Μαθηματικά (ΣΤ Δημοτικού): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Δυνάμεις του 10

Γράφω τους μεγάλους αριθμούς χρησιμοποιώντας τις δυνάμεις του 10.

Δραστηριότητα 1η

Όπως ξέρουμε, τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με τον εαυτό του, μπορούμε να τον εκφράσουμε και με τη μορφή δύναμης.

Να εκφράσεις το γινόμενο 10 · 10 με δύναμη και να το υπολογίσεις........................................
Έχοντας εκφράσει την εκατοντάδα με δύναμη, πώς μπορούμε να εκφράσουμε γρήγορα τις 2, 3, 4,

εκατοντάδες;..................................................................................................................
Να εκφράσεις το 1000 με δύναμη του 10.............................................................................

Πώς μπορούμε τώρα να εκφράσουμε τις 2, 3, 4, ... χιλιάδες με δύναμη....................................

......................................................................

10²	10³	10⁴	10⁵
10 · 10
100

Συμπλήρωσε τον πίνακα με τις δυνάμεις του 10.
Βρες τον κανόνα για να υπολογίζεις από τη δύναμη το γινόμενο, χωρίς να κάνεις τους πολλαπλασιασμούς.

Δραστηριότητα 2η

Από τα αρχαία ακόμη χρόνια οι άνθρωποι έδωσαν ιδιαίτερη προσοχή στους πολλαπλασιασμούς στους οποίους όλοι οι παράγοντες ήταν ίδιοι. Στον Πάπυρο του Αχμές (αρχαίο μαθηματικό αιγυπτιακό χειρόγραφο που ο Ριντ μετέφερε στη Βρετανία) διαβάζουμε το παρακάτω πρόβλημα:

Διαβάζοντας το παραπάνω κείμενο, παρατηρούμε ότι η απεικόνιση, η σύγκριση, ακόμα και η ανάγνωση τεράστιων αριθμών είναι δύσκολη υπόθεση. Για να μπορούμε να τους διαβάζουμε πιο εύκολα, να βλέπουμε με μια ματιά τη «μεγαλοσύνη» τους και να κάνουμε πράξεις με αυτούς, τους εκφράζουμε με τις δυνάμεις του 10. Έτσι:

Το μήκος του γαλαξία μας είναι:	........	μέτρα.
Η απόσταση από τη Γη ως τον Άρη είναι:	........	μέτρα.
Το σπίτι απέχει από το σχολείο:	........	μέτρα.

Οι δυνάμεις του 10 μας επιτρέπουν να εκφράσουμε τη σύγκριση μεγεθών, που διαφορετικά θα ήταν δύσκολο να συγκριθούν.

Μπορείτε τώρα να απαντήσετε, συγκρίνοντας τους αριθμούς ως δυνάμεις του 10, στην ερώτηση: «Πόσες φορές μεγαλύτερο είναι το μήκος του γαλαξία μας από την απόσταση Γη - Άρη;».

....................................................................................................................................

Από τις προηγούμενες δραστηριότητες συμπεραίνουμε ότι, χρησιμοποιώντας τις δυνάμεις του 10, μπορούμε να γράψουμε με σύντομο τρόπο πολύ μεγάλους αριθμούς.

Δυνάμεις του 10

Κάθε δύναμη του 10 είναι ίση με τον αριθμό που σχηματίζεται από το ψηφίο 1 και τόσα μηδενικά όσες μονάδες έχει ο εκθέτης.
Μπορούμε να γράψουμε τους αριθμούς 10, 100, 1000, ... ως δυνάμεις με βάση το 10 βάζοντας ως εκθέτη τον αριθμό που δείχνει πόσα μηδενικά έχουν.

Παραδείγματα

10² = 100
10 ⁴ = 10.000
1.000 = 10³1.000.000 = 10⁶

Για να γράψουμε έναν πολυψήφιο αριθμό, με τη βοήθεια των δυνάμεων του 10 κάνουμε τα εξής:

Τον μετατρέπουμε σε γινόμενο με το 10, 100, 1000, ... ανάλογα με τον αριθμό των 0 που υπάρχουν στον αριθμό.
Μετατρέπουμε το 10, 100, 1000, ... σε δύναμη του 10
Ο πολυψήφιος αριθμός έχει τώρα τη μορφή γινομένου του οποίου ο δεύτερος παράγοντας είναι δύναμη του 10.

Οι αστροφυσικοί έχουν ανακαλύψει στο διάστημα περίπου 500.000.000 γαλαξίες.

Αυτό γράφεται και ως: 5 · 100.000.000
100.000.000 = 10 ⁸
500.000.000 = 5 · 10 ⁸

Εφαρμογή 1η

Οι επιστήμονες υπολογίζουν ότι, όταν ο ιός της γρίπης προσβάλλει έναν άνθρωπο, αν βρει ικανοποιητικές συνθήκες, μέσα σε 12 ώρες έχει δημιουργήσει αποικία 1.500.000.000 μονάδων. Πόσες μονάδες του ιού θα υπάρχουν στον άνθρωπο, αν αρχίσει την αντιβίωση 2 μέρες, αφού προσβληθεί από τον ιό; Να εκφράσετε τον αριθμό με τη βοήθεια των δυνάμεων του 10.

Λύση

Ξέρουμε ότι 2 μέρες είναι 4 δωδεκάωρα. Αφού ο ιός πολλαπλασιάζεται περίπου κατά 1.500.000.000 μονάδες κάθε 12 ώρες, έπειτα από 2 μέρες θα υπάρχουν 1.500.000.000 · 4 = 6.000.000.000 μονάδες.
Μετατρέπουμε τον αριθμό στο γινόμενο 6 · 10.000.000.000
Μετατρέπουμε το 10.000.000.000 στη δύναμη 10..... Ο αριθμός γράφεται τώρα
6 · 10.....

Απάντηση: Σε 2 μέρες θα υπάρχουν περίπου 6 · 10.... μονάδες του ιού.

Ο πληθυσμός της Γης είναι περίπου 7 · 10⁹ άνθρωποι. Γράψε τον αριθμό αυτό στην κανονική μορφή.

Λύση

Η δύναμη 10⁹ είναι ίση με το 1.000.000.000.
Άρα το γινόμενο 7 · 10⁹ = 7 · 1.000.000.000 = 7.000.000.000.

Απάντηση: Ο πληθυσμός της Γης είναι περίπου 7.000.000.000 άνθρωποι.

Eρωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση

Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαμε τους όρους δυνάμεις του 10 και έκφραση αριθμού με δύναμη του 10. Εξήγησέ τους με δικά σου παραδείγματα.

Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις:	Σωστό	Λάθος
Σε μια δύναμη του 10 εκθέτης είναι πάντα το 10.
Οι αριθμοί εκφράζονται με δύναμη του 10 μόνο για μεγάλες αποστάσεις.
Η ισότητα 10¹= 10 είναι σωστή.