ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ
ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ Π.Ι.
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΡΑΣΗ
|
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής Ε2 Σύνολα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: Εξισώσεις 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ 3.2 Η ΕΞΙΣΩΣΗ xν = α 3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ 4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ 4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Πρόοδοι 5.1 Ακολουθίες 5.2 Αριθμητική πρόοδος 5.3 Γεωμετρική πρόοδος 5.4 Ανατοκισμός - Ίσες καταθέσεις - Χρεωλυσία * ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ƒ(x) = αx + β 6.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 6.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = αx2 7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: 7.3 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = αx2 + βx + γ |
1ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κτλ. Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο. Η συνεπαγωγή Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β . Είναι γνωστό ότι: Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνα τους θα είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι:
|
Ο ισχυρισμός «P => Q » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής(1). (1) Στην καθημερινή πράξη, συνήθως, δεν χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές με ψευδή υπόθεση. Αλλά και η μαθηματική επιστήμη δεν έχει ανάγκη τέτοιου είδους συνεπαγωγών. Όμως, για τεχνικούς λόγους που συνδέονται με την ευκολία της έκφρασης μαθηματικών ζητημάτων, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συνεπαγωγή « P => Q » να είναι αληθής και στην περίπτωση που η υπόθεση P είναι ψευδής. Έτσι, η συνεπαγωγή « P => Q » είναι ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση. Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίνεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρόντος βιβλίου δεν μπορούν να εξηγηθούν οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτή. Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή Ας θεωρήσουμε τις γνωστές μας από το Γυμνάσιο συνεπαγωγές: α = β α2 = β2 (1)
4(x - 5) = x -5 <=> 4x - 20 = x - 5 α2 = β2 => α = β για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β, αφού για παράδειγμα είναι (-3)2 = 32, ενώ -3 ≠ 3 .
α + γ = β + γ => α = β Γι’ αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε: Γενικά:
Ο ισχυρισμός « P <=> Q » λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «P αν και μόνο αν Q». |
Ο σύνδεσμος «ή» Γνωρίζουμε ότι: Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι ίσος με το μηδέν.
Για να δηλώσουμε ότι ένας τουλάχιστον από τους α και β είναι ίσος με το μηδέν, γράφουμε α = 0 ή β = 0 . Έτσι, έχουμε την ισοδυναμία α · β = 0 <=> α = 0 ή β = 0
Γενικά:
Ο ισχυρισμός «P ή Q» λέγεται διάζευξη των P και Q . Για παράδειγμα η εξίσωση (x2 - x)(x2 -1) = 0 αληθεύει, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες x2 - x και x2 - 1 είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει η διάζευξη: x2 - x = 0 ή x2 - 1 = 0. Παρατηρούμε εδώ ότι:
|
Ο σύνδεσμος «και» Γνωρίζουμε ότι: α ≠ 0 και β ≠ 0 Έτσι, έχουμε την ισοδυναμία α · β ≠ 0 <=> α ≠ 0 και β ≠ 0 Γενικά:
Ο ισχυρισμός «P και Q» λέγεται σύζευξη των P και Q . x(x -1) = 0 και (x -1)( x +1) = 0 αληθεύει για εκείνα τα x για τα οποία αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, δηλαδή για x = 1 . |
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
|
Ε.2 ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Πολλοί άνθρωποι συνηθίζουν να συλλέγουν διάφορα πράγματα, όπως π.χ. γραμματόσημα, νομίσματα, πίνακες ζωγραφικής, εφημερίδες, βιβλία κτλ. Οι περισσότεροι συλλέκτες ταξινομούν τις συλλογές τους σε κατηγορίες, π.χ. «γραμματόσημα που προέρχονται από την ίδια χώρα», «νομίσματα του περασμένου αιώνα», «πίνακες της αναγέννησης» κτλ.
Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. ΣΧΟΛΙΟ
|
Τα σύμβολα και Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε x Α και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α», ενώ για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε x Α και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Για παράδειγμα Παράσταση συνόλου Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους: Α = {2, 4, 6} Πολλές φορές χρησιμοποιούμε έναν παρόμοιο συμβολισμό και για σύνολα που έχουν πολλά ή άπειρα στοιχεία, γράφοντας μερικά μόνο από αυτά και αποσιωπώντας τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι αυτά που παραλείπονται. Έτσι για παράδειγμα το σύνολο Β των ακεραίων από το 1 μέχρι το 100 συμβολίζεται ως εξής Β = {1, 2, 3, ... , 100}, ενώ το σύνολο των κλασμάτων της μορφής , όπου ν θετικός ακέραιος, συμβολίζεται ως εξής: Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου με αναγραφή των στοιχείων του». και διαβάζεται «Το σύνολο των x R , όπου x > 0 ». {x Z | x άρτιος} Γενικά, αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι, τότε φτιάχνουμε ένα νέο σύνολο που συμβολίζεται με: {x Ω | x έχει την ιδιότητα Ι} και διαβάζεται «Το σύνολο των x D, όπου x έχει την ιδιότητα Ι». Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου με περιγραφή των στοιχείων του». |
Ίσα σύνολα Ας θεωρήσουμε τώρα τα σύνολα:
Α = {1, 2} και
Β= {x R | (x - 1)(x - 2) = 0 }
|
Υποσύνολα συνόλου Ας θεωρήσουμε τα σύνολα
Στην περίπτωση αυτή γράφουμε Α Β . Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι: |
Το κενό σύνολο Ας αναζητήσουμε τα στοιχεία του συνόλου Α = {x R | x2 = -1. Είναι φανερό ότι τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν, αφού η εξίσωση x2 = -1 είναι αδύνατη στο R. Το σύνολο αυτό, που δεν έχει κανένα στοιχείο, λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με Ø ή { }.
Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. |
Διαγράμματα Venn Μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων γίνεται με τα διαγράμματα Venn.
|
Πράξεις με σύνολα Έστω Ω = {1, 2, 3, ...,10} ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του:
Δηλαδή είναι: Γενικά:
Δηλαδή είναι:
Δηλαδή είναι: Α΄ = {x Ω | x Α} |
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
|