΗ

Οι διαιρέτες του 4 είναι οι: ±1, ±2, ±4. Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί, οι διαιρέτες 1, 2, και 4 αποκλείεται να είναι ρίζες της. Επομένως οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι -1, -2, και -4.

Αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, βρίσκουμε Ρ(-1) = 1 ≠ 0, ενώ για ρ = -2 έχουμε:

1	5	9	8	4	ρ = -2
	-2	-6	-6	-4
1	3	3	2	0

P(-2) = 0

Άρα το -2 είναι ρίζα του P(x)

Η εξίσωση τότε γράφεται

(x + 2)(x³ + 3x² + 3x + 2) = 0

Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία για το Q(x) = x³ + 3x² + 3x + 2 και ρ = -2 έχουμε

1	3	3	2	ρ = -2
	-2	-2	-2
1	1	1	0

Q(-2) = 0

Άρα το -2 είναι ρίζα του Q(x)

Επομένως είναι x³ + 3x² + 3x + 2 = (x + 2)(x² + x + 1) και η αρχική εξίσωση γράφεται

(x + 2)²(x² + x + 1) = 0

Η τελευταία έχει μια μόνο διπλή ρίζα τον αριθμό -2.

3ο

Να λυθεί η ανίσωση x³ - 3x² + x + 2 > 0.

ΛΥΣΗ

Αν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα 1, η ανίσωση γράφεται

(x - 2)(x² - x - 1) > 0 ή (x - 2)(x - 1 - √52)(x - 1 + √52) > 0.

Τοποθετούμε τις ρίζες του P(x) = x³ - 3x² + x + 2 σε άξονα και παρατηρούμε ότι:

Στο 1ο από δεξιά διάστημα (2, +∞) το Ρ(x) είναι θετικό, αφού όλοι οι παράγοντες είναι θετικοί. Στο επόμενο διάστημα (1 + √52, 2) το Ρ(x) είναι αρνητικό, αφού ένας μόνο παράγοντας, ο x - 2, είναι αρνητικός. Αν συνεχίσουμε έτσι, βρίσκουμε το πρόσημο του Ρ(x) σε όλα τα διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα.

Εικόνα

Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα x ∈ R, με 1 - √52 < x < 1 + √52 ή x > 2.

Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση

Όταν ο ακριβής προσδιορισμός των ριζών μιας εξίσωσης είναι δύσκολος ή αδύνατος, τότε χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για να προσδιοριστούν με προσέγγιση οι ρίζες αυτές. Μια τέτοια προσεγγιστική μέθοδος, που παρουσιάζεται βήμα προς βήμα στο παράδειγμα που ακολουθεί, στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα:

*ΘΕΩΡΗΜΑ*	Έστω η συνάρτηση
	f(x) = α_vx^ν + α_v-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀
	Αν για δυο πραγματικούς αριθμούς α, β με α < β οι τιμές f(α), f(β) της συνάρτησης είναι ετερόσημες, τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 μεταξύ των α, β.

Το παραπάνω θεώρημα ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής:

Αν η γραφική παράσταση της f περνάει από δυο σημεία Α (α, f(α)) και Β(β,f(β)) που βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x′x, τότε αυτή τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β.

Εικόνα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x³ - 3x + l = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των αριθμών 1 και 2. Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με προσέγγιση δεκάτου.

ΛΥΣΗ

Έστω η συνάρτηση f(x) = x³ - 3x + l

1^o βήμα: Έχουμε:

Εικόνα

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο διάστημα (1,2).

2^ο βήμα: Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία 1,1, 1,2, … 1,9 και παρατηρούμε ότι:

Επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,5, 1,6)

3^ο βήμα: Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα (1,5, 1,6) και έχουμε:

Εικόνα

Επομένως υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα (1,53, 1,54) δηλαδή ισχύει 1,53 < ρ < 1,54. Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι ρ = 1,5.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) 5x⁴ = 6x²	ii) x³ + 2x² - 9x - 18 = 0
	iii) 3x⁵ + 5x⁴ = 3x³ + 5x²	iv) x⁶ - 64 = 0
	v) x³ + x² - 2 = 0	vi) x³ - 7x + 6 = 0
	vii) (x + 1)³ + 1 = 0	viii) 7(3x + 2)²(1 - x)² - (3x + 2)(1 - x)³ = 0
	ix) x³ + 8 = 7(x² + 5x + 6) + 9x² - 36	x) x⁴ - 3x³ + 6x - 4 = 0
2.	Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες των εξισώσεων:
	i) x³ - 3x² + x + 2 = 0	ii) 3x³ + 8x² - 15x + 4 = 0
	iii) x³ - 10x - 12 = 0	iv) x³ + 2x² + 7x + 6 = 0
3.	Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες.
	i) x⁴ + 3x - 2 = 0	ii) 2x⁴ - 3x³ + 6x² - 24x + 5 = 0
4.	Να λύσετε τις ανισώσεις:
	i) x³ + 2x² + 3x + 6 > 0	ii) x⁴ - 6x³ + 22x² - 30x + 13 ≤ 0
	iii) x³ - 3x + 2 < 0	iv) x⁴ - x³ + x² - 3x - 6 ≥ 0
5.	Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x′x και της γραφικής παράστασης καθεμιάς από τις συναρτήσεις:
	i) f(x) = 3x³ - 3x² - 5x - 2,	ii) g(x) = 4x³ - 3x - 1
6.	Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x) = x⁴ - 5x³ + 3x² + x βρίσκεται κάτω από τον άξονα x′x.
7.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) x⁸ - 15x⁴ - 16 = 0	ii) (x - 1)⁶ - 9(x - 1)³ + 8 = 0
	iii) 6( x x + 1)² + 5( x x + 1) - 6 = 0

8.	Να βρεθεί μια ρίζα της εξίσωσης x³ + 5x - 3 = 0 στο διάστημα (0, 1) με προσέγγιση δεκάτου.
B′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) 110 x³ + 12 x² + 15 x - 45 = 0,	ii) x³ - 56 x² - 223 x + 52 = 0
2.	Να βρείτε για ποιες τιμές των α, β ∈ R το P(x) = x⁴ + αx³ + βx² - 16x - 12 έχει παράγοντες τους x + 1 και x - 2. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0.
3.	Να βρείτε τις τιμές του k ∈ Z για τις οποίες, η εξίσωση x³ - x² + kx + 3 = 0 έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα.
^∗4.	Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x^ν + 2λx - 2 = 0, ν ∈ N, ν ≥ 2, λ ∈ Z^∗ δεν έχει ακέραιες ρίζες.
5.	Αν P(x) = x⁶ - 5x⁴ - 10x² + k, να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x - 1 είναι παράγοντας του Ρ(x). Για αυτές τις τιμές του k να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0.
6.	Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κουτί από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις 5dm και 9dm, κόβουμε ίσα τετράγωνα από κάθε γωνία του και γυρίζουμε προς τα πάνω τις πλευρές του. Να βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού, αν είναι γνωστό ότι αυτές εκφράζονται σε dm με ακέραιους αριθμούς και ακόμη ότι ο όγκος του είναι 21dm³.
7.	Η συγκέντρωση μιας χημικής ουσίας στο αίμα t ώρες μετά από ενδομυϊκή ένεση δίνεται από τον τύπο c = 3t² + tt³ + 50 Η συγκέντρωση είναι μέγιστη, όταν 3t⁴ + 2t³ - 300t - 200 = 0. Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτου το χρόνο t καθώς και τη μέγιστη συγκέντρωση.
8.	Αν ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι 36m³, να βρείτε το x.

9.	Ένα παγόβουνο σύρεται από την Ανταρκτική προς την Αφρική. Αν ο όγκος του V, μετά από ν ημέρες δίνεται από τον τύπο V = 500π3 (2000 - 100ν + 20ν² - v³), να βρείτε μετά πόσο χρόνο το παγόβουνο θα λιώσει τελείως.
10.	Σε χρόνο t δευτερολέπτων μετά την πρόσκρουση του φορτηγού στο κιγκλίδωμα του δρόμου, η παραμόρφωση σε mm του κιγκλιδώματος δίνεται από τον τύπο d = 15t(t² - 6t - 9). Σε πόσο χρόνο μετά την πρόσκρουση η μπάρα του κιγκλιδώματος θα επανέλθει στην αρχική της θέση;
11.	Ένα πακέτο σχήματος παραλληλεπιπέδου, για να σταλεί με το ταχυδρομείο, πρέπει το άθροισμα του μήκους του με την περίμετρο μιας κάθετης τομής του να μην υπερβαίνει τα 108 cm (βλέπε σχήμα). Να βρεθούν οι διαστάσεις του πακέτου, αν γνωρίζουμε ότι ο όγκος του είναι 11664 cm³.
12.	i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α (1,2) και Β (12,- 12) ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία αυτή τέμνει την καμπύλη y = x³ + x² για τα x που είναι ρίζες της εξίσωσης. x³ + x² - 5x + 3 = 0 iii) Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ.

13.	Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μικρά δοχεία για χυμούς φρούτων. Το τμήμα σχεδιασμού του εργοστασίου έλαβε τρείς παραγγελίες:
	α) Ο πρώτος πελάτης θέλει κουτιά που να χωρούν 200ml χυμού και με διαστάσεις, που να διαφέρουν κατά 1cm, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να αποδειχθεί ότι το τμήμα έχει να λύσει την εξίσωση x³ + 3x² + 2x - 200 = 0. Μπορείτε να τους βοηθήσετε να βρουν το x με προσέγγιση ενός mm.
	β) Ο δεύτερος πελάτης θέλει τενεκεδάκια κυλινδρικά που να χωρούν 1lit, και να έχουν ύψος 10cm μεγαλύτερο από το μήκος της ακτίνας τους, Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αυτή τη φορά είναι r³ + 10r² - 318 = 0 και να βρεθεί το r με προσέγγιση ενός mm. (Να πάρετε 1000π ≈ 318).
	γ) Ο τρίτος πελάτης ζήτησε κουτιά σε σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας, που να χωρούν 250ml, με πλευρά βάσης 5cm μεγαλύτερη από το ύψος. Να βρεθεί η εξίσωση και στη συνέχεια μια κατά προσέγγιση τιμή του ύψους h (προσέγγιση χιλιοστού).