Άλγεβρα (Β ΕΠΑ.Λ.): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

1.4 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α

Οι τύποι που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 2α, ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές περιπτώσεις των τύπων της προηγούμενης παραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύπους του ημ(α + β), του συν(α + β) και της εφ(α + β) αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε:

● ημ2α = ημ(α + α) = ημασυνα + συναημα = 2ημασυνα

Επομένως:

(1)

ημ2α = 2ημασυνβ

● συν2α

= συν(α + α) = συνασυνα - ημαημα

Επίσης συν2α = συν²α - ημ²α

= συν²α - ημ²α

= συν²α - (1 - συν²α) = 2συν²α - 1

= (1 - ημ²α) - ημ²α = 1 - 2ημ²α

Επομένως:

(2)

συν2α	=	συν²α - ημ²α
		2συν²α - 1
		1 - 2ημ²α

● εφ2α = εφα + εφα1 - εφαεφα = 2εφα 1 - εφ²α

Επομένως:

(3)

εφ2α = 2εφα 1 - εφ²α

Από τους τύπους (2) μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συν2α. Πράγματι, έχουμε:

● συν2α = 2συν²α - 1 ⇔ 1 + συν2α = 2συν²α ⇔ συν²α = 1 + συν2α2

● συν2α = 1 - 2ημ²α ⇔ 2ημ²α = 1 - συν2α ⇔ ημ²α = 1 - συν2α2

εφ²α = ημ²ασυν²α = Εικόνα = 1 - συν2α1 + συν2α

Επομένως:

(5)

συν²α = 1 + συν2α2

(4)

ημ²α = 1 - συν2α2

(6)

εφ²α = 1 - συν2α1 + συν2α

Με τη βοήθεια των παραπάνω τύπων μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του μισού μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. Για παράδειγμα οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 22,5^o = 45^o2 υπολογίζονται ως εξής:

ημ²25^o = 1 - συν45^o2 = Εικόνα = 2 - √24, οπότε

συν²25^o = 1 + συν45^o2 = Εικόνα = 2 + √24, οπότε

Επομένως Εικόνα και

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1ο

Να αποδειχθεί ότι:

i) ημ3α = 3ημα-4ημ³α ii) συν3α = 4συν³α-3συνα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έχουμε:

i) ημ3α = ημ(2α + α)

= ημ2ασυνα + συν2αημα

= 2ημασυν²α + (1 - 2ημ²α)ημα

= 2ημα(1 - ημ²α) + (1 - 2ημ²α)ημα

= 2ημα - 2ημ³α + ημα - 2ημ³α = 3ημα - 4ημ³α

i) συν3α = συν(2α + α)

= συν2ασυνα - ημ2αημα

= (2συν²α - 1)συνα - 2ημ²ασυνα

= (2συν²α - 1)συνα - 2(1 - συν²α)συνα

= 2συν³α - συνα - 2συνα + 2συν³α = 4συν³α - 3συνα

2ο

Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα ≠ 0 ισχύει:

i) ημ2α = 2εφα 1 + εφ²α ii) συν2α = 1 - εφ²α1 + εφ²α

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν συνα ≠ 0, έχουμε:

i) ημ2α = 2ημασυνα = 2ημασυνα συν²α + ημ²α = Εικόνα = 2εφα 1 + εφ²α

ii) συν2α = συν²α - ημ²α = συν²α - ημ²ασυν²α + ημ²α = Εικόνα = 1 - εφ²α1 + εφ²α

3ο

Αν εφ2α = 34 και π2 < α < π, να βρεθεί η εφα.

ΛΥΣΗ

Από τον τύπο (3) έχουμε:

34 = 2εφα 1 - εφ²α

⇔ 8εφα = 3 - 3εφ²α

⇔ 3εφ²α + 8εφα - 3 = 0

[αφού Δ = 100]

⇔ εφα = -8±106

⇔ εφα = 13 ή εφα = -3

Από τις τιμές της εφα που βρήκαμε δεκτή είναι μόνο η -3, αφού π2 < α < π.

4ο

Να αποδειχθεί ότι εφ² (π4 - x) = 1 - ημ2x1 + 2ημx.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή εφ²α = 1 - συν2α1 + συν2α, έχουμε:

εφ² (π4 - x) = Εικόνα = 1 - ημ2x1 + ημ2x, αφού συν (π2 - x) = ημ2x

5ο

Να λυθεί η εξίσωση: 2 - ημ²x = 2συν²x2.

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε:

2 - ημ²x = 2συν²x2 ⇔ 2 - ημ²x = 1 + συνx

⇔ 2 - (1 - συν²x) = 1 + συνx

⇔ συν²x - συνx = 0

⇔ συνx(συνx - 1) = 0

⇔ συνx = 0 ή συνx = 1

⇔ x = 2κπ ± π2 ή x = 2κπ, κ ∈ Z

6ο

Να εκφρασθεί το 8συν⁴α συναρτήση του συν2α και του συν4α.

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε:

8συν⁴α

= 8(συν²α)² = 8 (1 + συν2α2)² = 8 · 1 + 2συν2α + συν²2α4

= 2 + 4συν2α + 2συν²2α = 2 + 4συν2α + 1 + συν4α = 3 + 4συν2α + συν4α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:
	i) 2ημ 3π4 συν 3π4	ii) 1 - 2ημ²π12	iii) 2συν²135^o - 1	iv) 2εφ75^o 1 - εφ²75^o
2.	Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:
	i) 2ημ2ασυν2α	ii) 2συν² (π4 - α) - 1	iii) 2εφ3α 1 - εφ²3α
3.	Να αποδείξετε ότι:
	i) ημ²α + συν2α = συν²α	ii) ημ2α 1 - ημ²α = 2εφα
	iii) σφα - εφα = 2σφ2α	iv) εφα + σφα = 2 ημ2α
4.	Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του 2α, αν:
	i) συνα = - 45 και π < α < 3π2	ii) ημα = 35 και π2 < α < π
5.	Να υπολογίσετε την εφ(α + 2β), αν εφα = 14 και εφβ = 13

6.	Να αποδείξετε ότι:
	i) ημ³ασυνα + συν³αημα = 12 ημα	ii) ημ2αεφα + 2συν²α = 2
	iii) ημ2α 1 + συν2α = εφα	iv)1 - συν2α + ημα2α1 + συν2α + ημα2α =εφα
7.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) συν2x - ημx - 1 = 0	ii) ημ2x - 2συνx + ημx - 1 = 0
8.	Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας π16
9.	Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α2, αν:
	i) συνα = 513 και 0 < α < π2	ii) συνα = 35 και 3π2 < α < 2π
10.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) συν2x + 2συν²x2 = 0	ii) συνx - 2ημ²x2 = 0
	iii) 2 - συν²x = 4ημ²x2	iv) συν²x - 1 = 2συν²x2
B′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Αν 0 ≤ α < π4, να αποδείξετε ότι: συνα - ημα = √1-ημ2α.
2.	Να αποδείξετε ότι: ημ²α + 1 - συν²αημα(1 + συνα) = 2εφ α2
3.	Να αποδείξετε ότι: ημ²π8 - συν⁴3π8 = 18
4.	Να αποδείξετε ότι:
	i) 1 + εφαεφ2αεφα + σφ2α = εφ2α2	ii) 3 - 4συν2α + συν4α3 + 4συν2α + συν4α = εφ⁴α
5.	Να αποδείξετε ότι: εφ(45^o - α) = συν2α 1 + ημ2α = 1 συν2α - εφ2α και με τη βοήθεια αυτού του τύπου να υπολογίσετε την εφ15^o
6.	Να λυθούν οι εξισώσεις:
	i) εφ2x = 2συνx	ii) εφxεφ2x = -3
7.	Να αποδείξετε ότι: συν4α = 8συν⁴α - 8συν² + 1

8.	Να αποδείξετε ότι:
	i) συν⁴π8 + συν⁴3π8 = 34	ii) ημ⁴π8 + ημ⁴3π8 = 34
	iii) 8ημ²ασυν²α = 1 - συν4α
9.	Αν συνx = α β + γ, συνy = β γ + α και συνz = γ α + β, να αποδείξετε ότι: εφ²x2 + εφ²y2 + εφ²z2 = 1.