Άλγεβρα - Βιβλίο Μαθητή
Πρόλογος - Περιεχόμενα 1.2 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Τριγωνομετρία

1.1 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Περιοδικές συναρτήσεις

- Έστω ότι ένα φέρι-μποτ πηγαινοέρχεται μεταξύ δύο λιμανιών Α και Β και η γραφική παράσταση της απόστασης του από το λιμάνι Α ως συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Εικόνα

Παρατηρούμε ότι κάθε 1 12 ώρα το φέρι-μπότ επαναλαμβάνει την ίδια ακριβώς κίνηση. Αυτό σημαίνει ότι σε όποια απόσταση βρίσκεται από το λιμάνι Α σε κάποια χρονική στιγμή t, στην ίδια απόσταση θα βρίσκεται και τη χρονική στιγμή t + 1 12 ώρες και στην ίδια απόσταση βρισκόταν και τη χρονική στιγμή t - 1 12 ώρες.

Επομένως η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του φέρι-μπότ από το λιμάνι Α, με τη βοήθεια του χρόνου t, έχει τις ίδιες τιμές τις χρονικές στιγμές t, t + 1 12, t - 1 12. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 1 12 ώρες.

- Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του ύψους μιας κούνιας ως συνάρτηση του χρόνου t.

Εικόνα

Παρατηρούμε ότι, όποιο ύψος έχει η κούνια σε κάποια χρονική στιγμή t, το ίδιο ύψος θα έχει και τη χρονική στιγμή t + 2 sec και το ίδιο ύψος είχε και τη χρονική στιγμή t - 2 sec.

Λέμε πάλι ότι η συνάρτηση (που εκφράζει το ύψος της κούνιας με τη βοήθεια του χρόνου t) είναι περιοδική με περίοδο 2 sec.

Γενικότερα:

Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει:

i)   x + T ∈ A, x - T ∈ A

και

ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x)

Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών

Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με -1 ≤ ημω ≤ 1. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών.

Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουν γωνίες, αλλά πραγματικούς αριθμούς, όπως, π.χ., ο τύπος της αρμονικής ταλάντωσης f(t) = α·ημωt, στον οποίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι ένας πραγματικός αριθμός που παριστάνει το χρόνο.

Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.

Συγκεκριμένα:

- Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ (x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ.

Ορίζουμε δηλαδή ότι

ημx = ημ (x rad).

Επειδή ημ(ω + 360o) = ημ(ω - 360o) = ημω, για κάθε x ∈ R θα ισχύει:

ημ(x + 2π) = ημ(x - 2π) = ημx.

Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.

- Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο που συμβολίζεται με συν.

Ορίζουμε δηλαδή ότι

συνx = συν (x rad).

Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.

- Η συνάρτηση εφαπτομένη που συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής:

εφx = ημxσυνx

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο:

R1 = {x|συνx ≠ 0}

Επειδή για κάθε x ∈ R1 ισχύει

εφ(x + π) = εφ(x - π) = εφx,

η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.

- Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής:

σφx = συνxημx,

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο:

R2 = {x|ημx ≠ 0}

Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx

Επειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π], Έχουμε αναφέρει όμως ότι το ημx είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας xrad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το Α.

Παρατηρούμε ότι:

● Όταν το x μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π2, το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β. Άρα η τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, π2].

Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι:

Εικόνα

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π2, π],

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π, 2] και

- γνησίως αύξουσα στο διάστημα [2, 2π].

● Η συνάρτηση παρουσιάζει

- μέγιστο για x = π2, το ημ π2 = 1 και

- ελάχιστο για x = 2, το ημ 2 = -1.

Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται ως εξής:

x

0

 

π2

 

π

 

2

 

ημx

0

Εικόνα

1

μεγ.

Εικόνα

0

Εικόνα

-1

ελαχ.

Εικόνα

0

Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών της. Κατά τα γνωστά έχουμε:

x

0

π4

π2

4

π

4

2

4

ημx

0

2/2

≈ 0,71

1

0,71

0

-0,71

-1

-0,71

0

Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή.

Έτσι προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο στο διάστημα [0, 2π]:

Εικόνα

Επειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική, με περίοδο 2π, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα [2π, 4π], [4π, 6π] κτλ. καθώς και στα διαστήματα [-2π, 0], [-4π, -2π] κτλ.

Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο, η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη.

Εικόνα

Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κάθε x ∈ R ισχύει ημ(-x) = -ημx. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιττή και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0(0,0) των αξόνων.

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx

Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π].

Από τη μελέτη αυτή προκύπτουν τα συμπεράσματα του επόμενου πίνακα:

x

0

 

π2

 

π

 

2

 

συνx

1

μεγ.

Εικόνα

0

Εικόνα

-1

ελαχ.

Εικόνα

0

Εικόνα

1

μεγ.

Συντάσσουμε τώρα κατά τα γνωστά και τον ακόλουθο πίνακα τιμών της συνάρτησης συνημίτονο:

x

0

 

π4

π2

2

π

4

2

2

συνx

0

22

0,71

0

-0,71

-1

-0,71

0

0,71

1

Έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της y = συνx για 0 ≤ x ≤ 2π.

Εικόνα

Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, η γραφική της παράσταση στο R είναι η ακόλουθη:

Εικόνα

Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδιο συνημίτονο. Άρα για κάθε x ∈ R ισχύει συν(-x) = συνx. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = συνx είναι άρτια και επομένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y.

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx

Επειδή η συνάρτηση f(x) = εφx είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το (- π2, π2).

(Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση εφ δεν ορίζεται στα - π2 και π2).

Ας υποθέσουμε ότι η τελική πλευρά της γωνίας x rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο Μ και την ευθεία των εφαπτομένων στο σημείο Ε.

Όπως έχουμε αναφέρει η εφx ισούται με την τεταγμένη του σημείου Ε.

Επομένως:

● Όταν ο x παίρνει τιμές από - π2 προς το π2 το Μ κινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά από το Β′ προς το Β, οπότε η τεταγμένη του σημείου Ε αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η f(x) = εφx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (- π2, π2)

Εικόνα

● Όταν ο x «τείνει» στο - π2 από μεγαλύτερες τιμές η εφx «τείνει» στο -∞. Γι' αυτό λέμε ότι η ευθεία x = - π2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Επίσης όταν ο x «τείνει» στο π2 από μικρότερες τιμές η εφx τείνει στο +∞. Γι' αυτό λέμε ότι και η ευθεία x = π2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

Εικόνα

Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συντάσσουμε, με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών πινάκων ή με επιστημονικό κομπιουτεράκι, έναν πίνακα τιμών της:

x

- π2

- π3

- π4

- π6

0

π6

π4

π3

π2

εφx

Δεν

ορίζεται

-√3

≈ -1,7

-1

- 33

0

33

1

3

≈ 1,7

Δεν

ορίζεται

Στη συνέχεια παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Η γραφική παράσταση της f(x) = εφx φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Εικόνα

Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση της f(x) = εφx έχει κέντρο συμμετρίας το Ο, αφού (§ 5 · 3 : εφ(-x) = -εφx) είναι περιττή συνάρτηση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημx.

ΛΥΣΗ

Οι τιμές της συνάρτησης f(x) = 3ημx είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f(x) = ημx. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, αφού ισχύει:

f(x + 2π) = 3·ημ(x + 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ R,

και f(x - 2π) = 3·ημ(x - 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ R

Έχοντας υπ' όψιν τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = 3ημx.

x

0

π2

π

2

ημx

0

1

0

-1

0

3ημx

0

3

0

-3

0

Εικόνα

2. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = ημ2x.

ΛΥΣΗ

Κάθε τιμή της συνάρτησης f(x) = ημ2x επαναλαμβάνεται, όταν το 2x αυξηθεί κατά 2π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το x αυξηθεί κατά π. Επομένως, η συνάρτηση f(x) = ημ2x είναι περιοδική με περίοδο π. Πράγματι:

f(x + π) = ημ2(x + π) = ημ(2x + 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ R

και f(x - π) = ημ2(x - π) = ημ(2x - 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ R

Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = ημ2x

x

0

π4

π2

4

π

ημ2x

0

1

0

-1

0

Εικόνα

3. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημ2x.

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο 3, ελάχιστο -3 και είναι περιοδική με περίοδο π.

Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης f(x) = 3ημ2x είναι ο εξής:

x

0

π4

π2

4

π

3ημ2x

0

3

0

-3

0

Με τη βοήθεια του πίνακα αυτού σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Εικόνα

Σχόλιο    Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι, σε μια συνάρτηση της μορφής f(x) = ρημωx, όπου ρ, ω > 0:

(i)  

Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με -ρ.

(ii)  



Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με ω.

Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής

f(x) = ρημωx, όπου ρ, ω > 0


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

   Α′ ΟΜΑΔΑΣ

1.

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων

 

i) f(x) = 2ημx,

g(x) = 0,5·ημx,

h(x) = -2ημx,

0 ≤ x ≤ 2π.

 

i) f(x) = 2συνx,

g(x) = 0,5·συνx,

h(x) = -2συνx,

0 ≤ x ≤ 2π.

2.

Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = ημx και στη συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

 

g(x) = 1 + ημx

και

h(x) = -1 + ημx

 

3.

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

 

f(x) = ημx

και

g(x) = ημ3x,

0 ≤ x ≤ 2π.

4. Ομοίως των συναρτήσεων
  f(x) = συνx και g(x) = συν3x, 0 ≤ x ≤ 2π.

5.

Έστω η συνάρτηση f(x) = 2ημ x2. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγω συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.

6.

Ομοίως για τη συνάρτηση f(x) = 2συν x2

7.

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

 

i) f(x) = εφx,

ii) g(x) = 1 + εφx

και

iii) h(x) = -1 + εφx

 

στο ίδιο σύστημα αξόνων

8.

Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(x) = εφ2x.

9.

Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f(x) = σφx.



   B′ ΟΜΑΔΑΣ

1.

Να βρείτε τις εξισώσεις των ημιτονοειδών καμπύλων:

 

i)

Εικόνα

 

ii)

Εικόνα

2.

Η παλίρροια σε μια θαλάσσια περιοχή περιγράφεται κατά προσέγγιση με τη συνάρτηση y = 3·ημ(π6·t), όπου y το ύψος της στάθμης των υδάτων σε μέτρα και t ο χρόνος σε ώρες.

i) 

Να βρείτε την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ψηλότερη πλημμυρίδα και τη χαμηλότερη άμπωτη.

ii) 

Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 ≤ t ≤ 12.

3.

Ένα παιγνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι και απέχει από το πάτωμα lm. Όταν το παιγνίδι ανεβοκατεβαίνει, το ύψος του από το πάτωμα σε μέτρα είναι h = 1 + 13 συνt, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα.

i)   

Να υπολογίσετε τη διαφορά ανάμεσα στο μέγιστο και στο ελάχιστο ύψος.

ii)  

Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης

iii) 

Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 ≤ t ≤ 2π.

Εικόνα

4.

Η απόσταση x του πιστονιού σε μέτρα από το ένα άκρο του κυλίνδρου περιγράφεται με τη συνάρτηση x(t) = 0,1 + 0,1·ημ3t, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα.

i)  

Να υπολογίσετε το πλάτος της κίνησης του πιστονιού,

ii)  

Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 ≤ t ≤ 2π.

Ποιες στιγμές του χρονικού αυτού διαστήματος η απόστασ η είναι 0,15m;

Εικόνα